Стремление к плюс или минус 0

Вот простой лимит

lim(x->0)(1/x)

Чему он равен? Этот лимит не определен. Но почему? Потому что мы можем подходить к нулю с левой стороны, а можем с правой.

1/0.001 = 1000
1/0.000001 = 1000000
1/0.000000001 = 1000000000

1/(-0.001) = -1000
1/(-0.000001) = -1000000
1/(-0.000000001) = -1000000000

Значит когда х приближается к 0 со стороны плюса, с правой стороны то лимит равен +∞, а когда со стороны минусов, с левой, то значение = -∞.
Обычно это записываться перед нулем знаком + или -

lim(x->+0)(f(x))
lim(x->-0)(f(x))

Это не всегда надо иногда от этого ничего не измениться, но бывают случаи когда это необходимо.

Вернёмся к начальному примеру но запишем его правильно.

lim(x->+0)(1/x) = +∞

#углублённо

Лимиты: прямая подстановка

В этом материале разберём, как решать самые простые задачи на пределы.

Напомним, что такое лимит
Предел функции f(x) при x→a показывает, к какому значению «стремится» выражение f(x) при «приближении» x к a.

👉 1. Прямая подстановка

Если при подстановке х=a выражение становится конечным числом, то решается так:
lim(x→2)(x^3−5·x+3)
(2^3−5·2+3) = (8−10+3) = 1
Результат можно получить сразу, просто заменив х на 2.

👉 2. Определённость и неопределённость

• Определённость — когда прямая подстановка даёт конечный результат
Пример: lim(x→∞)(1/x) = 1/∞ = 0

• Неопределённость — когда при подстановке получается 0/0, ∞/∞, 0·∞ или ∞−∞
В таких случаях нужно упрощать выражение, чтобы устранить неопределённость.

⚫️ ThisMath || #углублённо

Лимиты вида ∞/∞ через деление на старшую степень

Рассмотрим пример с неопределённостью ∞/∞:
lim(x→∞)((4·x^3 − x^2 + 7)/(3·x − 5·x^3))

1. При прямой подстановке получаем ∞/∞ — неопределённость.
2. Находим старшую степень в числителе и знаменателе → x³
3. Делим оба выражения на x³:
(4 − 1/x + 7/x³)
—————————————————
(3/x² − 5)
4. Подстановка x→∞ даёт:
(4−0+0)/(0−5) = 4/(−5) = −4/5

Итог:
lim(x→∞)((4x³−x²+7)/(3x−5x³)) = −4/5
Этот метод применим, когда числитель и знаменатель — многочлены. Второй способ — сразу выделить старшие члены:
lim(x→∞)(4x³/−5x³) = 4/−5 = −4/5

⚫️ ThisMath || #углублённо

Лимиты вида 0 ⁄ 0 через правило Лопиталя

В посте используются производные. Если вы не знакомы с данной темы, рекомендую прочитать данный пост

Правило Лопиталя гласит:
lim(x → a) (f(x) ⁄ g(x)) = f'(a) ⁄ g'(a)
При f(a) = 0 и g(a) = 0
То есть правило Лопиталя мы используем, когда возникает неопределённость 0 ⁄ 0. А теперь приступим к примерам:

👉 1. lim(x → 2)((x² − 2x) ⁄ (x² − x − 2))
Сначала подставляем 2 вместо x:
(4 − 2 × 2) ⁄ (4 − 2 − 2) = 0 ⁄ 0
Неопределённость 0 ⁄ 0. Берём производные:
(x² − 2x)' = 2x − 2
(x² − x − 2)' = 2x − 1

Подставляем x = 2:
(2x − 2) ⁄ (2x − 1) = (2 × 2 − 2) ⁄ (2 × 2 − 1) = 2 ⁄ 3
Ответ: 2 ⁄ 3

➖➖➖

👉 2. lim(x → 1)((x² − 1) ⁄ (ln(x) + x⁴ − 1))
Подставляем 1:
(1 − 1) ⁄ (0 + 1 − 1) = 0 ⁄ 0
Берём производные:
(x² − 1)' = 2x
(ln(x) + x⁴ − 1)' = 1 ⁄ x + 4x³

Подставляем x = 1:
(2x) ⁄ (1 ⁄ x + 4x³) = (2 × 1) ⁄ (1 ⁄ 1 + 4 × 1³) = 2 ⁄ 5
Ответ: 2 ⁄ 5

⚫️ ThisMath || #углублённо

Как вы относитесь к мемам не по теме канала?

#новости

Привет, я Саня 👋

Летом прошлого года я помогал в телеграм-каналах с мелкими задачами. Понравилось, как всё устроено, и я подумал: «А почему бы не попробовать вести свой?» 1 августа сделал канал, а 7-го уже ломал голову, про что будет первый пост. Начал гуглить и случайно узнал, что завтра — День бесконечности. Приятное совпадение)

Математику изучаю углублённо примерно полтора года. Параллельно работаю в программировании (Frontend Web). И вот уже год этот канал — мой способ делиться интересным, учиться новому и общаться с людьми, которым также это нравиться.

Сейчас я не один:
- Влад (@vlodekafkas) — помогает со всем подряд;
- @MessageBoxW и Дима (@Hacker27o1) — идеи, посты, в том числе целая серия про лимиты от Димы.
@MessageBoxW - имя своё скрывает, даже от нас.. так что если узнаете, обязательно расскажите)

Я в основном оформляю, планирую и иногда пишу посты сам.
За этот год я сильно углубился в математику, создавая посты. И, честно, самое приятное — что тут собрались люди, которым это интересно

♾️ Рад, что вы все здесь

#новости