Губернаторский вальс

Оркестры играли тирольские вальсы и арии из Жоконда. Офицеры, ушедшие в поход почти отроками, возвращались, возмужав на бранном воздухе и обвешенные крестами… Женщины, русские женщины были тогда бесподобны! В уездах и деревнях общий восторг был еще сильнее: появление в сих местах офицера было настоящим торжеством, и любовнику во фраке плохо было в его соседстве…
Это строки «Метели» были написаны Пушкиным об окончании сражений с Наполеоном. О том же удивительном времени я сочинил вальс 1815 года — его можно послушать в следующем посте.

Звезда в круге

Предлагаю Новогоднюю задачу про пятиугольную звезду, вписанную в окружность. Такая звезда симметрична, но при этом она не является правильной. Чему примерно равен отмеченный угол при ее вершине?

Гора из ромбов

На днях в одном хорошем канале Фулл и точка по олимпиадой геометрии была опубликована замечательная конструкция из ромбов.
Я решил назвать ее «горой»
из ромбов. Ее подножие образуют равнобедренные треугольники, основания которых лежат на прямой и равны 12, 13, 14, 15 и 16.
Сама «гора» состоит из 10 ромбов с равными сторонами, а ее вершину образует квадратный «камень». В связи с этой конструкцией можно задать три интересных вопроса (первый из них был задан в названном канале):

1) Чему равна площадь квадратного «камня» на вершине «горы»?
2) Лежат ли 5 вершин первого ряда ромбов на одной прямой?
3) Чему равна высота всей «горы»?

Методичка

Школьные каникулы заканчиваются, и в помощь учителям, работающим по нашим учебникам, продолжаем выкладывать методические рекомендации к урокам по геометрии. На этот раз это тема 7 класса «Параллельные прямые». Теория параллельных справедливо считается одной из самых сложных в курсе 7 класса: здесь и новые термины, и доказательство признаков параллельных методом от противного, и аксиома параллельных, транзитивность параллельности и многое другое. Как правило, школьники поначалу путают признаки и свойства параллельных прямых. Поэтому не стоит в этой теме торопиться и проходить теорию побыстрее, так называемой «танковой атакой». Навыки же решения задач и подсчет углов при параллельных обычно получаются проще. Поэтому в западных курсах школьной математики обычно эту теорию опускают и сразу переходят к упражнениям. Строгость при этом естественно теряется. Завершает параграф детективная история доказательств пятого постулата Евклида и открытия неевклидовой геометрии. Интересны исторические вопросы на эту тему: кто из создателей неевклидовой геометрии наблюдал полное затмение солнца? У кого из них был общий учитель математики? Кто вызвал на дуэль своего отца?

Диагностические работы января для 7 и 8 класса

14 января пройдет диагностическая работа по геометрии для 7 класса.
Подробности и список тем: https://vertical.sch-int.ru/geom-7-14-01/

20 января пройдет диагностическая работа по алгебре, теории вероятностей и статистике для 8 класса.
Подробности и список тем: https://vertical.sch-int.ru/alg-stat-8-20-01/

27 января пройдет диагностическая работа по геометрии для 8 класса.
Подробности и список тем: https://vertical.sch-int.ru/geom-8-27-01/

#диагностики #7_класс #8_класс

Апельсины в ящике

Чебурашка нашел на дне ящика 12 одинаковых круглых апельсинов. Все они касались друг друга и стенок ящика - только один чуть помялся с одного боку. Чебурашка измерил расстояния между точками касания апельсинов со стенками и углами ящика и получил 16, 17, 19,2 и 21 см. Помогите ему ответить на вопросы:
А) Какой диаметр у апельсина?
Б) Чему равны стороны ящика?
В) Правда ли, что один апельсин касается стенки ящика в ее середине?
Г) Сколько апельсинов можно положить на дно?

Отрезок в трапеции

Если прямая не параллельна основаниям трапеции и делит ее боковые стороны в одном отношении, она не может проходить через точку пересечения диагоналей трапеции. Кстати, данное утверждение — простая хорошая задача для учеников 8 класса. В связи с этим возникает естественный вопрос: каков минимальный отрезок такой прямой может лежать между диагоналями трапеции? Ответ на него можно получить для любой трапеции, но в данной задаче ее размеры подобраны так, чтобы ответ был хороший, а решение — довольно коротким.

Доклад о проекции

Параллельное проектирование в геометрии — одна из моих любимых тем. Она еще не столь сложна и абстрактна, как классическая проективная геометрия, основанная на перспективе. Поэтому этот материал доступен многим школьникам — он отлично подходит для кружковых занятий, я же давал его на уроках.
В этот четверг 29 января в МЦНМО мне предложили сделать доклад на эту тему и кратко рассказать об ее жемчужинах: теоремах Дезарга и Ньютона, прямой Гаусса, сжатии окружности, эллипсах Штейнера, форме месяца на небе, о проекциях высот треугольника и вписанного в круга, о построениях короткой линейкой, о невозможности некоторых построений. Кроме этого, метод параллельного проектирования может эффективно использоваться для решения обычных задач стереометрии — примеры такие тоже будут. Приходите на доклад в столовую МЦНМО. Начало в 19 часов.
А для иллюстрации самого подхода предлагаю всем желающим решить мою задачу на рисунке к этому посту. Ее решение я расскажу в четверг.

Семинар в МЦНМО

Вчера на семинаре в Московском центре непрерывного математического образования я рассказывал о параллельном проектировании на уроках геометрии в школе, аффинных преобразованиях, теоремах Ньютона и Дезарга, построениях короткой линейкой и т. д. Кроме того, мы разобрали решение красивой новой задачи, выложенной в предыдущем посте. Некоторые утверждения, о которых шла речь, — кладезь таких задач. На семинаре был аншлаг, несмотря на снежный коллапс, накрывший вчера столицу. Спасибо всем, кто пришел! Презентацию к своему докладу я выкладываю в следующем посте. Видео тоже будет — оно появится немного позже.

Диагностика

На этой неделе 8 классы школ проекта «Математическая вертикаль» писали диагностику по геометрии, к составлению которой я имел прямое отношение. Учителя просили меня выложить условие этой работы и для других школ, так как она показалась им удачной. Что я и делаю:)

Методичка

В помощь учителям, работающим по нашим учебникам, выкладываем методические рекомендации к параграфу 8 класса "Площадь". Площадь - очень естественная вещь. По словам Геродота именно с измерения площадей наделов вдоль Нила в Древнем Египте и началось землемерное искусство, которое потом было перенесено в Элладу. Эта тема начинается с обсуждения единиц площади, потом с задач на клетчатой бумаге, и только потом проходятся ее основные свойства (аксиомы) и формулы для многоугольников. Также обсуждаются методы дополнительной площади, разбиения фигур на равновеликие треугольники, свойство и признак трапеции. Завершает параграф теорема о равносоставленности многоугольников равной площади.

Квадрат и круг

Предлагаю простую задачу для 8 класса. Для ее решения даже не обязательно знать теорему Пифагора.

На одной прямой

Предлагаю еще одну конструкцию из четырех правильных фигур и одного круга. На глаз кажется, что три отмеченные точки лежат на одной прямой. А что скажет об этом точная геометрия?

Три построения

В нашем канале давно не было построений циркулем и линейкой. Три предлагаемые вам задачи я придумал и специально расположил по принципу «от простого — к сложному». Первая из них доступна любому ученику 8 класса и требует просто немного сообразительности. А вот вторую и особенно третью задачи решить «от печки», скорее всего, не получится. Они требуют некоторых общих знаний, о которых, например, я рассказывал в своем докладе неделю назад. Впрочем, вы можете попробовать обойтись и без них — если один по горам ходит пешком, то другой может подняться по вертикальной стене:)

Параллельная проекция

Появилось видео моей лекции о параллельном проектировании в МЦНМО. Презентация к нему в соответствующем посте выше. Примерно половина этого материала войдет в новый учебник по стереометрии для 10 класса. Остальное можно использовать на занятии кружков по математике https://youtu.be/6COlDaNrsKM