Неопределённость ∞ / ∞ через правило Лопиталя

Пускай у нас есть
lim(x ➜ a) f(a) / g(a)
f(a) = ∞
g(a) = ∞
f(a) / g(a) = (1 / g(a)) / (1 / f(a))
Если f(a) = ∞, то 1 / f(a) = 0
И 1 / g(a) = 0
lim(x ➜ a) ( (1 / g(a)) / (1 / f(a)) )
1 / g(a) = 0
1 / f(a) = 0

Теперь у нас неопределённость 0 / 0. Тогда воспользуемся правилом Лопиталя.
(1 / g(x))' = g(x)^(−1)' = −1·g(x)^(−2)·g'(x) = −g'(x) / g(x)²
(1 / f(x))' = −f'(x) / f(x)²
(−g'(x) / g(x)²) / (−f'(x) / f(x)²) = (g'(x)·f(x)²) / (f'(x)·g(x)²)
lim(x ➜ a) f(x) / g(x) =

g'(a)·f(a)²
──
f'(a)·g(a)²
С другой стороны
f(a)² = lim(x ➜ a) f(x)²
g(a)² = lim(x ➜ a) g(x)²
lim(x ➜ a) f(x) / g(x) =

g'(a)·lim(x ➜ a) f(x)²
───────
f'(a)·lim(x ➜ a) g(x)²

= g'(a) / f'(a) · lim(x ➜ a) (f(x)² / g(x)²)
lim(x ➜ a) f(x) / g(x)
───────
lim(x ➜ a) f(x)² / g(x)²
= g'(a) / f'(a)
lim(x ➜ a) g(x) / f(x) = g'(a) / f'(a)
lim(x ➜ a) f(x) / g(x) = f'(a) / g'(a)

Вывод:

lim(x ➜ a) f(a) / g(a) = f'(a) / g'(a)
f(a) = ∞
g(a) = ∞

⚫️ ThisMath || #углублённо

В тему постов

Когда знаешь, что треугольник
равнобедренный, но не можешь этого доказать:

#мемы

😍 Замечательные пределы

За последнее время мы достаточно сильно углубились в понятие "лимит". В математике выделяют два "особых" предела - замечательные пределы. Почему их так назвали? Замечательные пределы - это просто те лимиты, которые много где использовались в доказательствах других формул

1️⃣ Первый замечательный предел
lim(x ➜ 0)(sin(x) / x) = 1
Мы будем его использовать для вывода в следующем посте

✏️ Вывод

По правилу Лопиталя (Что это такое рассказывали в этом посте):
lim(x ➜ 0)(sin(x) / x) = sin(x)' / x' = cos(x) / 1
Т.к. x стремиться к 0:
cos(0) / 1 = 1 / 1 = 1

Готово!

⚫️ ThisMath || #углублённо