Прикольная задача от @Mamonovclhgffkuffhj.
На рисунке О и Н - центр описанной окружности и ортоцентр АВС, Х110 - фокус параболы Киперта (т.е. такая точка на описанной окружности, отражения которой относительно АВ, АС, ВС попадают на ОН), L - точка де Лоншана (т.е. отражение Н относительно О), а L' - изогонально сопряженная точка к ней. Доказать перпендикулярность пунктирных прямых.
На рисунке О и Н - центр описанной окружности и ортоцентр АВС, Х110 - фокус параболы Киперта (т.е. такая точка на описанной окружности, отражения которой относительно АВ, АС, ВС попадают на ОН), L - точка де Лоншана (т.е. отражение Н относительно О), а L' - изогонально сопряженная точка к ней. Доказать перпендикулярность пунктирных прямых.
🔥7🤡7
Сегодня сразу две добрые задачи от @MigelSa!
В обеих прямая IJ касается окружности Эйлера; нужно доказать касание с ней.
В обеих прямая IJ касается окружности Эйлера; нужно доказать касание с ней.
👍9
Итак, продолжение вчерашнего поста от @timofeyxd.
D, E, F - середины сторон треугольника АВС.
а) Доказать касание с окружностью Эйлера на рисунке.
б) Доказать, что радикальный центр трех окружностей, определенных аналогично пунктирной на рисунке для вершин А, В, С; лежит на прямой Эйлера.
D, E, F - середины сторон треугольника АВС.
а) Доказать касание с окружностью Эйлера на рисунке.
б) Доказать, что радикальный центр трех окружностей, определенных аналогично пунктирной на рисунке для вершин А, В, С; лежит на прямой Эйлера.
🔥7❤4👏2
Следующие несколько постов будут тоже относиться к одному сюжету...
Итак, сегодня мини-сюжет от @egfed про проекции ортоцентра на изотомы к высотам.
Собственно, надо доказать вписанности. (Ба, Бb, Бс - Болтаи, а Х125 - центр гиперболы Джерабека).
Обе задачи решаются при помощи секретного метода, который пока что останется секретным). Больше задач на него можно найти в канале автора.
Собственно, надо доказать вписанности. (Ба, Бb, Бс - Болтаи, а Х125 - центр гиперболы Джерабека).
Обе задачи решаются при помощи секретного метода, который пока что останется секретным). Больше задач на него можно найти в канале автора.
❤9🔥4👍1🤡1
Задача от @IvanMChas, снова на Шалтайную тематику.
а) Доказать, что три прямые на рисунке пересекаются в одной точке, где Ш(...) - L-Шалтаи соответствующих треугольников, а L - точка Лемуана.
б) Найти ГМТ таких точек L, для которых верно условие.
Подсказка:оно также проходит через точки Торричеллии, Апполония, центроид и почему-то точку Фейербаха.
а) Доказать, что три прямые на рисунке пересекаются в одной точке, где Ш(...) - L-Шалтаи соответствующих треугольников, а L - точка Лемуана.
б) Найти ГМТ таких точек L, для которых верно условие.
Подсказка:
🔥5❤3
Продолжение предыдущего поста от @IvanMChas.
На этот раз про Болтаи.
Обе задачи довольно добрые по сравнению с тем, что обычно бывает в канале.
Х_54 - точка, изогонально сопряженная О_9, а Х_56 - точка, изогонально сопряжённая точке Нагеля.
На этот раз про Болтаи.
Обе задачи довольно добрые по сравнению с тем, что обычно бывает в канале.
Х_54 - точка, изогонально сопряженная О_9, а Х_56 - точка, изогонально сопряжённая точке Нагеля.
🔥6❤2👍1🤡1
Сегодня красота от @don_schijuan.
Х99' - точка Штейнера треугольника из эксцентров АВС. Доказать, что прямая Штейнера Х99' проходит через точку Жергонна ABC.
Конечно же, она и через инцентр проходит, поэтому это прямая Содди.
Х99' - точка Штейнера треугольника из эксцентров АВС. Доказать, что прямая Штейнера Х99' проходит через точку Жергонна ABC.
Конечно же, она и через инцентр проходит, поэтому это прямая Содди.
🔥6🤡4❤3👍3
Вот такой есть факт от @Mamonovclhgffkuffhj.
Х125 - центр гиперболы Джерабека, а красная точка на рисунке - его изотомическое + изогональное сопряжение. Фокусы эллипса на рисунке - О и Н; доказать касание.
Интересно, может ли это кто-то решить геометрически?
Х125 - центр гиперболы Джерабека, а красная точка на рисунке - его изотомическое + изогональное сопряжение. Фокусы эллипса на рисунке - О и Н; доказать касание.
Интересно, может ли это кто-то решить геометрически?
🤮8❤2🐳2👍1🤡1
Добрый день, сегодня задача моего авторства (она отстояла в очереди по честному).
Условие:
Определим S - треугольник точки Р относительно треугольника АВС как на первом рисунке (синий - это S-треуг.)
Построим всевозможные S-треугольники на картинке с АВС и Н (ортоцентром), тогда центроиды таких S-треугольников образуют ортоцентрическую четверку.
Условие:
Определим S - треугольник точки Р относительно треугольника АВС как на первом рисунке (синий - это S-треуг.)
Построим всевозможные S-треугольники на картинке с АВС и Н (ортоцентром), тогда центроиды таких S-треугольников образуют ортоцентрическую четверку.
🤡9🔥4✍2👍2❤1🤯1💊1
Что ж, будем пытаться чередовать добрые и недобрые задачи... Сегодня факт от @Mamonovclhgffkuffhj про ту же конструкцию, что и позапрошлый пост.
Оказывается, три эллипса на рисунке имеют общую касательную (красный - эллипс Штейнера). Оказывается, что она проходит через центр гиперболы Киперта и его изотомическое + изогональное сопряжение.
Оказывается, три эллипса на рисунке имеют общую касательную (красный - эллипс Штейнера). Оказывается, что она проходит через центр гиперболы Киперта и его изотомическое + изогональное сопряжение.
🔥3❤2🤡2👍1
Вот довольно олимпиадная задача от меня. Она была в серии из авторок кружковцев МатЦентра, а на днях появилась в какой-то ЦПМовской серии; поэтому я не вижу проблем, чтобы опубликовать ее здесь.
Во вписанном четырёхугольнике ABCD точки Лемуана треугольников ABC, BCD, CDA, DAB лежат на одной окружности. Доказать, что ABCD - трапеция.
На самом деле, это же верно и для точек Жергонна, Нагеля и других; но доказательство уже перестает быть добрым.
Во вписанном четырёхугольнике ABCD точки Лемуана треугольников ABC, BCD, CDA, DAB лежат на одной окружности. Доказать, что ABCD - трапеция.
На самом деле, это же верно и для точек Жергонна, Нагеля и других; но доказательство уже перестает быть добрым.
❤3👍2🤡2🔥1
Снова факт от нашего основного спонсора недобрых задач @Mamonovclhgffkuffhj.
На картинке Why-pointы отразили относительно сторон треугольника; доказать касание.
Upd: https://news.1rj.ru/str/olympgeom/1265 - определение Why-pointов.
Х_99 - перспектор параболы Киперта.
На картинке Why-pointы отразили относительно сторон треугольника; доказать касание.
Upd: https://news.1rj.ru/str/olympgeom/1265 - определение Why-pointов.
Х_99 - перспектор параболы Киперта.
❤4👍1🔥1🤡1
Надо ли писать определения точек и объектов, которые есть в задачах, а также давать ссылки на материалы, где про это можно почитать?
Anonymous Poll
92%
Да
8%
Нет
🤡1
Встречайте задачу от @don_schijuan... Первую в канале, для которой нужно аж две картинки 💥!
На ОБЕИХ картинках маленькие синие точки - середины дуг описанной окружности и точки касания вписанной окружности. Na' - точка, изогонально сопряжённая точке Нагеля АВС. Оказывается, что красная прямая одна и та же.
Upd: про точку, изогонально сопряженную Na (X_56), можно почитать здесь: https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html.
А красная прямая из задачи проходит через точкуХ_222 , которая является рад.центром трех аналогичных окружностей, две из которых нарисованы на первой картинке. К сожалению, в источнике выше (про иксы) информации о ней довольно мало.
На ОБЕИХ картинках маленькие синие точки - середины дуг описанной окружности и точки касания вписанной окружности. Na' - точка, изогонально сопряжённая точке Нагеля АВС. Оказывается, что красная прямая одна и та же.
Upd: про точку, изогонально сопряженную Na (X_56), можно почитать здесь: https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html.
А красная прямая из задачи проходит через точку
❤5🔥5🤯1🤡1