✍ برهان خُلف (Reductio Ad Absurdum)

روش‌های مختلفی برای اثبات قضیه‌ها و گزاره‌ها در ریاضیات وجود دارد. اثبات با استفاده از برهان خُلف یکی از بهترین و ظریف‌ترین روش‌ها است. برهان در لغت به معنی اثبات و استدلال است. برای واژه خُلف نیز معانی دروغ گفتن و نادرست بیان شده است. برهان خُلف را اثبات غیرمستقیم نیز می‌گویند.

                  📚 @topmathlearn 📚

ادامه ...

برهان خُلف نوعی استدلال است که در آن، به‌جای آنکه مستقیما از فرض شروع کنیم و به حکم برسیم، فرض می‌کنیم حکم درست نباشد و با استفاده از این فرض خُلف (Absurd Hypothesis)، به یک تناقض یا نتیجه غیرممکن می‌رسیم. لذا نتیجه می‌گیریم که فرض خُلف اشتباه بوده و حکم نمی‌تواند نادرست باشد، زیرا با فرض نادرست بودن حکم به تناقض رسیده‌ایم. در نتیجه درستی حکم اثبات می‌شود.

                    📚 @topmathlearn 📚

گاهی استفاده از اثبات به روش برهان خُلف مشکلاتی را ایجاد می‌کند. چیزی که اتفاق می‌‌افتد این است که اثبات با منطق شروع می‌شود، اما در ادامه در پیچ‌و‌خم قرار می‌گیرد. طی ارائه برهان خُلف، ممکن است به تناقض‌هایی برسیم، اما این تناقض‌ها ربطی به فرض اولیه نداشته باشد و از اشتباه ما ناشی شود. بنابراین باید هنگام استفاده از برهان خُلف، دقت لازم را داشته باشیم. در مقالات علمی برای استفاده از برهان خُلف، اصطلاحات انگلیسی زیر به کار برده می‌شود:

✅ Arguing by contradiction
✅ On the contrary
✅ Contrary to what we claim

                  📚 @topmathlearn 📚

در ادامه یک مثال را با اثبات به روش برهان خُلف بررسی می‌کنیم.

مثال: ثابت کنید بزرگترین عدد صحیح زوج وجود ندارد.

برهان: فرض (خُلف) کنید که بزرگترین عدد صحیح زوج مانند N وجود دارد. بنابراین برای هر عدد صحیح n، داریم N≥n. قرار می‌دهیم M=N+2. واضح است که M نیز یک عدد صحیح زوج است، زیرا حاصل مجموع دو عدد صحیح زوج است. چون M=N+2، لذا M>N. بنابراین M یک عدد صحیح زوج بزرگتر از بزرگترین عدد صحیح زوج N است. این جمله با عبارت N≥n که برای هر عدد صحیح بیان کردیم تناقض دارد. بنابراین فرض خُلف باطل است و حکم اثبات می‌شود.

📚 @topmathlearn 📚

#برهان_خلف
#فرص_خلف

🔶 Mathematics in Nature (Fibonacci Spiral)

🔸 ریاضیات در طبیعت (مارپیچ فیبوناچی)

                     📚 @topmathlearn 📚

#مارپیچ_فیبوناچی
#اشکال_هندسی

✍ نسبت طلایی (Golden Ratio)

در این ویدیو روش‌های مختلف به‌دست آوردن نسبت طلایی نشان داده شده است.

جالب است بدانید که در دنباله فیبوناچی، هر چه اعداد بالاتر بروند، دو عدد متوالی از این دنباله، وقتی بر یکدیگر تقسیم شوند، به «نسبت طلایی» عدد فی با مقدار تقریبی 1.618033، نزدیک‌تر می‌شوند.

ϕ=(1+√5)/2=1.618033      نسبت طلایی

                     📚 @topmathlearn 📚

#نسبت_طلایی
#دنباله_فیبوناچی
#golden_ratio
#fibonacci_sequence

🔶 Nature by Numbers

فیلم کوتاه بسیار زیبا از اعداد دنباله فیبوناچی و نسبت طلایی در خلق طبیعت

بسیاری از دانشمندان معتقدند که هیچ چیزی در این جهان وجود ندارد که از قوانین ریاضی تبعیت نکرده باشد.

گالیله: قوانین طبیعت به زبان ریاضیات نوشته شده است.

                    📚 @topmathlearn 📚

🔶 Mathematics in Nature

🔸 ریاضیات در طبیعت

                     📚 @topmathlearn 📚

📝 مجلات JCR

گزارش استنادی مجلات (Journal Citation Reports) یا به اختصار JCR، یک پایگاه داده اطلاعاتی است که به عنوان یک شاخص ارزیابی برای گسترش و بررسی مجلات در زمینه تحقیقات علمی و اجتماعی در تمام جهان محسوب می‌گردد مشروط به اینکه این مجلات در موسسه ISI ایندکس (نمایه) شده باشند.

                        📚 @topmathlearn 📚

ادامه ...

روند بررسی پایگاه داده اطلاعاتی JCR یک شیوه ارزیابی مجلات معتبر، تاثیرشان در جامعه و میزان استناد به آنها است. JCR تلاش می‌کند که با افزودن توانمندی‌ها، اطلاعات جدیدتر برای توسعه ارزیابی و بررسی دقیق‌تر مجلات علمی ارائه نماید. JCR معیارها و شاخص‌هایی مانند ضریب تاثیر (Impact Factor)، ضریب تاثیر پنج ساله (Year Impact Factor)، شاخص فوریت (Immediacy Index)، نیمه عمر استناد (Cited Half-Life)، شاخص اچ (H-index)، شاخص ارجاع‌دهنده (Eigenfactor Score)، نمره تاثیر مقاله (Article Influence Score) را برای ارزیابی و رتبه بندی مجلات علمی ارائه می‌دهد که در حال حاضر شاخص ضریب تاثیر (IF) از مهمترین و اصلی‌ترین آنها برای اعتبار مجلات علمی محسوب می‌شود. 

                     📚 @topmathlearn 📚

پایگاه داده اطلاعاتی JCR به صورت سالانه، توسط شرکت کلاریویت (Clarivate Analytics) در دو نسخه علوم (Sciences) و علوم اجتماعی (Social Sciences)  منتشر می‌شود. معتبرترین مجلات علمی، مجلاتی هستند که در JCR نمایه می‌شوند. مقاله JCR اصطلاحا به مقاله‌ای گفته می‌شود که در یکی از مجلات JCR به چاپ رسیده باشد. این مقالات دارای کیفیت علمی بالایی در محیط‌های آکادمیک می‌باشند که از نظر ساختار علمی و موضوع تحقیق به دقت مورد بررسی قرار گرفته‌اند و داوری آنها زمان‌بر خواهد بود. لذا مقالات مستخرج از تحقیقات علمی در صورتیکه در مجلات نمایه شده در JCR چاپ شوند، ارزشمند خواهند بود.

📚 @topmathlearn 📚

🔥 هوش مصنوعی گوگل به طلای المپیاد ریاضی رسید!

سوالات المپیاد جهانی ریاضی 2025 که در استرالیا برگزار شد، در اختیار چند مدل برجسته هوش مصنوعی قرار گرفت. هر مدل موظف بود به شش مسئله رسمی المپیاد ریاضی پاسخ دهد و راه‌حل‌ها طبق بارم‌بندی رسمی کمیته المپیاد جهانی ریاضی (IMO) نمره‌گذاری شدند. مدل‌هایی مانند Gemini 2.5 Pro، Grok-1.5, Claude 3 Opus و GPT-4o هیچ‌یک نتوانستند در این ارزیابی به آستانه مدال برنز (19 از 42 نمره = حدود 45٪) دست یابند.

                     📚 @topmathlearn 📚

اما مدل پیشرفته هوش مصنوعی گوگل، Gemini با قابلیت Deep Think، موفق شد در ارزیابی رسمی کمیته IMO به امتیاز 35 از 42 برسد؛ عددی که معادل مدال طلای انسانی در این رقابت‌هاست. این مدل هوش مصنوعی به ویژه برای حل معماهای ریاضی المپیاد جهانی بهینه‌سازی شده است. برخلاف سال گذشته که از ابزارهایی مثل AlphaProof برای ساختاردهی پاسخ‌ها استفاده شد، این بار مدل بدون زبان رسمی ریاضی، پاسخ‌هایی روان، دقیق و قابل فهم نوشت. تمام جواب‌ها توسط داورهای رسمی IMO بررسی و نمره‌دهی شدند. پاسخ‌هایی که با استدلال چندمرحله‌ای به منظور حل مسائل پیچیده ریاضی انجام داده است، آن را به یک چالش‌گر جدی تبدیل کرده است.

                   📚 @topmathlearn 📚

این موفقیت نشان می‌دهد که با توجه به پیشرفت‌های چشمگیر هوش مصنوعی در زبان و محاسبه، مدل‌های هوش مصنوعی دیگر صرفا شبیه‌ساز نیستند، بلکه وارد قلمروی تسلط بر مسائل استدلالی و انتزاعی عمیق مانند مسائل المپیاد شده‌اند که پیش‌تر تنها مختص نخبگان انسانی بود. گوگل اعلام کرده نسخه Deep Think ابتدا به دست ریاضی‌دانان منتخب می‌رسد و بعدتر در قالب پلن Ultra عرضه خواهد شد. سوالات حل‌شده و ارزیابی‌ها در وب‌سایت DeepMind برای عموم در دسترس است، و البته همچنان یک سوال (سوال 6) باقی مانده است که هیچ مدل هوش مصنوعی قادر به حل کردن آن نبوده اند.

📚 @topmathlearn 📚

🌐 سوالات المپیاد جهانی ریاضی و پاسخ‌های هوش مصنوعی

نگاهی به راه‌حل‌های مدل پیشرفته هوش مصنوعی گوگل به سوالات المپیاد جهانی ریاضیات در این فایل خالی از لطف نیست!

                    📚 @topmathlearn 📚

نفر اول از سمت چپ نیکولای دورف، برادر بزرگتر پاول دورف موسس تلگرام، که ریاضی‌دان و برنامه‌نویس است، و آنتون روزنبرگ نفر دوم سمت چپ، دو نفر از اعضای تیم المپیاد ریاضی روسیه در سال 1998 هستند. در سال 2013، پاول دورف به همراه این دو نفر پیام‌رسان تلگرام را در برلین آلمان بنا نهاد.

جالب‌تر اینکه تیم المپیاد ریاضی ایران در همان سال با حضور زنده‌یاد مریم میرزاخانی، رتبه اول را بدست آورد.

                    📚 @topmathlearn 📚

📝 مجلات SJR

رتبه نشریه سایمگو (SCImago Journal Rank) یا به اختصار SJR، یک شاخص پیچیده برای اندازه‌گیری میزان تاثیر و کیفیت علمی مجلات علمی در حوزه‌های مختلف است که به‌طور هم‌زمان تعداد استنادات (ارجاعات) انجام شده به مقالات یک مجله و همچنین اعتبار و رتبه مجلاتی را که مقالات استناد‌ دهنده در آنها چاپ شده‌اند نیز مورد ارزیابی قرار می‌دهد.

                      📚 @topmathlearn 📚

ادامه ...

به‌منظور محاسبه شاخص SJR  مجله‌ای خاص در سال منتخب، استنادات سه سال گذشته به کلیه مقالات منتشره آن مجله در طی سه سال بر مجموع مقالات آن مجله در طی سه سال تقسیم می‌شود. فرض بر آن است که مجله در یک حوزه موضوعی خاص اعتبار مشخصی دارد که اگر توسط مجله‌ای دیگر مورد استناد قرار بگیرد آن اعتبار به مجله استناد کننده منتقل می‌شود. بنابراین اگر مجله‌ای توسط مجله‌ای با اعتبار بیشتر یا شاخص SJR بالاتر مورد استناد قرار بگیرد آن استناد ارزش بیشتری دارد و لذا امتیاز بیشتری برای مجله کسب می‌کند. بر عکس این رابطه نیز صادق است. به بیان ساده‌تر در اینجا فقط این مهم نیست که چندبار به مجله ارجاع داده شده است، بلکه این نکته نیز اهمیت دارد که چه مجلاتی و با چه اعتبار علمی به مجله موردنظر رفرنس داده‌اند. بنابراین هم شاخص سخت‌گیرانه‌تری است و هم اعتبار بالاتری دارد. شاخص SJR برای یک مجله محاسبه می‌شود و هر چه این عدد بالاتر باشد، به معنای ارزش بالاتر مجله است و لذا مقالات منتشر شده در آن مجله از اعتبار بیشتری برخودار خواهد بود.

                       📚 @topmathlearn 📚

شاخص SJR از اطلاعات استخراج شده اسکوپوس و پایگاه داده‌های الزویر بر اساس استنادات بازه زمانی سه ساله از مجله استفاده می‌کند. نظام رتبه‌بندی سایمگو یا رتبه‌بندی SCImago توسط گروه پژوهشی به همین نام در دانشگاه گرانادا در اسپانیا انجام می‌شود. براساس تعداد مقالات علمی موسسات آموزش عالی کشورهای مختلف موجود در بانک اطلاعاتی اسکوپوس آن‌ها را ارزیابی و رتبه‌بندی می‌کند. این رتبه‌بندی یکی از جدیدترین و جامع‌ترین نظام‌های رتبه‌بندی پژوهشی دانشگاه‌ها و موسسات پژوهش محور در جهان است. رتبه مجلات و کشورهای علمی در نظام رتبه‌بندی سایمگو (SCImago Journal and Country Rank) یا به اختصار SJCR، یک شاخص برای رتبه‌بندی کشورها از نظر علمی و با توجه به تعریف SJR است که جهت آگاهی محققان از درجه علمی کشوری خاص این رتبه‌‌بندی مورد استفاده قرار می‌گیرد و لذا در این سیستم هم مجلات و هم کشورها ارزیابی و مقایسه می‌شوند.

📚 @topmathlearn 📚

🔹A fascinating visualization of Pi being irrational 🤩
تجسمی جذاب از گنگ بودن عدد پی π

Pi is an irrational number, meaning that its decimal form neither ends nor becomes repetitive. The fractal pattern of Pi in mathematics is pretty fascinating. Pi’s irrationality can be visualized by imagining a line segment equal to the circle's diameter being repeatedly wrapped around the circle’s circumference. Because Pi is irrational, this wrapping will never perfectly align with a whole number of diameters, even when using increasingly precise approximations of Pi. This illustrates that Pi’s decimal representation goes on infinitely without repeating.

                      📚 @topmathlearn 📚

دعوای بین اعداد 😂

📚 @topmathlearn 📚

#طنز

📝 چارک (Quartile)

چارک (Quartile) یا به اختصار Q، شاخصی برای ارزیابی عملکرد مجله علمی در گروه‌ موضوعی یا حوزه تخصصی مربوط به آن مجله است. این شاخص یکی از مهم‌ترین معیارهای ارزیابی تاثیرگذاری و کیفیت مجلات علمی در سطح بین‌المللی است که دارای نقش کلیدی در رتبه‌بندی مجلات علمی است. رتبه‌بندی درواقع منعکس‌کننده جایگاه یک مجله در بین سایر مجلات در یک رشته تخصصی خاص، میزان دشواری چاپ مقاله در مجله و اعتبار مجله است. رتبه Q به رتبه‌بندی مجلات در هر حوزه موضوعی بر اساس میزان استنادها و کیفیت ارجاعات تمرکز دارد. رتبه‌بندی Q مجلات در هر گروه موضوعی از طریق پایگاه‌های JCR  و SJR قابل دسترسی است.

                       📚 @topmathlearn 📚

رتبه‌بندی Q مجلات علمی در یک طبقه (Category) تخصصی خاص به چهار چارک زیر تقسیم‌بندی می‌شوند:

رتبه Q1: شامل مجلاتی است که از لحاظ رتبه جزء 25 درصد برتر لیست مجلات یک طبقه قرار دارند.
رتبه Q2: شامل مجلاتی است که از لحاظ رتبه جزء 25 تا 50 درصد لیست مجلات یک طبقه قرار دارند.
رتبه Q3: شامل مجلاتی است که از لحاظ رتبه جزء 50 تا 75 درصد لیست مجلات یک طبقه قرار دارند.
رتبه Q4: شامل مجلاتی است که از لحاظ رتبه جزء 75 تا 100 درصد (25 درصد انتهایی) لیست مجلات یک طبقه قرار دارند.

                      📚 @topmathlearn 📚

با توجه به رتبه مجلات در چارک‌های Q1 تا Q4، می‌توان جایگاه هر مجله در یک رشته خاص را مشخص کرد. به این ترتیب می‌توان گفت بهترین مجلات در هر حوزه تخصصی در تعریف شاخص Quartile دارای رتبه Q1 بوده و رتبه‌های بعدی مجلات به ترتیب با Q2 و Q3 معرفی می‌شوند و ضعیف‌ترین مجلات هر حوزه تخصصی با رتبه Q4 نمایش داده می‌شوند. مجلات Q1 و Q2 از اهمیت و اعتبار بیشتری برخوردار هستند و انتشار مقاله در این نوع مجلات نشان‌دهنده کیفیت علمی مقاله است و لذا به دیده شدن پژوهش‌ها و افزایش احتمال استناد به آن‌ها کمک می‌کند.

📚 @topmathlearn 📚