Вечерняя разминка №8

Клетчатый квадрат (2N + 1)(2N + 1) разбили на треугольники с вершинами в узлах клеток. Доказать, что среди треугольников разбиения есть тот, площадь которого нецелая.

Утречко.

Желтые окружности на рисунке проходят через верхнюю вершину, касаются нижней, а их центры лежат на боковых сторонах

Разминка №9.

Народная и очень красивая задача!
Авторы - @vkomplahposchitaetsa и @rslrg111

Красная точка - середина отрезка (на котором она лежит).

Разминка №10

В исходном треугольнике вершины отразили относительно соответствующих точек касания вписанной окружности со сторонами и получили жёлтый треугольник (см. рис.)
Доказать, что центроид жёлтого треугольника лежит на прямой проходящей через инцентр и точку Шиффлера исходного треугольника

Разминка №11.

Верхний угол на рисунке - 60°; точка D - основание биссектрисы; желтые треугольники на рисунке равносторонние; Ба - А- Болтай треугольника.

Народная задача от @paleev4
Конечно же обобщается, но и так красиво

ну и на вечер у нас ваша любимая СТЕРЕОМЕТРИЯ.

Хорды АА', ВВ', СС' сферы пересекаются в точке О. Доказать, что плоскости АВС и А'В'С' отсекают от хорды ХХ', проходящей через О, равные отрезки тогда и только тогда, когда О - середина ХХ'.

Разминка №11.

Разминка №12

В треугольнике ABC центр описанной окружности отразили относительно сторон AC, AB и получили соответственно точки E, F. Пусть M и N (красные точки на рисунке) - центры окружностей (OBE) и (OCF), а K и L (чёрные точки на рисунке) - ортоцентры треугольников ABE и ACF (красных треугольников на рисунке).

Доказать, что MN || KL.

Народная задача.
Автор - @timofeyxd

Сиреневые точки на рисунке диаметрально противоположны на красной окружности.

Ну и на вечер снова СТЕРЕОМЕТРИЯ ахаха

Тетраэдр АBCD с остроугольными гранями вписан в сферу с центром в точке О. Прямая DO пересекает ее второй раз в точке D', а плоскость АВС - в точке P. Доказать, что если угол APB вдвое больше угла АСВ, то углы АDD', BDD' равны.

Разминка №13.

Завтра выходим в новое измерение 😈.

Пусть ABC - правильный треугольник. На его сторонах выбраны точки S и R. Точка R - центр окружности (KXL), а точка S - центр окружности (CXK); CK = AL = AB. Точки P, Q на отрезках SC, AR - произвольные. На отрезке SX отложили точку P1 так, что SP1 = SP, на отрезке RX отложили точку Q1 так, что RQ1 = RQ. Докажите, наконец, что из отрезков KP, LQ, P1Q1 можно составить треугольник.

Разминка №14.

Доброе утро!

Разминка №15.

Народная задача!
Автор - величайший @euclid_is_dead.

Условие: Есть вписанный четырёхугольник ABCD и окружность w, касающаяся прямых AB и CD. Через A и B проведена окружность w1, касающаяся w. Через C и D проведена окружность w2, касающаяся w. Пусть l-общая внешняя касательная w1 и w2. Доказать, что существует парабола, проходящая через A, B, C, D и касающаяся l.

Докажите, что из пунктирных отрезков на рисунке можно составить треугольник.

Разминка №16.

РаЗмИнКа №17.

Народная задача от @Ylataero (?)

Всех с праздником!

Все админы не дома и не смогут сделать Вам рисунки к задачам, поэтому сегодня без постов)

Upd: ладно, Юсуф дома и м.б. что-то Вам сделает.

Итак, объявляем день разминок на CRL.

Разминка №18.

Пусть точки B, C, D, E, F лежат на одной окружности. Прямые DE и DF пересекают BC в точках X и Y . Пусть описанная окружность треугольника DXY пересекает описанную окружность треугольника BCD в точке Z. Докажите, что E, F, симметрия Z относительно BC и точка T такая, что BDCT - параллелограмм, лежат на одной окружности.

НАРОДНОЕ CRL ОТ @IvanMChas.

Красная точка - Шалтай красного треугольника, а синяя точка - Шалтай синего треугольника.