Проблема Кантора о мощности континуума (континуум-гипотеза)

Есть 2 множества:
1. Натуральные числа: 1, 2, 3, …
2. Вещественные числа: все дроби и иррациональные вместе.
Оба бесконечны, но «размеры» у этих бесконечностей — разные(подробнее с тем что такое континуум можете посмотреть здесь).

Рассмотрим по порядку
1) Счётная бесконечность
Натуральные можно перечислить по порядку: у каждого есть свой номер. Такая бесконечность называется счётной и обозначается

∣N∣=ℵ0​.

С тем же успехом можно упорядочить и все дроби — их мощность тоже счётная.

2) Несчётная бесконечность
С вещественными так не получится. Кантор показал: как ни пытайся составить полный список чисел на отрезке (0,1), найдётся число, которого там нет. Значит, вещественных несчётно, и их мощность строго больше:

∣R∣=c=2ℵ0​,c>ℵ0​.

Вопрос: Есть ли «средняя» бесконечность — больше, чем счётная, но меньше, чем континуум? Формально: существует ли множество 𝑋 с ℵ0​<∣X∣<2ℵ0​?
гипотеза континуума (CH) говорит: такой «ступеньки» нет, сразу после ℵ0 идёт 𝑐. Эквивалентно:

c=ℵ1​.

В 1940 году было выявлено, что в стандартной системе аксиом (ZFC) этот вопрос неразрешим: ни доказать, ни опровергнуть CH (саму гипотезу) внутри этих правил нельзя. Чтобы получить «да» или «нет», нужно добавить дополнительные принципы. Доказано, что проблема неразрешима в ZFC. В 1963 году было вынесено последнее решение, хотя нет единого мнения относительно того, является ли это решением проблемы.

⚫️ ThisMath || #углублённо

⚫️ ThisMath || #мемы

⚫️ ThisMath || #цитаты

❓ Что такое множество?

Множество — это просто *набор элементов*. Элементы могут быть любыми: числа, люди, планеты, даже другие множества.

Если элемент есть в множестве, то мы говорим: он принадлежит этому множеству.

🟪Примеры:

- множество классов в школе
- множество учеников класса
- множество планет Солнечной системы

- {1, 2, 3} — множество из трёх чисел
- {10, {1, 2}} — множество из двух элементов (число 10 и множество {1, 2})

Каждый элемент во множестве уникален. То есть множество {1, 1, 2} на самом деле то же самое, что {1, 2}.

Множества — это основа в теме бесконечностей. Именно с множеств мы начинаем путь к пониманию, что значит "сравнивать" разные бесконечности.

P. S. Первые посты на этом канале были именно о бесконечностях, так что возможно повторение материала

⚫️ ThisMath || #простым_языком

⚫️ ThisMath || #мемы

⚫️ ThisMath || #мемы

⚫️ ThisMath || #мемы

Парню парализовало шею от сидения в телефоне

От постоянной пережатых сосудов шеи появился тромб, который сдавил спинной мозг и обездвижел парня 🥶

⚫️ ThisMath || #новости

📝 Натуральные числа и их бесконечность

Возьмём множество натуральных чисел.
Оно обозначается буквой N и выглядит так: {1, 2, 3, 4, 5, ...}

Ноль в этот список не входит.

🔤Почему это множество бесконечно?
Потому что для любого числа x из N всегда можно взять x + 1, и оно тоже окажется в N.
То есть мы никогда не "досчитаем" до конца.

Пример:
- Возьмём n = 1000. Тогда 1001 ∈ N.
- Возьмём n = 10⁶. Тогда 10⁶ + 1 ∈ N.
- И так без остановки.

⚫️ ThisMath || #простым_языком

⚫️ ThisMath || #мемы

⚫️ ThisMath || #мемы

⚫️ ThisMath || #мемы

😳 1 подписчик до розыгрыша