Основные методы. Сочетания

Следующий случай, который может нам понадобиться, это ситуация, при которой нам нужно узнать, сколько существует разных способов расставить k элементов n-элементного массива не учитывая порядок. Например:
N = {1, 2, 3}
k = 2
Все возможные размещения:
{1, 2}, {1, 3}, {2,1}, {2,3}, {3,1}, {3,2}
В возможных размещениях присутствуют множества, одинаковые по элементам, но не по порядку. Наша задача сейчас от них избавиться.
В этом нету ничего сложного, количество размещений, как нам известно это: n!/(n - k)!; и зная что количество перестановок для каждого массива может быть определенно как (a!)(Переставления) нужно просто разделить количество всех размещений на количество переставлений для каждого из множеств, а это k!
Тоесть результирующая формула это: n!/((n - k)!*k!)


На этом можно окончить и следующую часть цикла комбинаторики. Не забывай, что комментарии сделаны для критики, а математика для использования! Хорошего тебе дня!

#РазделыМатематики #Комбинаторика

Николай Иванович Лобачевский (1792–1856) — великий русский математик, известный как создатель неевклидовой геометрии.

В традиционной евклидовой геометрии утверждается, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Лобачевский предположил, что через такую точку можно провести более одной параллельной прямой. Это стало основой новой геометрии, названной гиперболической, одной из неевклидовых неевклидовой или геометрией Лобачевского. О ней уже вскользь шла речь в одном из моих постов

«Бог не играет в кости»
Теория вероятности. Введение

Цикл: Разделы математики (6)
Подраздел: Введение в теорию вероятности (1)


Теория вероятности это раздел математики, который изучает случайные события и величины, тоесть тe, которые нельзя точно предсказать, а также операции над ними.
Она нашла широкое применение в анализе азартных игр, финанцовых вложений, инжинерии,транспортных потоков или распростарнений и последствий заболеваний

Одним из основных и самых простых способов определить вероятность исхода событий является её определение через общее количество исходов, например:
Мы имеем кубик с 6-ю гранями, соответственно общее количество исходов это 6. Тогда вероятность выпадения каждой из граней это 1/6. Для кубика с n гранями вероятность будет равна 1/n.

#ТеорияВероятности #РазделыМатематики

Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) — выдающийся немецкий математик и ученый, известный как "король математиков". Его вклад охватывает различные области: от теории чисел до геометрии, анализа, астрономии и физики.

Уже в юности Гаусс проявил себя как вундеркинд. В 18 лет он доказал фундаментальную теорему алгебры, а в 24 года опубликовал "Арифметические исследования" — работу, заложившую основы современной теории чисел. Он также ввел понятие комплексных чисел и разработал метод наименьших квадратов, важный для статистики.

Гаусс внёс огромный вклад в астрономию, вычислив орбиту астероида Церера. В геодезии он развил методику триангуляции и ввел гауссову кривую, важную для геометрии и статистики.

Его работы повлияли на развитие математики и физики на многие годы вперёд. Гаусс стал символом точности и глубины научного исследования, оставив после себя богатое наследие, актуальное и по сей день.

«Бог не играет в кости, а зря - такой был бы игрок...»
Комментарий к теме случайность и вероятность

В данном комментарии я буду исходить из детерминизма, то есть из философской теории о том, что ничего в мире не происходит просто так и для всего есть своя причина. Например: причиной того, что при броске кубика выпала пятёрка, является то, что бросающий подкинул его именно с такой силой, именно в этом месте, и он упал именно на этой поверхности. Если бы все условия были прежними, то кубик снова упал бы на 5, и через десять раз, и через 100.

Так как же вписывается такое понятие, как случайность, в концепцию детерминизма? Ведь случайностей нет, а значит, вероятность каждого события всегда должна быть одна — 100%. Нет, отвечу я, всё дело в восприятии такой вещи, как случайность.

Мы, люди, к сожалению, не можем воспринимать и осознавать все факторы, влияющие на ход событий, хотя бы в силу ограниченности нашего разума. И в соответствии с этим мы не всегда можем со стопроцентной уверенностью сказать, что что-либо произойдёт, в силу вышеуказанных факторов. И для того чтобы хоть как-то обходить этот недостаток человеческого организма, было придумано такое понятие, как случайность, то есть то, что мы не в силах предугадать. Это значит мы просто говорим, что не учитываем некоторые факторы при попытке предсказать последующее событие, а значит, просто считаем его случайным.

В этом контексте вероятность — это величина, описывающая то, насколько часто при равных условиях можно встретить подобный исход, а случайность - событие на появление которого повлияли факотры, которые мы не учитываем.


Я очень надеюсь что этот комментарий был тебе полезным. Всем желающим критики или обсуждения добро пожаловать в комментарии, и не забывай, что математика была сделана для использования. Хорошего дня!

#Общее #Комментарии #ТеорияВероятности

Леонард Эйлер (1707–1783) — один из величайших математиков в истории, чьи работы охватывают широкий спектр областей, включая анализ, теорию чисел, топологию, а также механику и оптику. Родился в Швейцарии, большую часть жизни провёл в России и Пруссии, став важной фигурой в Санкт-Петербургской Академии наук.

Эйлер внёс значительный вклад в развитие математического анализа, введя такие понятия, как функция и экспонента. Он разработал множество формул, включая знаменитую формулу Эйлера, объединяющую ключевые математические константы. Эйлер также считается основателем графовой теории, предложив решение задачи о кёнигсбергских мостах.

Он внёс вклад в дифференциальные уравнения и механику, заложив основы для математического описания многих физических явлений. Несмотря на потерю зрения в поздние годы, Эйлер продолжал активно работать, оставив после себя более 800 публикаций. Его работы оказали огромное влияние на развитие математики, и многие из его методов и идей остаются актуальными и сегодня.

«Событийная бутафория»
Цикл: Разделы математики (6)
Подцикл: Теория вероятности. Основы (1)

Что называется событием, и какие виды событий бывают?
Допустим, мы ставим опыт. Опыт заключается в самом простом, что можно представить, — в кидании монетки. В нашем случае есть 2 возможных события: Орёл — (A) или Решка — (B). То есть событие — это исход какого-либо эксперимента.
Перейдём дальше к типам событий, их есть три:

1) Достоверное
2) Невозможное
3) Случайное
Достоверное — это то, что произойдёт в любом случае, например:
Выпадет или орёл, или решка ((A + B)).
Невозможное — это то, что не произойдёт ни в коем случае, например:
Выпадет и орёл, и решка ((AB)) или выпадет снег ((C)).
Случайное — это то, что может произойти, но происходить не должно, например:
Выпадет орёл ((A)) или выпадет решка ((B)).

Также события можно разделить на совместимые и несовместимые, например:
Завтра в 12:00 пойдёт дождь ((A)).
Завтра в 12:00 не пойдёт дождь ((B)).
Завтра в 5:00 будет туман ((C)).

В этом случае мы можем точно сказать, что события (A) и (B) несовместимы, поскольку в один момент времени не может и пойти дождь, и не пойти.
Но вот (A) и (C), а также (B) и (C) вполне себе совместимы.


Я надеюсь тебе был полезен этот событийный пост. Не забывай, комментарии для критики, а математика для использования. Хорошего дня!

#РезделыМатематики #ТеорияВероятности

Альберт Эйнштейн (1879–1955) прежде всего известен как физик, но его работы оказали значительное влияние и на математику. Хотя сам Эйнштейн не считал себя математиком, его научные достижения были неразрывно связаны с математическими открытиями.

Наиболее известное достижение Эйнштейна — это его теория относительности. В рамках специальной теории относительности (1905 год) он вывел знаменитое уравнение е=mc², которое описывает взаимосвязь между массой и энергией. Важнейшая часть этого открытия связана с использованием сложных математических методов, таких как тензорный анализ и линейная алгебра.

В 1915 году Эйнштейн завершил работу над общей теорией относительности, которая расширяет идеи специальной теории, описывая гравитацию как искривление пространства-времени. Основу этой теории составляют уравнения Эйнштейна, которые являются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных и требуют глубоких знаний в области дифференциальной геометрии.

Эйнштейн активно сотрудничал с математиками того времени, такими как Давид Гильберт и Герман Минковский, что помогло ему в формулировке его теорий. Он также внёс вклад в развитие математической физики, особенно в области квантовой механики, хотя его взгляды на природу квантовой неопределённости отличались от общепринятых.

Таким образом, Эйнштейн, несмотря на скромное отношение к своим математическим способностям, внёс фундаментальный вклад в математику, сделав её инструментом для описания сложных физических явлений и открыв новые области для математических исследований.

«А что, есть больше одной алгебры?»
Алгебра Событий

Цикл: Разделы математики (6) Подцикл: Теория вероятности. Основы (2)

Предположим, у тебя есть колода из 36 карт. Ты как следует перемешал эту колоду, и тянешь одну карту с вершины колоды. Какие разные предположения о будущих событиях ты можешь поставить? Самое очевидное — это сказать, что может попасться «Дама Пик». Но ты также можешь сказать: карта, которую я вытяну, будет красной, это тоже подходящее предположение. Также можно сказать, что это будет либо «7 Пик», либо «10 Крести», а можно, например, сказать, что это будет не «Король Бубен». Всё это возможные исходы, но можно ли как-либо описать на математическом языке?

Оказывается, можно, и даже более того, я использовал его в прошлом посте.

Допустим, у нас есть 36 событий, и мы даём им определённые имена следующим образом: Ac6 - 6 Червей AcD - Дама Червей Ab10 - 10 Бубен ApT - Туз Пик AkB - Валет Крести

В таком случае выражение Туз Пик и Король Червей могут быть описаны так: ApTAcK (2 события друг за другом без других знаков) или ApT ⋃ AcK; это также иногда называют произведением двух событий.

А выражение 6 Червей или 7 Червей вот так: Ac6 + Ac7; это также иногда называют суммой двух событий.

Чтобы сказать “не” в этом писании, нужно нарисовать черту над символом события, но так как Telegram эту функцию, к сожалению, не поддерживает, мы будем использовать восклицательный знак перед событием. Например: Ac6 + !Ac7.

На этом закончим наше с тобой знакомство с этим писанием. Надеюсь, тебе был полезен данный материал. Не забывай, что комментарии сделаны для критики, а математика для использования. Хорошего тебе дня!

#ТеорияВероятности #РазделыМатематики

Сриниваса Рамануджан (1887–1920) — выдающийся индийский математик, чьи работы оказали глубокое влияние на теорию чисел, математический анализ, продолжительные дроби и бесконечные ряды. Несмотря на отсутствие формального математического образования, Рамануджан демонстрировал поразительную интуицию и способность решать сложнейшие задачи.

Его ранние работы, в основном написанные в Индии, включали множество формул и теорем, многие из которых Рамануджан вывел самостоятельно, не зная, что некоторые из них уже были открыты ранее. В 1913 году он написал письмо известному британскому математику Г.Х. Харди, в котором представил свои результаты. Харди был впечатлён и пригласил Рамануджана в Кембридж. В результате их сотрудничества было опубликовано множество статей, некоторые из которых заложили основы для новых направлений в математике.

Рамануджан известен своими работами по распределению простых чисел, гипергеометрическим рядам и теориям о разбиениях чисел. Его так называемая "Рамануджановская τ-функция" и "модульные формы" до сих пор остаются предметом активного изучения в математике.

Его труд "Математические записки" содержит тысячи формул, многие из которых были подтверждены и исследованы математиками спустя десятилетия. Несмотря на короткую жизнь, Рамануджан оставил наследие, которое продолжает вдохновлять математиков всего мира и сегодня.

Наконец-то можно перейти к центральному понятию теории вероятности — вероятности. Классическим определением вероятности было бы: 
"Вероятность — это отношение определённых исходов к числу всех возможных исходов." Это определение подходит для довольно большого спектра случаев, но имеет и свои недостатки, например, в случаях, когда количество исходов бесконечно или когда некоторые исходы вероятнее других. Но эти темы мы затронем позже, а сейчас оставим это определение.

В соответствии с этим определением можно без труда вычислить интересующую нас вероятность, например, выпадения 4 на кубике или того, что раздающий карты выдаст тройку пик. Так как на обычном кубике всего 6 граней, то вероятность первого события будет 1/6, а в колоде 52 карты, поэтому вероятность второго события будет 1/52. 
Также вероятность можно выразить следующим образом: 
P(A), где P — функция вероятности, а A — множество исходов, вероятность которых вас интересует.

Теперь можно перейти к основным свойствам вероятностей:
1. Вероятность события плюс вероятность противоположного события равна 1, то есть это событие достоверно: 
P(A) + P(!A) = P(A + !A) = 1

2. Вероятность события, не присутствующего в множестве возможных исходов, равна 0: 
P(B|B∉A) = 0, где А — множество возможных исходов. То есть, вероятность исходов из B, где B не принадлежит A (B|B∉A)

3. Вероятность того, что произойдёт одно из двух несовместных событий, равна сумме их вероятностей: 
P(A) + P(B) = P(A+B), при A⋂B=∅;. То есть, при том условии что пересечение A и B (A⋂B) выдаёт пустое множество (∅)

4. Вероятность того, что сначала произойдёт одно событие, а потом другое, равна их произведению:  P(A) * P(B)


Я очень надеюсь, что тебе был полезен данный пост. Как всегда, комментарии критикам, математика использованию.

#ТеорияВероятности #РазделыМатематики

Пифагор (ок. 570–495 гг. до н. э.) — древнегреческий математик и философ, родился на Самосе, а затем основал свою школу в Кротоне, Италия.

Главным его достижением является теорема Пифагора, утверждающая, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Эта теорема легла в основу геометрии и остается важным элементом школьного курса математики.

Пифагор первым ввел понятия четных и нечетных чисел, исследовал их свойства и установил, что музыкальные гармонии можно описать через математические соотношения. Пифагорейцы, последователи его учения, рассматривали числа как сущность всего сущего, связывая их с космическим порядком.

Они верили в реинкарнацию и придавали числам мистическое значение. Идеи Пифагора оказали глубокое влияние на последующих философов и математиков, таких как Платон и Евклид, и продолжают быть важными для понимания математики и ее связи с миром.

Евклид, известный как "отец геометрии", был древнегреческим математиком, жившим в Александрии примерно в 300 г. до н.э. Его наиболее значительным трудом является "Начала" (или "Элементы"), обширный сборник математических знаний своего времени, который включает в себя геометрию, теорию чисел и логику.

"Начала" состоят из 13 книг, охватывающих такие темы, как геометрические фигуры, соотношения и пропорции, теория чисел и свойства прямых и кругов. В этих книгах Евклид систематизировал и обобщил математические знания, существовавшие до него, и заложил основы для дальнейшего развития математики на протяжении веков.

Метод Евклида, основанный на аксиоматическом подходе, стал фундаментом для всей западной науки. Он начинал с определений, постулатов и аксиом, из которых логически выводились теоремы. Этот подход оказал влияние не только на математику, но и на логику, философию и даже на естественные науки.