⚫️ ThisMath || #мемы

⚫️ ThisMath || #мемы

🟣 Площадь круга

Думаю все читатели знают (а если не знают, то сейчас узнают) формулу площади круга:

S = πR²

Но откуда она берётся?

▶️ Вывод формулы через многоугольники

Мы рассмотрим геометрический способ вывода данной формулы. Для вывода нам понадобиться замечательный предел (вот пост о нём).
- Для начала рассмотрим площадь правильного выпуклого n-угольника: её можно получить сложив площадь всех треугольников внутри (как на картинке). Чтобы найти площадь треугольника внутри, воспользуемся формулой

S = 1/2 ∙ ab ∙ sin(α)
a = b = R
α - центральный угол; α = 360° / n = 2π / n
S = 1/2 ∙ R² ∙ sin(2π / n)

S_n-угольника = n ∙ S = n ∙ 1/2 ∙ R² ∙ sin(2π / n)

- Теперь нам понадобятся лимиты. Рассмотрим круг, как многоугольник с бесконечным числом сторон. Используя первый замечательный предел, имеем:

lim(n ⟶ ∞) (sin(2π / n)) = 2π / n

Финал (распишу подробно):

lim(n ⟶ ∞):
S_n-уг = n ∙ 1/2 ∙ R² ∙ sin(2π / n)
= n ∙ 1/2 ∙ R² ∙ 2π / n = R² ∙ (π / 1) = πR²

🟪 Вот и всё! Геометрия даёт нам образы и фигуры, алгебра — язык чисел и пределов. Когда они встречаются, формула превращается в фигуру, а форма — в вычисление.

🔥 ThisMath ⚫️
#углубленно

⚫️ ThisMath || #мемы

⚫️ ThisMath || #мемы

⚫️ ThisMath || #мемы

⚫️ ThisMath || #мемы

⚫️ ThisMath || #мемы

⚫️ ThisMath || #мемы

⚫️ ThisMath || #мемы

🤔 Можно ли представить любое чётное число > 2, как сумму двух простых чисел?

8 = 3 + 5
12 = 7 + 5
42 = 37 + 5
100 = 47 + 53

Это "Гипотеза Гольдбаха". Окончательный ответ для всех чётных чисел — увы, до сих пор в тумане. Машинами данная гипотеза проверена до 4 · 10¹⁸

👏 Немного истории

В 1742 году Кристиан Гольдбах написал письмо Леонарду Эйлеру. На полях упомянул: "каждое целое число > 2 можно представить как сумму трёх простых" (считая 1 простым).

Эйлер ответил и разделил идею на две чёткие формулировки:
• сильная гипотеза — любое чётное число > 2 = сумма двух простых;
• слабая гипотеза — любое нечётное число > 5 = сумма трёх простых.

Гольдбах и Эйлер поддерживали переписку до самой смерти Гольдбаха, и именно в их диалоге оформилась гипотеза, которая до сих пор не доказана.

➡️ Почему гипотезы названы именно так?
Доказав сильную гипотезу:

4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 5 + 3

Можно просто к каждому числу прибавить 3, чтобы получить доказательство слабой гипотезы:

4 = 2 + 2 + 3 = 7
6 = 3 + 3 + 3 = 9
8 = 5 + 3 + 3 = 11

Обратно это не работает

⚫️ ThisMath || #углублённо

Проблема Кантора о мощности континуума (континуум-гипотеза)

Есть 2 множества:
1. Натуральные числа: 1, 2, 3, …
2. Вещественные числа: все дроби и иррациональные вместе.
Оба бесконечны, но «размеры» у этих бесконечностей — разные(подробнее с тем что такое континуум можете посмотреть здесь).

Рассмотрим по порядку
1) Счётная бесконечность
Натуральные можно перечислить по порядку: у каждого есть свой номер. Такая бесконечность называется счётной и обозначается

∣N∣=ℵ0​.

С тем же успехом можно упорядочить и все дроби — их мощность тоже счётная.

2) Несчётная бесконечность
С вещественными так не получится. Кантор показал: как ни пытайся составить полный список чисел на отрезке (0,1), найдётся число, которого там нет. Значит, вещественных несчётно, и их мощность строго больше:

∣R∣=c=2ℵ0​,c>ℵ0​.

Вопрос: Есть ли «средняя» бесконечность — больше, чем счётная, но меньше, чем континуум? Формально: существует ли множество 𝑋 с ℵ0​<∣X∣<2ℵ0​?
гипотеза континуума (CH) говорит: такой «ступеньки» нет, сразу после ℵ0 идёт 𝑐. Эквивалентно:

c=ℵ1​.

В 1940 году было выявлено, что в стандартной системе аксиом (ZFC) этот вопрос неразрешим: ни доказать, ни опровергнуть CH (саму гипотезу) внутри этих правил нельзя. Чтобы получить «да» или «нет», нужно добавить дополнительные принципы. Доказано, что проблема неразрешима в ZFC. В 1963 году было вынесено последнее решение, хотя нет единого мнения относительно того, является ли это решением проблемы.

⚫️ ThisMath || #углублённо

⚫️ ThisMath || #мемы