Утленний баянчик, я его уже даже когда-то постил в @math_botat 😂

Дан вписанный n-угольник; докажите, что сумма радиусов желтых окружностей на рисунке не зависит от триангуляции.

Разминка №5

Вторая народная задачка от @timofeyxd.

Не шиза 👿.

Народная задача.
Теперь шиза от @SaikenQA.

Синие точки на рисунке - середины больших дуг.
Доказать, что пунктирные прямые пересекаются на окружности.

Вечерняя разминка №6

Инструмент "Разделитель" может выполнять только два типа операций:
1) Для трёх точек Х, У, Z проводить внутреннюю биссектрису угла XYZ.
2) Отмечать точку пересечения проведенных прямых.
Как при помощи "Разделителя" отметить центр окружности, описанной около треугольника АВС (А, В, С отмечены)?

Задача от одного из админов с "Формулы единства" этого года.

Пусть A_1, B_1, C_1 середины сторон треугольника ABC, a точки касания вписанной - A_2, B_2, C_2. Пусть x - количество точек пересечения B_2C_2 и вписанной окружности AB_1C_1. y и z определены аналогично. Найдите максимальное значение x+y+z.

Видимо, разминка №7

Народная задача!
Автор - Иван Часовских (@IvanMChas)

РЕШАТЬ ЭТО НИКТО В МИРЕ НЕ УМЕЕТ, ВЫ МОЖЕТЕ СТАТЬ ПЕРВЫМ!

(Ба A-точка Болтая ABC, Бab Бa-точка Болтая ABБa и т.д.)
Доказать подобие желтых треугольников.

Вечерняя разминка №8

Клетчатый квадрат (2N + 1)(2N + 1) разбили на треугольники с вершинами в узлах клеток. Доказать, что среди треугольников разбиения есть тот, площадь которого нецелая.

Утречко.

Желтые окружности на рисунке проходят через верхнюю вершину, касаются нижней, а их центры лежат на боковых сторонах

Разминка №9.

Народная и очень красивая задача!
Авторы - @vkomplahposchitaetsa и @rslrg111

Красная точка - середина отрезка (на котором она лежит).

Разминка №10

В исходном треугольнике вершины отразили относительно соответствующих точек касания вписанной окружности со сторонами и получили жёлтый треугольник (см. рис.)
Доказать, что центроид жёлтого треугольника лежит на прямой проходящей через инцентр и точку Шиффлера исходного треугольника

Разминка №11.

Верхний угол на рисунке - 60°; точка D - основание биссектрисы; желтые треугольники на рисунке равносторонние; Ба - А- Болтай треугольника.

Народная задача от @paleev4
Конечно же обобщается, но и так красиво

ну и на вечер у нас ваша любимая СТЕРЕОМЕТРИЯ.

Хорды АА', ВВ', СС' сферы пересекаются в точке О. Доказать, что плоскости АВС и А'В'С' отсекают от хорды ХХ', проходящей через О, равные отрезки тогда и только тогда, когда О - середина ХХ'.

Разминка №11.

Разминка №12

В треугольнике ABC центр описанной окружности отразили относительно сторон AC, AB и получили соответственно точки E, F. Пусть M и N (красные точки на рисунке) - центры окружностей (OBE) и (OCF), а K и L (чёрные точки на рисунке) - ортоцентры треугольников ABE и ACF (красных треугольников на рисунке).

Доказать, что MN || KL.

Народная задача.
Автор - @timofeyxd

Сиреневые точки на рисунке диаметрально противоположны на красной окружности.

Ну и на вечер снова СТЕРЕОМЕТРИЯ ахаха

Тетраэдр АBCD с остроугольными гранями вписан в сферу с центром в точке О. Прямая DO пересекает ее второй раз в точке D', а плоскость АВС - в точке P. Доказать, что если угол APB вдвое больше угла АСВ, то углы АDD', BDD' равны.

Разминка №13.

Завтра выходим в новое измерение 😈.

Пусть ABC - правильный треугольник. На его сторонах выбраны точки S и R. Точка R - центр окружности (KXL), а точка S - центр окружности (CXK); CK = AL = AB. Точки P, Q на отрезках SC, AR - произвольные. На отрезке SX отложили точку P1 так, что SP1 = SP, на отрезке RX отложили точку Q1 так, что RQ1 = RQ. Докажите, наконец, что из отрезков KP, LQ, P1Q1 можно составить треугольник.

Разминка №14.

Доброе утро!

Разминка №15.