⚫️ ThisMath || #мемы

⚫️ ThisMath || #мемы

➗ Рациональные числа и их мощность

Теперь рассмотрим множество рациональных чисел Q.
Это все числа, которые можно записать в виде дроби x / y, где x и y — целые числа, y ≠ 0.

Примеры:

- 1 = 1 / 1
- 5 / 3
- -7 / 100

Очевидно, что Q включает в себя все натуральные и все целые числа. Значит ли это, что рациональных чисел "больше"? Точнее, значит ли это, что мощность множества рациональных чисел больше? Сначала кажется, что да. Ведь между любыми двумя целыми числами можно найти ещё и дробь. Но, как и раньше, количество нужно проверять не интуитивно, а через биекцию.

Как посчитать все рациональные числа (метод диагоналей)

Попробуем выписать все положительные дроби в таблицу:

1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ...
3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ...
...

Теперь пройдёмся по этой таблице "змейкой" — диагоналями:

1/1 → 1/2 → 2/1 → 3/1 → 2/2 → 1/3 → 1/4 → 2/3 → 3/2 → 4/1 → ...

Такой обход позволяет перебрать абсолютно все дроби. Да, некоторые встретятся несколько раз (например, 1/1 = 2/2 = 3/3), их можем просто пропускать. Значит, мы смогли выстроить последовательность, где каждой дроби соответствует свой номер. То есть все рациональные числа можно перенумеровать натуральными!

🤨 Итог: мощность множества рациональных чисел равна мощности множества натуральных.

⚫️ ThisMath || #углублённо

⚫️ ThisMath || #мемы

⚫️ ThisMath || #мемы

⚫️ ThisMath || #мемы

➡️⚫️ Math 🔥

#простым_языком
#мемы
#углублённо

➖ Наш чат ➖

Создатель: @thisDevSasha

➖ Бустануть канал ➖

Бустеры:

@s F
@ntstrght
@Dzhurinskiy_D_M
@augikp
@astilikin

➡️ Как я решил создать этот канал?

⚫️ ThisMath

❓ Каких чисел больше: действительных или рациональных (доказательство Кантора)

Теперь рассмотрим множество действительных чисел R. Для удобства возьмём только промежуток (0, 1) — все действительные числа от 0 до 1. Любое такое число можно записать как десятичную дробь:

0,a₁a₂a₃a₄...
0, 0.1, 0.01, 0.001, 0.00..001, 0.2...

Попробуем предположить, что существует биекция между N и (0, 1). То есть каждому натуральному числу сопоставлен один элемент из (0, 1), и наоборот.
(0, 1) в данной ситуации мы представили как множество всех десятичных дробей от 0 до 1

0.1 → 1
0.01 → 2
0.00,,,001 → 1000,,,
0.2 → 1000... + 1

Но Кантор придумал метод диагоналей: строим новое число, которое отличается от первого числа первой цифрой, от второго — второй, от третьего — третьей, и так далее.
То есть если взять числа:
0.00001
0.02111
0.11111
0.22222
То новым для него будет например:

0. 1 1 0 0
a b c d
a = 1, так как в первом числе 0.00001 первая цифра 0
и т.д.

Получаем число, которого точно нет в нашем списке

💥 Итог: множество действительных чисел больше, чем рациональных

⚫️ ThisMath || #углублённо

⚫️ ThisMath || #мемы

⚫️ ThisMath || #мемы

⚫️ ThisMath || #мемы