Методичка

Продолжаем в помощь учителям выкладывать методические рекомендации к нашему учебнику. В этот раз это тема 7 класса «Равные фигуры». Понятие равенства очень важно как для геометрии Евклида, так и для деятельности человека. Печати на документах, одинаковые монеты или здания, детали машин и механизмов - все это равные фигуры.
Понятие равенства прямо связано с движением твердого тела, при котором сохраняются все расстояния между его точками. Неоднократно делались попытки в образовании равные фигуры называть конгруэнтными, так как равенство в теории множеств означает совпадение их всех элементов. Однако эта терминология оказалась слишком формальной и не прижилась в школе.
Существует много прекрасных задач, в которых нужно данную фигуру разрезать на равные части. С ними школьники часто справляются лучше учителей. Это лишний раз показывает, что интуиция в геометрии значит не меньше логики.

Равные площади

Предлагаю свою задачу на равенство площадей в четырехугольнике. Одной буквой на рисунке отмечены равные площади частей, на которые две прямые разрезают выпуклый четырехугольник. Как построить эти прямые и где может находиться точка их пересечения?

Методичка

Продолжаем выкладывать методические материалы к урокам по нашему учебнику. На этот раз это тема 8 класса «Средние линии». Мы начинаем с того, что средние линии треугольника и трапеции лежат на прямой, одинаково удаленной от всех вершин этих фигур. В некоторых курсах геометрии средняя линия треугольника проходится как задача на подобие или как следствие теоремы Фалеса. Мы считаем это неправильным, так как данная тема - кладезь интересных задач и очень полезна для отработки навыков дополнительных построений. Кроме того, с ней прямо связана теорема о медианах треугольника, теорема Вариньона и средние линии четырехугольников. Завершает параграф рассказ о центрах масс многоугольников, которые можно найти по правилу рычага. По сути, таким физическим методом «на пальцах» можно доказать все теоремы этого параграфа. Заметим, что великий Архимед делал именно так, и рассказ о его потерянной книге, найденной лишь в XX веке, тоже есть в параграфе учебника.

Витраж

Очень хорошо, когда в задаче остается интрига. Например, требуется доказать, что отрезок на чертеже равен одной стороне параллелограмма, но не сказано, какой именно. Это дает возможность в задачах, кроме самого доказательства, получить еще и правильный ответ. Такой прием всегда увеличивает мотивацию к решению и нравится ученикам. А учителю на уроке он позволяет не рассматривать заведомо неправильные варианты. В простых случаях я предлагаю ребятам сначала проверить свою интуицию и примерно угадать ответ задачи. Например, угадать расстояние до линии горизонта от человека, стоящего на морском берегу. Уверяю вас: разброс их ответов может быть от 500 метров до 100 километров.

Методичка

Продолжаем в помощь учителям выкладывать методические рекомендации к урокам. На этот раз это тема 7 класса «Признаки равенства треугольников».
Практически все доказательства в геометрии сводятся к рассмотрению треугольников. Поэтому очень важно определять равные треугольники по их элементам. Доказательства 1 и 2 признаков лучше проводить наглядно, совмещая треугольники из бумаги на доске. По сути математическое доказательство обосновывает этот же процесс: совмещение равных сторон треугольников, переворачивание одного из них другой стороной листа и т. д. Важно сразу строить треугольники циркулем и линейкой по их элементам — так через работу руками ребята сразу понимают, набор каких элементов однозначно определяет фигуру.
Начиная с этой темы, при решении задач важно записывать кратко условие, привязывая его к рисунку. Образцы таких записей есть для каждого примера в учебнике. Тут важно отработать навыки: научится видеть совпадающие стороны треугольников, их общие углы, строить цепочки рассуждений. Здесь же возникают и первые дополнительные построения: на рисунке бывает нужно провести дополнительные отрезки, получить пары равных треугольников и потом уже делать выводы. Завершает параграф признак равенства многоугольников.

Контрольные и диагностики

Школы, участники проекта «Математическая вертикаль», несколько раз в год пишут диагностические работы.
А так как они занимаются в том числе и по нашим учебникам, то не помешает дать ссылку на архив таких работ прошлых лет - его легко найти здесь:

https://vertical.sch-int.ru/kak-rabotat-v-proekte/arhiv-kontrolnyh/

Там есть также работы для поступления в проект, кроме геометрии, еще алгебра и статистика. Этот архив для вас бережно собрал ресурсный центр «Интеллектуал»

Квадраты и треугольники

Предлагаю две задачи о площадях частей одного квадрата. Свои ответы и решения, как обычно, пишите под спойлерами

Параллельный отрезок

Вот еще одна моя задача о произвольном четырехугольнике. Утверждение это общее и верно даже для невыпуклых четырехугольников. Пишите свои доказательства под спойлерами. Статичное условие задачи в первом комменте.

Средние линии

Эта тема только что была пройдена в 8 классах проекта «Математическая вертикаль»
и она имеет прямое отношение к Олимпиадам по математике. Поэтому очень рекомендуем посмотреть семинар Дмитрия Швецова.

Семинар для учителей математики про среднюю линию

РЦ школы 179 приглашает учителей на семинар «Магия средней линии» в рамках проекта «Математическая вертикаль».

Когда: 24 ноября в 17:00 - 18:00
Где: Школа №179, кабинет 306 (3 этаж), ул. Большая Дмитровка, 5/6 стр 7, метро Театральная или Охотный Ряд, выход 8
Преподаватель: Швецов Дмитрий Викторович, учитель школы «Летово»
Формат: очно + будет онлайн-трансляция.

Подробнее: https://vertical.sch-int.ru/seminar-pro-srednyuyu-liniyu/

#учителя #лекции #семинары

Три угла

Построения на клетчатой обычно делают с помощью одной линейки. По линейке можно провести прямую через узлы сетки или через точки уже построенных ранее прямых. Биссектрисы каких углов на рисунке можно так построить?

От подписчиков

Многие наши подписчики сами ведут каналы по математике. Один из них - Денис Егоров выкладывает посты с анимацией и задачками для всех. Например, такие. А в нашем канале он часто делает интересные разборы задач в комментариях.

Комменты

Уважаемые подписчики! Из за технического сбоя на нашем канале сегодня пропали все комменты и что еще печальнее - возможность нового комментирования. Проблема эта оказалась сложнее, чем можно подумать:) Но мы ее обязательно решим! Одну уже решили — комментировать теперь можно:)

Угол ромба

Понятно, что форма ромба зависит от его острого угла. При каком угле возможен такой рисунок? Чему равен его косинус? Эта моя задача подойдет для учеников 9 класса.

ЮБИЛЕЙНОЕ

Ясно видно издалека нам,
как в бинокль, из школьных лет:
Вы заходите великаном
в свой 14-й кабинет…

Для мальчишек и для девчонок
сколько лучших прошло здесь дней!
Мы боялись Вас до печенок,
но любили еще сильней!

Пусть теперь Вы мудрей и старше,
мы уверены: неспроста
в кабинете доска все та же,
мыслей ясность и красота.

Став умнее и выше ростом,
может каждый из нас сказать:
«Очевидное — то, что просто,
но положено доказать!»

Чуть сутулый и благородный,
слегка пахнущий табаком,
Вы добились любви народной,
хоть не думали о таком.

Вы учили нас сомневаться,
веру логикой поверять,
и на «Вы» к другим обращаться,
чтоб достоинства не терять!

Вы заставили нас науку
полюбить, как родной свой дом!
И всегда пожимали руку
тем, кто к Вам приходил потом.

Пусть поправит меня историк,
если в чем-нибудь я не прав.
Дорогого такое стоит —
Вам спасибо за это, Раф!