Наверняка, многие видели, как ловким движением рук можно заставить некоторый ряд сходиться к определенному числу (-1/12 помните?) или расходиться по вашему желанию. Так вот, все это из-за теоремы Римана об условно сходящихся рядах (такое длинное название…

Представим, что четыре человека вышли на охоту. Все вместе они пытаются поймать большую добычу — оленя. Для этого каждый из них должен занять свою позицию, а затем смотреть за своей зоной, оставаясь на одном месте. При этом, если около какого-нибудь охотника…

Очень часто (особенно в программировании) возникает ситуация, когда необходимо выяснить, является ли данное число n — простым? Как долго следует продолжать поиск делителей? Может быть надо проверить все числа до n? Или до n/2? На самом деле, можно сильно…

Многие в школе или в университете сталкиваются с понятием мощности множества. Для конечных множеств данное понятие определяется очень легко - это просто количество элементов в множестве. Для бесконечных это определение обобщается с использованием некоторых…

Доказательств теоремы Пифагора огромное множество: тут и алгебраические, и чисто геометрические, и с помощью диффуров. Знаменитую теорему по-своему доказывал Леонардо да Винчи и американский президент Джеймс Гарфилд. Довольно интересное доказательство принадлежит…

Очень часто в математическом анализе возникает некое «о» большое от какой-нибудь функции. Например, при разложении функции в ряд Тейлора. Так что же это такое?

Довольно часто необходимо проверить, раскладывается ли полином с целыми коэффициентами над полем рациональных чисел. Помощником в этом деле может послужить критерий Эйзенштейна.

Бывает, что необходимо построить отрицание к какому-то высказыванию. Например, для такого: «каждый человек является либо умным, либо красивым». Как же это сделать? Давайте для начала переформулируем это предложение с использованием квантора «любой», а также…

В прошлый раз мы разбирали отрицание к дизъюнкции. Давайте теперь разберёмся, как строить отрицания к конъюнкции и импликации. 1) Конъюнкция. Пусть дано некоторое утверждение, например, такое: «бывают черно-белые машины». Переформулировав, получим: «существует…

​К третьему веку до нашей эры, накопив обширный фактический материал, древнегреческие ученые были поставлены перед необходимостью его систематизации и приведения в стройную логическую систему. За решения этой задачи принимались различные ученые. Однако их…

В конце XIX - начале XX века математика переживала не лучшие времена. Канторова теория множеств, которая служила фундаментом математики, оказалась противоречивой: в ней были найдены парадоксы, например, парадокс Кантора, в котором идёт речь о существовании…

Шли как-то по дороге интеграл и дифференциал. Тут на встречу им синус вышел. Весь такой самодовольный: «Смотрите, какой я нечётный. Не то что всякие икс квадраты». Решили тогда интеграл и дифференциал убить синус.  Дифференциал начал: взял он синус в свои…

Довольно часто в задачах возникает необходимость вычисления длины кривой (или ее части). Например: «Вы - генеральный директор фирмы по строительству мостов. Вам поступил заказ на изготовление моста через реку в виде параболы. Расстояние между двумя берегами…

Схема Горнера – способ деления многочлена Pn(x) на бином x−a. Работать придётся с таблицей, первая строка которой содержит коэффициенты заданного многочлена. Первым элементом второй строки будет число a, взятое из бинома x−a: После деления многочлена n-ой…

Универсальная тригонометрическая подстановка применяется в интегрировании для нахождения первообразных, определённых и неопределённых интегралов от рациональных функций и от тригонометрических функций.  Примем, что переменная t равна тангенсу половинного…

Рассмотрим функции u=u(x) и v=v(x), которые имеют непрерывные производные. Согласно свойствам дифференциалов, имеет место следующее равенство: Проинтегрировав левую и правую части последнего равенства, получим: Полученное равенство перепишем в виде: Эта формула…

Что же это за уравнения? На самом деле, все достаточно просто: это диофантовы (то есть в целых числах) уравнения вида: Причем, натуральное число n не должно являться полным квадратом. Почему не должно? Если бы это было так, то получалась бы разность квадратов…

Эта теорема является следствием теоремы о неподвижной точке, доказанной в 1912 году голландским математиком Лёйтзеном Брауэром. Если пытаться объяснить ее смысл на «человеческом» языке», то звучит она так: невозможно причесать свернувшегося клубком ежа так…

Четырехугольником Саккери называется четырехугольник с двумя равными сторонами, которые перпендикулярны к основанию. Он назван в честь Джованни Джероламо Саккери, который исследовал такие четырёхугольники в книге Euclides ab omni naevo vindicatus (Евклид…

В 1859 г. эту модель геометрии Лобачевского построил английский математик Артур Кэли, но он рассматривал её лишь как некоторую конструкцию в проективной геометрии, не заметив при этом никакой связи с неевклидовой геометрией. В 1869 г. с его работой познакомился…