Разминка 28.

Дан тетраэдр ABCD. Плоскость a пересекает AB, BC, CD, DA в точках X,Y,Z,T. Оказалось, что XYZT лежат на одной окружности с диаметром XZ. Пусть P - точка пересечения касательных к этой окружности в Y и T. Докажите, что P лежит в одной плоскости с серединами AB, BC, CD, DA.

Народная задача от @IvanMChas

Доказать параллельность трех прямых на рисунке (из Шалтаев, Болтай туда случайно затесался) при том что:
Б_A - А - болтай в АВС, Ш_AB - Б_A - шалтай в AБ_AB и тд.

Разминка 29.

Самая смешная задача в мире.

Народный шедевр от @sqrt_MCh

Дан треугольник АВС и точка P внутри него. Пусть Xa - точка микеля четырёхсторонника {АВ, АС, BP, CP}. Точки Xb и Xc определим аналогично.

Доказать, что:
а) треугольники АВС и XaXbXc перспективны.

б) В треугольнике XaXbXc точки P и Q изогонально сопряжены.

Админы устали делать разминки, т.к это однообразно и засоряет канал. Мы хотим отказаться от разминок и сделать новую рубрику. В связи с тем, что этот канал НАРОДНЫЙ :), мы предлагаем вам писать идеи для этой рубрики в комментарии. Самую интересную и креативную мы воплотим в жизнь. :)

Народная задача от @don_schijuan.

Красная точка на рисунке - фокус вписанной параболы.

теперь в канале будет по 2-3 поста в неделю, т.к. тогда он не засоряется и становиться более читабельным и приятным

Народная задача от @Edinburgh_of_the_Seven_Seas.

Красиво ⭐️
(Точка А сверху)

Загадочная народная задача от @mamonovclhgffkuffhj.

Доказать, что существует вписанный в треугольник эллипс, проходящий через его точки Жергонна и Нагеля, с центром в точке Фейербаха его серединного треугольника.

Upd: наблюдения от @don_schijuan: на этом эллипсе также лежат внутренняя точка Маннгейма (изогонально сопряженная Na) и Х_12. А также NaGe - это поляра центроида

Красивая, но пугающая авторка @don_schijuan.

Точки Х, У, Z на картинке - пересечения эллипса Мандара и вписанной окружности треугольника АВС, отличные от его точки Фейербаха. Доказать, что прямые AX, BY, CZ пересекаются в точке, изогонально сопряженной точке Жергонна.

У нас накопилось много ваших задач, мы постараемся опубликовать все в течение двух недель...

Чтобы разбавить задачи в канале, предлагаем порешать эту задачу в качестве утренней разминки.

Дан треугольник ABC с центром описанной окружности O. Точку D выбрали на прямой AO. Пусть E, F - отражения D относительно сторон AC, AB, а E' и F' - изогонально сопряжённые точки к точкам E и F (в ABC). Докажите, что прямые DX, Е'F' перпендикулярны, где X - пересечение прямых BE, CF.

Красивая народная задача от @wargkul.

Доказать, что точка O на рисунке попадает на прямую FE тогда и только тогда, когда прямые BX, CY, AM пересекаются в одной точке.

Красивая и добрая задача от @MeZox_111.

На рисунке O, I, Ia - центры описанной, вписанной и вневписанной окружностей; N - середина большой дуги, а I' - отражение I относительно О.
Доказать, что DI' = IaI'.

Сегодня снова задача от @MeZox_111, но посложнее.

На рисунке Х, У - центры окружностей, G - отражение А относительно ED, а Н - ортоцентр треугольника.

Довольно красивая, но очень недобрая задача от @mamonovclhgffkuffhj.

На картинке I, O, H, G, Na, Fe - центры вписанной и описанной окружностей, ортоцентр, точки Жергонна, Нагеля и Фейербаха какого-то треугольника, а Ш - Fe-точка Шалтая треугольника HFeNa.

Забавный факт от @paleev4.

Синие и красные отрезки равны между собой. Х314 - точка, изотомически сопряжённая ортоцентру треугольника из точек касания вписанной окружности со сторонами.

Прикольная задача от @Mamonovclhgffkuffhj.

На рисунке О и Н - центр описанной окружности и ортоцентр АВС, Х110 - фокус параболы Киперта (т.е. такая точка на описанной окружности, отражения которой относительно АВ, АС, ВС попадают на ОН), L - точка де Лоншана (т.е. отражение Н относительно О), а L' - изогонально сопряженная точка к ней. Доказать перпендикулярность пунктирных прямых.

Завтра будет продолжение этой конструкции...

Итак, продолжение вчерашнего поста от @timofeyxd.

D, E, F - середины сторон треугольника АВС.

а) Доказать касание с окружностью Эйлера на рисунке.

б) Доказать, что радикальный центр трех окружностей, определенных аналогично пунктирной на рисунке для вершин А, В, С; лежит на прямой Эйлера.