Лимиты: прямая подстановка

В этом материале разберём, как решать самые простые задачи на пределы.

Напомним, что такое лимит
Предел функции f(x) при x→a показывает, к какому значению «стремится» выражение f(x) при «приближении» x к a.

👉 1. Прямая подстановка

Если при подстановке х=a выражение становится конечным числом, то решается так:
lim(x→2)(x^3−5·x+3)
(2^3−5·2+3) = (8−10+3) = 1
Результат можно получить сразу, просто заменив х на 2.

👉 2. Определённость и неопределённость

• Определённость — когда прямая подстановка даёт конечный результат
Пример: lim(x→∞)(1/x) = 1/∞ = 0

• Неопределённость — когда при подстановке получается 0/0, ∞/∞, 0·∞ или ∞−∞
В таких случаях нужно упрощать выражение, чтобы устранить неопределённость.

⚫️ ThisMath || #углублённо

Лимиты вида ∞/∞ через деление на старшую степень

Рассмотрим пример с неопределённостью ∞/∞:
lim(x→∞)((4·x^3 − x^2 + 7)/(3·x − 5·x^3))

1. При прямой подстановке получаем ∞/∞ — неопределённость.
2. Находим старшую степень в числителе и знаменателе → x³
3. Делим оба выражения на x³:
(4 − 1/x + 7/x³)
—————————————————
(3/x² − 5)
4. Подстановка x→∞ даёт:
(4−0+0)/(0−5) = 4/(−5) = −4/5

Итог:
lim(x→∞)((4x³−x²+7)/(3x−5x³)) = −4/5
Этот метод применим, когда числитель и знаменатель — многочлены. Второй способ — сразу выделить старшие члены:
lim(x→∞)(4x³/−5x³) = 4/−5 = −4/5

⚫️ ThisMath || #углублённо

Лимиты вида 0 ⁄ 0 через правило Лопиталя

В посте используются производные. Если вы не знакомы с данной темы, рекомендую прочитать данный пост

Правило Лопиталя гласит:
lim(x → a) (f(x) ⁄ g(x)) = f'(a) ⁄ g'(a)
При f(a) = 0 и g(a) = 0
То есть правило Лопиталя мы используем, когда возникает неопределённость 0 ⁄ 0. А теперь приступим к примерам:

👉 1. lim(x → 2)((x² − 2x) ⁄ (x² − x − 2))
Сначала подставляем 2 вместо x:
(4 − 2 × 2) ⁄ (4 − 2 − 2) = 0 ⁄ 0
Неопределённость 0 ⁄ 0. Берём производные:
(x² − 2x)' = 2x − 2
(x² − x − 2)' = 2x − 1

Подставляем x = 2:
(2x − 2) ⁄ (2x − 1) = (2 × 2 − 2) ⁄ (2 × 2 − 1) = 2 ⁄ 3
Ответ: 2 ⁄ 3

➖➖➖

👉 2. lim(x → 1)((x² − 1) ⁄ (ln(x) + x⁴ − 1))
Подставляем 1:
(1 − 1) ⁄ (0 + 1 − 1) = 0 ⁄ 0
Берём производные:
(x² − 1)' = 2x
(ln(x) + x⁴ − 1)' = 1 ⁄ x + 4x³

Подставляем x = 1:
(2x) ⁄ (1 ⁄ x + 4x³) = (2 × 1) ⁄ (1 ⁄ 1 + 4 × 1³) = 2 ⁄ 5
Ответ: 2 ⁄ 5

⚫️ ThisMath || #углублённо

Как вы относитесь к мемам не по теме канала?

#новости

Привет, я Саня 👋

Летом прошлого года я помогал в телеграм-каналах с мелкими задачами. Понравилось, как всё устроено, и я подумал: «А почему бы не попробовать вести свой?» 1 августа сделал канал, а 7-го уже ломал голову, про что будет первый пост. Начал гуглить и случайно узнал, что завтра — День бесконечности. Приятное совпадение)

Математику изучаю углублённо примерно полтора года. Параллельно работаю в программировании (Frontend Web). И вот уже год этот канал — мой способ делиться интересным, учиться новому и общаться с людьми, которым также это нравиться.

Сейчас я не один:
- Влад (@vlodekafkas) — помогает со всем подряд;
- @MessageBoxW и Дима (@Hacker27o1) — идеи, посты, в том числе целая серия про лимиты от Димы.
@MessageBoxW - имя своё скрывает, даже от нас.. так что если узнаете, обязательно расскажите)

Я в основном оформляю, планирую и иногда пишу посты сам.
За этот год я сильно углубился в математику, создавая посты. И, честно, самое приятное — что тут собрались люди, которым это интересно

♾️ Рад, что вы все здесь

#новости

Вывод правила Лопиталя (cлучай при x = b + dx)

Для понимания данного поста вы должны знать производные и понимать их смысл (ссылка на пост с производными)

Начнем с того, что такое лимит. Лимит — это значение функции при x, который стремится к числу b: не равен, а именно стремится. То есть можно сказать, мы рассматриваем значение функции не при x = b, а при x = b + dx либо при x = b - dx. Тогда

Предел функции через dx

lim(x->b) f(x) = f(b ± dx)

С этим разобрались, но нас интересует предел отношения при

f(b) = 0, g(b) = 0
lim(x->b) ( f(x) / g(x) )

Заменяем лимит по ранее полученной формуле

f(b ± dx) / g(b ± dx)

Сначала разберём случай, когда b + dx. Стартовая дробь

f(b + dx) / g(b + dx)

Вычтем и прибавим f(b) к числителю и g(b) к знаменателю

f(b+dx) - f(b) + f(b)
━━━━━━━━━━━━━━━━
g(b+dx) - g(b) + g(b)

Теперь делим и числитель, и знаменатель на dx

(f(b+dx) - f(b))/dx + f(b)/dx
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
(g(b+dx) - g(b))/dx + g(b)/dx

(f(b+dx) - f(b))/dx — это ничто иное, как производная f(x) в точке b

(f(b+dx) - f(b))/dx = f'(b)
(g(b+dx) - g(b))/dx = g'(b)

Подставляем

f'(b) + f(b)/dx
━━━━━━━━━━━━
g'(b) + g(b)/dx

По условию f(b) = 0 и g(b) = 0

f'(b)
━━━━━━━
g'(b)

Во втором посте разберём случай x = b - dx.

#углублённо