⚫️ ThisMath || #мемы

⚫️ ThisMath || #мемы

⚫️ ThisMath || #мемы

🤔 Каких чисел больше: целых или натуральных?

Натуральные числа: N = {1, 2, 3, 4, ...}. Добавим к ним 0 и отрицательные числа: -1, -2, -3... Так получаем множество целых чисел

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Интуитивно кажется, что целых чисел больше: ведь это натуральные + отрицательные + ещё ноль сверху. Но построим биекцию между N и Z:

1 → 0
2 → 1
3 → -1
4 → 2
5 → -2
6 → 3
7 → -3

Каждое натуральное число нашло пару в целых, и наоборот. Ничего не осталось без соответствия.

🤯 Итог: мощность множества целых чисел равна мощности множества натуральных

⚫️ ThisMath || #углублённо

Тир-лист математиков

Статья доступна на нашем Дзен-канале
> https://dzen.ru/thismath

👍#простым_языком
⚫️Канал: thisMath

⚫️ ThisMath || #мемы

⚫️ ThisMath || #мемы

⚫️ ThisMath || #мемы

➗ Рациональные числа и их мощность

Теперь рассмотрим множество рациональных чисел Q.
Это все числа, которые можно записать в виде дроби x / y, где x и y — целые числа, y ≠ 0.

Примеры:

- 1 = 1 / 1
- 5 / 3
- -7 / 100

Очевидно, что Q включает в себя все натуральные и все целые числа. Значит ли это, что рациональных чисел "больше"? Точнее, значит ли это, что мощность множества рациональных чисел больше? Сначала кажется, что да. Ведь между любыми двумя целыми числами можно найти ещё и дробь. Но, как и раньше, количество нужно проверять не интуитивно, а через биекцию.

Как посчитать все рациональные числа (метод диагоналей)

Попробуем выписать все положительные дроби в таблицу:

1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ...
3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ...
...

Теперь пройдёмся по этой таблице "змейкой" — диагоналями:

1/1 → 1/2 → 2/1 → 3/1 → 2/2 → 1/3 → 1/4 → 2/3 → 3/2 → 4/1 → ...

Такой обход позволяет перебрать абсолютно все дроби. Да, некоторые встретятся несколько раз (например, 1/1 = 2/2 = 3/3), их можем просто пропускать. Значит, мы смогли выстроить последовательность, где каждой дроби соответствует свой номер. То есть все рациональные числа можно перенумеровать натуральными!

🤨 Итог: мощность множества рациональных чисел равна мощности множества натуральных.

⚫️ ThisMath || #углублённо

⚫️ ThisMath || #мемы