این مقاله داستان حل یه انتگرال و ربطش به نقشه است. در سال ۱۵۶۹، مرکاتور که یک نقشه نگار بوده برای نمایش خطوط دریایی به صورت خط مستقیم به یک تابع نیاز داشت که ربط داشت به انتگرال تابع sec(x). اما نتونست اون انتگرال رو حل کنه و از روش های تقریبی استفاده کرد.
کمتر از یه قرن بعد، یه معلم به طور تصادفی اون انتگرال رو حل کرد.
انتگرال sec(x) برای ساخت نقشهٔ مرکاتور ضروری بود، چون این نقشه باید خطوط طول و عرض جغرافیایی را طوری نمایش بده که زاویه‌ها حفظ بشند (یعنی نقشه هم‌زاویه باشه) برای اینکار فاصله‌ها در جهت عرض جغرافیایی باید با ضریب sec(φ) کشیده بشند، که φ عرض جغرافیایی است. بنابراین، محاسبهٔ دقیق اون انتگرال برای طراحی درست نقشه ضروری بود.​
نویسنده یه جایی اشاره می کنه که در کلاس های درسی هیچ اشاره ای به این نکات تاریخی نمی شه و صرفا یه سری فرمول حفظ می شه توسط دانش آموز یا دانشجو.
جوابش هم این می شه:
∫sec x dx=ln|sec x + tan x|+ C

https://liorsinai.github.io/mathematics/2020/08/27/secant-mercator.html

به مناسبت تولد Michael Atiyah
سخنرانی درباره موضوعات اصلی دانش در قرن بیستم
در مورد ریاضیات، فیزیک، فلسفه و...

#دانستنی های_ به درد_نخور ۲۰
می دونستید که یه پروژه به اسم
Mathemalchemy
وجود داره که در واقع یه پروژه ریاضی-هنریه. ترکیب دو تا کلمه
Mathematics, Alchemy
و به معنی کیمیاگری ریاضی.
بیشتر نصب و طراحی شکل های سه بعدی از داستان ها و قصه ها و مفاهیم ریاضی و معمولا حالت فانتزی داره.
۲۴ تا ریاضیدان و هنرمند از کشورهای مختلف این پروژه رو راه انداختند. از بنیانگذارانش خانم
Ingrid Daubechies
ریاضیدان و فیزیکدان بلژیکی هست.

https://mathemalchemy.org/

درباره خانم
Ingrid Daubechies

جالبی این بحث در اینه که با حداقل پیش زمینه می شه یکی از نتایج مهم این حوزه رو ازش سر در آورد.
از این جا به بعد فقط با زیرمجموعه های اعداد طبیعی کار داریم. تعریف زیر رو در نظر می گیریم:
فرض می کنیم A و B زیرمجموعه‌ ایی از اعداد طبيعی باشند، می گیم A تقریبا زیرمجموعه B هست اگر همه اعضا A در B باشند به جز تعدادی متناهی. مثلا اگر A مجموعه اعداد فرد باشه و B مجموعه اعداد طبیعی بزرگتر از ۳. در این صورت A تقریبا زیرمجموعه B می شه، چون جز ۱ و ۳ بقیه اعضای A عضو B هم هست.
چرا این رابطه مهمه؟ و چرا خود مفهوم زیرمجموعه بودن رو به طور معمول در نظر نمی گیریم؟ چون انعطاف‌پذیرتره و در نظریه مجموعه ها و منطق ریاضی، این نوع رابطه اجازه می ده درباره مجموعه های نامتناهی به نتایج جالبی برسیم.
مثلا A_n رو تعریف می کنیم مضرب های n.
A_1
می شه همه اعداد طبیعی
A_2
می شه اعداد زوج
A_3
می شه مضرب های ۳ و به همین ترتیب تا مثلا n ایی ثابت.
اشتراک همه این ها بی نهایت عضو داره، چون !n و مضاربش در همه شون هست.
اینجا اینا یه سیستمی از مجموعه ها می شند(منظور A_n ها) که می گیم در خاصیت اشتراک متناهی صدق می کنند‌.
واضح هست که برای کل دسته A_n ها اشتراک تهی می شه.
پ ن: در بخش بعدی نتیجه نهایی گفته می شه.

اگر فکر می کنید تو مثال نقض زدن حرفه ای هستید، این کتاب رو ببینید.
به نظرم باید به عنوان یه درس اختیاری، درسی با همین عنوان در دوره کارشناسی تدریس بشه!
پ ن: کتابش با کیفیت بهتر در اینترنت هست.

امروز تولد اسکار زاریسکی هست. در منابع فارسی چیزی در موردش پیدا نکردم. از بزرگترین ریاضیدان های قرن گذشته.
دانشجوهای ارشد احتمالا اسمش رو به خاطر توپولوژی معروفش شنیده باشند. کتاب دو جلدی اش هم در جبر الان یک اثر کلاسیک حساب می شه. می شه گفت تقریبا تمام شاگرداش از غول های زمینه کاری خودشون هستند. معروف ترین شون
David Mumford

در ایتالیا درس خوند و به جبر و نظریه اعداد علاقه داشت. از تاثیرگذارترین ریاضی دان ها در زمینه هندسه جبری. در ایتالیا شاگرد
Guido Castelnuovo
بود. استادش درباره اش گفته بود:
زاریسکی با ما است ولی از ما نیست.

اعتقاد داشت دوران روش های سنتی در هندسه ایتالیایی به پایان رسیده و باید از ابزارهای جبری و توپولوژیک در هندسه استفاده کرد. جمله ی معروفی داره که می گه:
Lefschetz
نیزه توپولوژی رو در بدن نهنگ هندسه جبری فرو کرد.

در مورد ریاضیات نگاه جدی و حرفه ای داشت و خودش می گفت که اعتقاد داره که باید هر روز ریاضی کار کنه(هر روز یک لم)
نکته جالب درباره اش اینه که بیشتر دستاوردهای بزرگش بعد از ۴۰ سالگی به دست اومد، امیدواری برای خیلی از ریاضیدان ها.

فرض کنید f و g دو تابع تحلیلی روی دیسک باز D باشند و روی مجموعه A داشته باشیم:
∣f∣=∣g∣
اگر A اجتماع دو خط درون دیسک باشه که با زاویه ای که ضریب گنگی از π هست همدیگر رو قطع می کنند در اون صورت:
حتماً عددی مثل c روی دایره واحد (یعنی قدر مطلقش یک هست) وجود داره که
cg=f

به ظاهرش می خوره که مثلا از سوالات مسابقات ریاضی دانشجویی باشه(اثبات کم و بیش در همین حده)
دو تا ریاضیدان یک alternative proof برای این قضیه ارائه دادند(به همراه نتایج دیگه ای) و برنده جایزه
2025 G. de B. Robinson Award

جایزه ای که هر ساله به بهترین مقالات چاپ شده در
Canadian Journal of Mathematics (CJM) and the Canadian Mathematical Bulletin (CMB)
داده می شه.



https://cms.math.ca/news-item/dr-isabelle-chalendar-and-dr-jonathan-r-partington-to-receive-the-2025-g-de-b-robinson-award/

https://arxiv.org/abs/2403.16255

بهتره خیلی حساب کاردینال ها رو با انتخاب پاپ گره نزنیم!

یه سوال اساسی در نظریه مجموعه ها اینه که
P(ℵω​)
چقدر بزرگه؟
یعنی مجموعه توانی ℵω
که خود این یعنی
ℵω=sup {ℵn, ​n<ω​}

فرضیه پیوستار می گه برای هر کاردینال نامتناهی κ داریم:
2^κ=κ+
اگر این رو درست فرض کنیم جواب سوال خیلی راحته.
Saharon Shelah
بدون اون فرض تونست یه کران بالا برای اون مجموعه توانی بدست بیاره و البته بهبودش ظاهرا هنوز یه مساله باز هست.
به هر حال به امید ظاهر شدن دود سفید از کلیسای سیستین.

🔷 انتگرال‌گیرهای کلوین و ماکسول

داشتم دربارهٔ تاریخچهٔ کامپیوترهای آنالوگ جست‌وجو می‌کردم که به مقاله‌هایی از کلوین و ماکسول برخوردم. آن‌قدر نکات جالب و هیجان‌انگیز در این مقاله‌ها و مرتبط با این مقاله‌ها پیدا کردم که حیفم آمد آن‌ها را با همراهان دِرَنــگ در میان نگذارم.

▪️ موضوع اصلی هر دو مقاله طراحی ابزارهایی است برای محاسبهٔ انتگرال‌های معین. شاید امروز کسانی مانند کلوین و ماکسول بیشتر به‌عنوان فیزیک‌دان نظری شناخته شوند ولی در زمان خودشان ترکیبی از ریاضی‌دان، فیزیک‌دان و مهندس بوده‌اند.

▪️مقالهٔ کلوین در سال ۱۸۷۶ در مجله‌ٔ
Proceedings of the Royal Society of London
چاپ شد. عنوان مقاله‌اش این است: «دربارهٔ ابزاری برای محاسبهٔ انتگرال حاصل‌ضرب دو تابع داده‌شده».

در ابتدای مقاله توضیح می‌دهد که مدت‌های طولانی داشته به طراحی ابزاری فکر می‌کرده که با آن بتوان محاسبات سنگین انتگرال‌های معین را به‌سادگی انجام داد. دلیلش هم این بوده که برای پیدا کردن تبدیل فوریهٔ توابع نیاز به محاسبه‌ٔ این انتگرال‌ها داشته. طرحی به ذهنش می‌رسد و طرح را با برادرش در میان می‌گذارد:

«ماشین پیشنهادی خود را چند روز پیش برای برادرم پروفسور جیمز تامسون توضیح دادم و او در پاسخ دربارهٔ نوعی انتگرال‌گیر مکانیکی برایم صحبت کرد که سال‌ها پیش به ذهنش رسیده بود ولی هیچ شرحی از آن منتشر نکرده بود. فوراً متوجه شدم که ماشین او خیلی ساده‌تر از هرآنچه قبلاً به آن فکر کرده بودم مرا به هدفم می‌رساند. گزارشی از انتگرال‌گیر او در همین شماره از مجله‌ٔ انجمن سلطنتی همراه با مقالهٔ‌ حاضر منتشر می‌شود.»


▪️قالب مقاله با مقاله‌های امروزی بسیار متفاوت است. چکیده و مقدمه و نتیجه‌گیری و مراجع ندارد. متن مقاله خیلی سرراست و ساده و صمیمانه است. از فکری که سال‌ها در سرش بوده سخن می‌گوید، مکالمه‌ای را که با برادرش داشته نقل می‌کند و صادقانه می‌گوید طرح برادرش از طرحی که به ذهن خودش رسیده بوده خیلی بهتر است.

▪️گزارش جیمز تامسون دربارهٔ ماشین انتگرال‌گیری‌اش هم در همین شماره از مجله و قبل از مقالهٔ کلوین آمده است: «دربارهٔ یک ماشین انتگرال‌گیری با یک اصل سینماتیکی جدید». در همین مقاله به کارهای ماکسول و مقالهٔ او در این زمینه اشاره شده است. مقالهٔ ماکسول بیش از بیست سال قبل از آن، یعنی در سال ۱۸۵۵، در مجله‌ٔ
Transactions of the Royal Scottish Society of Arts
چاپ شده بود. تامسون می‌گوید که ماکسول ایدهٔ کارش را از ماشین انتگرال‌گیری دیگری گرفته بود که در سال ۱۸۵۱ در نمایشگاه بزرگ لندن دیده بود. آن ماشین از نظر ماکسول ایرادهایی داشت و برای رفع آ‌ن‌ها خودش شروع کرده بود به طراحی یک ماشین دیگر.

▪️نمایشگاه بزرگ (Great Exhibition) که جیمز تامسون از آن یاد می‌کند نمایشگاهی بین‌المللی از اختراعات و تولیدات صنعتی بود که در سال ۱۸۵۱ در هایدپارک لندن برگزار شد. نمایشگاه بیش از پنج ماه دایر بود و بیش از شش میلیون نفر از آن بازدید کردند. (لطفاً یک بار دیگر به عددها توجه کنید!)

▪️نکته‌ای که در همه‌ٔ این مقاله‌ها جلب‌توجه می‌کند این است که متن آن‌ها را تقریباً به راحتی متن‌های امروزی می‌توان خواند. بازهٔ زمانی میان انتشار این دو مقاله (۱۸۵۵ تا ۱۸۷۶) حدوداً مقارن است با نیمهٔ اول دوره‌ٔ سلطنت ناصرالدین‌شاه. بعید می‌دانم متن‌‌های فارسی آن دوره را بتوان به راحتی متن‌های فارسی امروزی خواند.

▪️حالا که داریم تاریخ‌ها را مقایسه می‌کنیم، شاید بد نباشد به این هم اشاره کنیم که نمایشگاه بزرگ لندن در همان سالی برگزار شد که دارالفنون تأسیس شد.

▪️مقاله‌های کلوین و برادرش را می‌توانید در این فایل پی‌دی‌اف ببینید. در این فایل دو مقالهٔ کوتاه دیگر هم هست که در آن‌ها کلوین به کاربرد ماشین انتگرال‌گیر برای حل معادله‌های دیفرانسیل می‌پردازد.

▪️مقالهٔ ماکسول در کتابی که دانشگاه کمبریج از مجموعه‌ٔ مقاله‌های علمی او منتشر کرده بازنشر شده است (مقالهٔ شمارهٔ ۹). سال چاپ نخست این مجموعه ۱۸۹۰ است؛ یازده سال پس از درگذشت ماکسول. طرح‌وارهٔ ماشین پیشنهادی ماکسول را هم در انتهای همین مجموعه می‌توانید پیدا کنید.

▫️مطالعه‌ٔ تاریخ علم همیشه آموزنده و هیجان‌انگیز است. واینبرگ هم در چهار درس طلایی‌اش تأکید می‌کند که از مطالعه‌ٔ تاریخ علم غافل نشوید.

@k1samani_channel

به مناسبت تولد فلیکس کلاین و بطری معروفش

داشتم دنبال مطلبی در مورد فلیکس کلاین به فارسی می گشتم که چیزی پیدا نکردم.
در عوض به این مقاله خوب برخوردم در مورد بزرگان ریاضی آمریکا، تقریبا در نیمه اول قرن گذشته
Eliakim Hastings Moore
Oswald Veblen
George David Birkhoff
Robert Lee Moore
Marshall Stone
و نوربرت وینر، ریاضیدان هایی هستند که به بررسی زندگی و کارهاشون پرداخته. غیر از این در بخش هایی سعی شده تصویری از وضعیت ریاضی آمریکا رو در اون سال ها ارائه کنه.

قبلا اشاره شد که مقایسه هایی از این دست واقعا می تونه جالب و خوندنی باشه. مقایسه دو تا شخص یا دو دوره(بین افراد و کشورهای مختلف).
این می تونه مقایسه بین مثلا کتب درسی چند تا کشور هم باشه. مثلا یه مقاله ای بود اومده بود متن کتاب های ریاضی رو در چند تا کشور مقایسه کرده بود در مقطع متوسطه. اشاره های تاریخی در کتب، نوع محتوی و حتی محل قرار گرفتن اون ها در کتاب. مثلا بررسی کرده بود که کشور ایرلند بین چندتا کشور دیگه(کانادا، سنگاپور و ترکیه و...) خیلی رو تاریخ ریاضیات تاکید داره و همین طور بین همه اون ها اسم خوارزمی و فیثاغورث بین ریاضیدان ها بیشترین تکرار رو داشته.
بعدا بخش هایی از قسمت های جالب ترش رو می ذارم.

دارم کتابی درمورد تاریخچه Set theory می خونم، تازه شروع کردم. در مورد تاثیر نگاه فلسفی و حتی مذهبی ریاضیدان ها بر پیشرفت ریاضی و تاثیری که بر روند تحقیقاتشون داشته(البته باید این کتاب ها رو همیشه با احتیاط خوند و جد و آباد آباء نویسنده و خط فکری اش رو قبلا بررسی کرد)
مثلا کانتور اعتقاد داشت که بی نهایت صرفا یک مفهوم ریاضی نیست و در فلسفه و الهیات هم نقش مهمی داره و اون رو یک ویژگی از ذات الهی می دونست. به بی نهایت بالقوه و بی نهایت بالفعل اعتقاد داشت و دومی رو به خدا نسبت می داد.
از زمان های قدیم خود مفهوم بی نهایت برای ریاضیدان ها و فلاسفه جذاب بود. ارسطو و دارودسته اش بی نهایت رو
annihilation of number
می دونستند. برای دوتا عدد a و b و بزرگتر از صفر داریم:
a+b>a
منتها برای بی نهایت داریم:
a+∞=∞
خود کانتور و دیگران بعدها در مورد اعداد اوردینال به نتیجه ای رسیدند مخالف با این خاصیت، یعنی خاصیت annihilated رو نداشت. مثلا بین ω و ω+1. یعنی اعداد متناهی می تونند به بی نهایت اضافه بشند، بدون اینکه annihilated بشند.
کانتور می گفت نظرش درباره بی نهایت ها فقط یک نوآوری ریاضی نیست، بلکه دفاعی فلسفی و الهی هم هست!

خانم Hart در زمینه نظریه گروه ها کار می کنه.
از سال ۲۰۲۰ تا ۲۰۲۴
Gresham Professor of Geometry
بوده که از سال ۱۵۹۷ اولین زنی بوده که در این پوزیشن قرار گرفته.
در مقاله زیر با عنوان
"کمک به دخترها برای غلبه بر احتمال کمتر از یک در میلیون برای تبدیل‌شدن به استاد زن در ریاضیات"
به نکات جالبی اشاره می کنه. می گه از بچگی عاشق پازل و معما بوده. می گه درصد دختران با سطح بالای ریاضی در دهه گذشته ثابت مونده و ریشه اون رو باورهای اجتماعی می دونه.
می گه در مسیری که قرار گرفته ساپورت خانواده و همسرش خیلی کمک کننده بوده.
می گه فقط ده درصد استادها در انگلیس زن هستند.
می گه کلیشه های اجتماعی و... نقش مهمی در وضعیت فعلی زنان در ریاضیات داره.
دخترش ظاهرا وقتی پنج ساله بوده ازش می پرسه: مامان ریاضیدان مرد هم داریم؟!
ویدئو بالا برای خود من جذاب بود. طبیعتا با انتخاب لحظات کلیدی می تونید بخش مورد علاقه خودتون رو پیدا کنید.
https://www.womanthology.co.uk/helping-girls-beat-one-million-odds-becoming-female-maths-professor-sarah-hart-professor-mathematics-head-department-birkbeck-university-london/