اوایل قرن هفدهم گالیله سعی کرد مجموعه اعداد طبیعی و اعداد مربع کامل رو با هم مقایسه کنه. استدلال گالیله این شکلی بود که:
چون هر عدد مربع کامل دقیقاً یک ریشه مثبت داره، و هر عدد طبیعی ریشهٔ یک عدد مربع کامل است، بنابراین باید تعداد اعداد مربع کامل و اعداد طبیعی برابر باشد.
از اون طرف می دید که بعضی اعداد طبیعی، مربع کامل نیستند یعنی اگر نسبت اعداد مربع کامل رو به اعداد طبیعی در بازه های مختلف و هر بار بزرگ تر حساب کنیم، در نهایت به صفر میل می کنه.گالیله نتونست این پارادوکس رو حل کنه و فکر می کرد نمی شه بین اندازه مجموعه های نامتناهی تمایز قائل بشیم.
در سال ۱۸۷۰ کانتور تعریف زیر رو برای برابر بودن تعداد اعضای دو مجموعه ارائه کرد:
دو مجموعه تعداد اعضاشون یکیه یا هم مقدار یا هم کاردینال هستند اگر بشه یه تابع یک به یک و پوشا بین اون ها تعریف کرد.
بنابراین استدلال اول گالیله درست بود و اون دو مجموعه هم اندازه هستند.
مجموعه هایی هست که تعداد اعضاشون از تعداد اعضای مجموعه اعداد طبیعی بیشتر هست. در واقع مجموعه اعداد طبیعی کوچکترین مجموعه نامتناهی محسوب می شه و اندازه اون رو با 0א‎ نشون می دیم.(خونده می شه آلف زیرو یا صفر)
یکی از دستاوردهای بزرگ کانتور در منطق این بود که استدلال گالیله را به عنوان یک پارادوکس حل‌نشدنی در نظر نگرفت، بلکه شروع به توسعه نظریه‌ای غنی درباره بی‌نهایت‌ها کرد. حتی ثابت کرد که اعداد گویا هم به اندازه اعداد طبیعی عضو دارند. ولی در مورد اعداد حقیقی استدلال درخشانی داشت که اگر اعضای R رو لیست کنیم، می شه از اون ها عضوی دیگه به دست آورد که در اون لیست نباشه(مطابق تصویر پیوست)
پس تعداد اعضای R بیشتر از N می شه و اون رو با
2^ℵ0
نشون می دیم.
‌کانتور می گفت: می شه تعداد اعضای هر دو مجموعه رو مقایسه کرد.
ازℵ1 برای نشون دادن اولین مجموعه ناشمارا(یعنی بیشتر از N عضو داره) و به همین ترتیب و داریم:
ℵ0<ℵ1<ℵ2<....

2^ℵ0
در این لیست کجاست؟

در ادامه و در چند بخش دیگه، از این مقدمات به یکی از نتایجی که S. Shelah و ریاضیدان دیگه ای چند سال پیش به اون رسیدند اشاره می شه.

سی و یکمین روز سال

سوال اینجا است:
اگر
ℵ0<ℵ1<ℵ2<....
در این صورت
2^ℵ0
کجای این لیست قرار می گیره؟
این سوال در ZFC
Undecidable
هست.
در بعضی از مدل ها داریم:
2^ℵ0=ℵ1
یعنی بعد از اعداد طبيعی، اعداد حقیقی قرار داره. یعنی اعداد حقیقی اولین مجموعه غیرشمارا می شه. این همون چیزیه که بهش می گند:
فرضیه پیوستار
ولی خب مدل ها و تفسیرهایی هست که این رابطه برقرار نیست و مثلا داریم:
2^ℵ0=ℵ16
[تعبیر مدل یا تفسیر و همین طور
Undecidable
رو می شه اینجوری توضیح داد، معادله
x^2=2
جواب داره یا نه؟
هم R و هم Q از یه سری قواعد جمع و ضرب پیروی می کنند. جواب اون سوال بستگی داره در R دارید بحث می کنید یا در Q. پس همین جوری نمی شه جواب داد و
Undecidable
هست.
با اصول ZFC می تونی تکلیف این گزاره که جمع زوایای مثلث ۱۸۰ می شه یا نه رو مشخص کنی ولی رابطه بین
2^ℵ0  , ℵ1
رو نمی تونی تعیین کنی]
کلا در بخشی از قرن گذشته ریاضی دان ها کارشون این بوده مدل های مختلفی بسازند که بین اون دو تا کاردینال، کاردینال های زیادی وجود داشته و بخشی از نظریه مجموعه ها تحلیل همین مدل ها بوده. حتی مدل هایی که برای هر دو اون ها، تساوی بین اون دو عدد برقرار هست، رفتارهای خیلی متفاوتی با هم دارند.

Every positive even integer can be written as the sum of two primes.

این سایت به منظور بررسی حدس گلدباخ راه افتاده، یه مهندس نرم افزار ژاپنی اون رو راه انداخته(به عنوان چالش شخصی)
ظاهرا رکورد هم زده. می شه مشارکت هم کرد.

https://gridbach.com/

این هم جالب بود، از این تیپ سوالات که سال ها به عنوان سوال ریاضی و یا تست هوش بیشتر در مقاطع پایین تر استفاده می شده و هنوز هم می شه از اساس غلط هست و جواب درستش اینه که اطلاعات کافی نیست برای حل مساله.
مثل این تست IQ، که جمله بعدی دنباله چی می شه؟

پرلمان درباره نپذیرفتن جایزه فیلدز
ظاهرا در اون مقطع بیکار هم بوده...

این هم تصویر معروفی هست که در کتاب ها و... زیاد به اون اشاره می شه. یه مفهومی هست که شنیدید حتما، به اسم
Survivorship Bias
سوگیری بقا
تو جنگ جهانی دوم بررسی می کردند که کدوم قسمت هواپیماها بیشتر آسیب دیده که اون رو تقویت کنند، دیدند قسمت های قرمز. پس گفتند همین ها رو باید تقویت کنیم.
ریاضیدان آمریکایی
Abraham Wald
استدلال کرد که این هواپیماها با همین آسیب برگشتند، یعنی این بخش ها مستحکم هستند و اون نقاطی که گلوله نخوردند آسیب پذیرترند، چون قسمت هایی که گلوله نخورده یعنی هواپیما آسیب می بینه و بر نمی گرده.
البته تنها دستاورد زندگی اش همین نبوده(که الان در حد معماهای معمولی به نظر میاد)
در زمینه آمار و OR کار می کرده و مدتی در مرکز تحقیقات آماری(SRG) فعالیت می کرده. پسرش هم فیزیک دان برجسته ای بوده ظاهرا.

طبق انتظار چین اول شد.
آمریکا دوم(که نصف شرکت کننده ها اسم و قیافه شون می خوره چینی باشند)
استرالیا هم سوم
چهار تا شرکت کننده آمریکا همه شون طلا گرفتند و از چهار تا شرکت کننده چینی سه تا طلا و یکی نقره و چون امتیازی بالاتر بودند اول شدند.
https://www.egmo.org/egmos/egmo14/scoreboard/

نتیجه سال ۲۰۲۳، چین اول، آمریکا دوم، استرالیا سوم
همه چینی بودند!

این مقاله داستان حل یه انتگرال و ربطش به نقشه است. در سال ۱۵۶۹، مرکاتور که یک نقشه نگار بوده برای نمایش خطوط دریایی به صورت خط مستقیم به یک تابع نیاز داشت که ربط داشت به انتگرال تابع sec(x). اما نتونست اون انتگرال رو حل کنه و از روش های تقریبی استفاده کرد.
کمتر از یه قرن بعد، یه معلم به طور تصادفی اون انتگرال رو حل کرد.
انتگرال sec(x) برای ساخت نقشهٔ مرکاتور ضروری بود، چون این نقشه باید خطوط طول و عرض جغرافیایی را طوری نمایش بده که زاویه‌ها حفظ بشند (یعنی نقشه هم‌زاویه باشه) برای اینکار فاصله‌ها در جهت عرض جغرافیایی باید با ضریب sec(φ) کشیده بشند، که φ عرض جغرافیایی است. بنابراین، محاسبهٔ دقیق اون انتگرال برای طراحی درست نقشه ضروری بود.​
نویسنده یه جایی اشاره می کنه که در کلاس های درسی هیچ اشاره ای به این نکات تاریخی نمی شه و صرفا یه سری فرمول حفظ می شه توسط دانش آموز یا دانشجو.
جوابش هم این می شه:
∫sec x dx=ln|sec x + tan x|+ C

https://liorsinai.github.io/mathematics/2020/08/27/secant-mercator.html

به مناسبت تولد Michael Atiyah
سخنرانی درباره موضوعات اصلی دانش در قرن بیستم
در مورد ریاضیات، فیزیک، فلسفه و...

#دانستنی های_ به درد_نخور ۲۰
می دونستید که یه پروژه به اسم
Mathemalchemy
وجود داره که در واقع یه پروژه ریاضی-هنریه. ترکیب دو تا کلمه
Mathematics, Alchemy
و به معنی کیمیاگری ریاضی.
بیشتر نصب و طراحی شکل های سه بعدی از داستان ها و قصه ها و مفاهیم ریاضی و معمولا حالت فانتزی داره.
۲۴ تا ریاضیدان و هنرمند از کشورهای مختلف این پروژه رو راه انداختند. از بنیانگذارانش خانم
Ingrid Daubechies
ریاضیدان و فیزیکدان بلژیکی هست.

https://mathemalchemy.org/

درباره خانم
Ingrid Daubechies

جالبی این بحث در اینه که با حداقل پیش زمینه می شه یکی از نتایج مهم این حوزه رو ازش سر در آورد.
از این جا به بعد فقط با زیرمجموعه های اعداد طبیعی کار داریم. تعریف زیر رو در نظر می گیریم:
فرض می کنیم A و B زیرمجموعه‌ ایی از اعداد طبيعی باشند، می گیم A تقریبا زیرمجموعه B هست اگر همه اعضا A در B باشند به جز تعدادی متناهی. مثلا اگر A مجموعه اعداد فرد باشه و B مجموعه اعداد طبیعی بزرگتر از ۳. در این صورت A تقریبا زیرمجموعه B می شه، چون جز ۱ و ۳ بقیه اعضای A عضو B هم هست.
چرا این رابطه مهمه؟ و چرا خود مفهوم زیرمجموعه بودن رو به طور معمول در نظر نمی گیریم؟ چون انعطاف‌پذیرتره و در نظریه مجموعه ها و منطق ریاضی، این نوع رابطه اجازه می ده درباره مجموعه های نامتناهی به نتایج جالبی برسیم.
مثلا A_n رو تعریف می کنیم مضرب های n.
A_1
می شه همه اعداد طبیعی
A_2
می شه اعداد زوج
A_3
می شه مضرب های ۳ و به همین ترتیب تا مثلا n ایی ثابت.
اشتراک همه این ها بی نهایت عضو داره، چون !n و مضاربش در همه شون هست.
اینجا اینا یه سیستمی از مجموعه ها می شند(منظور A_n ها) که می گیم در خاصیت اشتراک متناهی صدق می کنند‌.
واضح هست که برای کل دسته A_n ها اشتراک تهی می شه.
پ ن: در بخش بعدی نتیجه نهایی گفته می شه.

اگر فکر می کنید تو مثال نقض زدن حرفه ای هستید، این کتاب رو ببینید.
به نظرم باید به عنوان یه درس اختیاری، درسی با همین عنوان در دوره کارشناسی تدریس بشه!
پ ن: کتابش با کیفیت بهتر در اینترنت هست.

امروز تولد اسکار زاریسکی هست. در منابع فارسی چیزی در موردش پیدا نکردم. از بزرگترین ریاضیدان های قرن گذشته.
دانشجوهای ارشد احتمالا اسمش رو به خاطر توپولوژی معروفش شنیده باشند. کتاب دو جلدی اش هم در جبر الان یک اثر کلاسیک حساب می شه. می شه گفت تقریبا تمام شاگرداش از غول های زمینه کاری خودشون هستند. معروف ترین شون
David Mumford

در ایتالیا درس خوند و به جبر و نظریه اعداد علاقه داشت. از تاثیرگذارترین ریاضی دان ها در زمینه هندسه جبری. در ایتالیا شاگرد
Guido Castelnuovo
بود. استادش درباره اش گفته بود:
زاریسکی با ما است ولی از ما نیست.

اعتقاد داشت دوران روش های سنتی در هندسه ایتالیایی به پایان رسیده و باید از ابزارهای جبری و توپولوژیک در هندسه استفاده کرد. جمله ی معروفی داره که می گه:
Lefschetz
نیزه توپولوژی رو در بدن نهنگ هندسه جبری فرو کرد.

در مورد ریاضیات نگاه جدی و حرفه ای داشت و خودش می گفت که اعتقاد داره که باید هر روز ریاضی کار کنه(هر روز یک لم)
نکته جالب درباره اش اینه که بیشتر دستاوردهای بزرگش بعد از ۴۰ سالگی به دست اومد، امیدواری برای خیلی از ریاضیدان ها.