A Formalization of Elementary Linear Algebra: Part I

یه سری کانال یوتیوب که شاید به کار کسی بیاد...

https://abakcus.com/30-best-math-books-to-learn-advanced-mathematics-for-self-learners/
معرفی سی تا کتاب برای یادگیری ریاضیات...
این سایت هم خیلی معروفه و مطالب جالبی هم می ذاره...
نقاشی هم از همون سایت، اثری از
rene magritte

جایی بحث بر سر این شده که با این اتفاقاتی که داره در حوزه تکنولوژی و CS و ... می افته، ریاضی محض چه بلایی سرش میاد؟ با توجه به ظهور و گسترش machine-assistance proof ها به نظر میاد که شاید در سال ها یا دهه های بعد این رویکرد فعلی در ریاضیات محض تغییر کنه.
بعضی ها گفتند الان دوره، دوره ریاضیات کاربردیه! توی صنعت هم راحت تر می شه کار پیدا کرد، به خاطر اشتراک هایی که با رشته های مهندسی گاهی پیدا می کنه. از اون طرف می گند با ظهور رشته هایی مثل علوم داده مرز بین ریاضی محض و کاربردی تو حوزه هایی کمرنگ تر شده.
یه عده گفتند اگر نمی خوای ریاضی رو در فضای آکادمیک ادامه بدی حتما باید با رشته هایی مثل آمار یا CS ترکیبش کنی تا توی بازار کار حرفی برای گفتن داشته باشی یا حداقل دوره های مرتبط با این رشته ها رو بگذرونی. یکی گفته من دکترام رو در زمینه ترکیبیات گرفتم ولی فضای آکادمیک خیلی مهربون نبود(به رغم رزومه قوی، توصیه نامه های خوب و...) گفته توی دوره دکتری بعضی دروس CS هم گذروندم و همین برای موفقیت در فضای خارج از آکادمی خیلی کمکم کرد.
در ادامه طرفدارهای ریاضی محض در دفاع از اون گفتند ریاضی فقط rigorousness در اثبات نیست و imagination هم می خواد و ماشین مونده که به پای انسان برسه در این زمینه...
در هر صورت به نظر میاد شاید در سال های آینده چه نحوه تدریس و چه نحوه تحقیق در ریاضی دستخوش تغییراتی بشه.
اگر چند تا صاحب نظر در این مورد در دنیا باشه، قطعا یکی اش جناب تائو هست...
https://youtu.be/Zu2oET6Xjow?si=hk0pU5WQhosdRAkK

البته دیدگاه های این شکلی هم هست.
توضیح واضحات اینکه ربطی به اینجا نداره لزوما...

ریاضیدان آمریکایی Jerry L. Bona جمله ای داره که بیشتر حالت طنز داره و اون اینه:
The Axiom of Choice is obviously true, the well-ordering principle obviously false, and who can tell about Zorn's lemma?
اصل انتخاب رو ریاضیدان ها گاهی ازش استفاده می کردند بدون اینکه بدونند دارند ازش استفاده می کنند(و حتی گاهی مخالفین این اصل در دام اون می افتادند)
اصل خوش ترتیبی در نگاه اول عجیب و غیر قابل پذیرش به نظر میاد و واسه همین اون رو غلط می دونه.
لم زرن هم یه حالت بینابینی داره و گیج کننده است. انگار با اکراه ازش استفاده می کنند! ازش استفاده می کنند و حس عجیبی هم به اون دارند.

البته به لحاظ منطقی این سه تا با هم معادل هستند و با گفتن این جمله خواسته موضع ریاضیدان ها رو نسبت به این اصول بیان کنه.
این هم زیبایی و عجیب بودن ریاضی رو نشون می ده که سه تا چیز به لحاظ منطقی معادل هستند ولی در ظاهر اینقدر متفاوت بیان می شند. گودل جمله ای داره که می گه(که البته یه حمله ای هم به علوم تجربی می کنه!)
I don't believe in empirical science. I only believe in a priori truth.
می گه حس و تجربه و آزمایش رو قبول ندارم، چیزی رو قبول دارم که با استدلال ریاضی بهش رسیده باشم.
گودل اعتقاد داشت حقایق ریاضی نه تجربی بدست میاند و نه ساخته ذهن انسان هستند، اون ها در یک جهان منطقی وجود دارند و ما اون ها رو کشف می کنیم.

امروز تولد Preda Mihăilescu هست. بیشتر به خاطر اثبات Catalan's conjecture معروفه. همین...

امروز سالروز درگذشت جان نش هم هست. نابغه ای که پرداختن به کارها و دستاوردهاش نیاز به دانش افرادی از حوزه های مختلف داره. برنده دو جایزه نوبل(یکی نوبل اقتصاد و یکی هم نوبل ریاضیات، یعنی جایزه آبل) شد. حتی در همون ریاضی هم در حوزه های نامرتبط با هم کار کرده.
با ذهن زیباش تونست هم بر بیماری اسکیزوفرنی غلبه کنه و هم به دست آوردهای فوق العاده و در بالاترین سطح در ریاضیات برسه. مفهوم تعادل نش که در نظریه بازی ها تعریف کرد یکی از مهمترین دست آوردهاش هست.

در زندگی اش به سه نامه مهم معمولا اشاره می کنند.
نامه اول، نامه ای که استادش برای پذیرشش در دانشگاه پرینستون نوشت و خیلی کوتاه نش رو یه نابغه ریاضی معرفی کرد.
نامه دوم، نامه ای که از بیمارستان ظاهرا به همسرش نوشته و ازش خواسته کمکش کنه و اینکه دوست نداره دوباره به اونجا برگرده.
این نامه تا حدی نشونه خودآگاهی و تلاشش برای بازگشت به زندگی بوده و نیازش به حمایت عاطفی رو در اون مقطع نشون می داده.
و نامه سوم که فردی بی خانمان به نش می نویسه و می گه خودش هم گرفتار بیماری نش شده و داستان زندگی نش براش الهام بخش بوده و امیدوار هست که به زندگی عادی برگرده. ظاهرا نش خیلی تحت تاثیر این نامه قرار می گیره و عنوان می کنه رنجش فایده ای داشته در نهایت...
https://dailyorange.com/2003/10/a-beautiful-mind-author-recounts-nash-s-hardships/?utm_source=chatgpt.com

مجموعه ای رو می گیم sum free که جمع هیچ دو عضوی توی خود همون مجموعه نباشه. مثلا مجموعه
{۱،۲،۳}
یه مجموعه sum free نیست، چون جمع یک و دو توی خود مجموعه است. ولی مجموعه اعداد فرد sum free هست، چون جمع هر دو عدد فردی یه عدد زوج هست. اردوش سوالی رو مطرح کرد در سال ۱۹۶۵: این مجموعه ها چقدر می تونند بزرگ باشند. یه دانشجوی دکتری در آکسفورد این سوال رو جواب داده.

https://www.quantamagazine.org/graduate-student-solves-classic-problem-about-the-limits-of-addition-20250522/

Helicone, Designed by artist and mathematician John Edmark

مشابه پروژه Polymath که توسط ریاضیدان های برجسته طراحی شده، یه پروژه راه انداختند به اسم CrowdMath که در اون دانش آموزای دبیرستانی از سراسر جهان روی مسائل باز و تحقیقاتی کار می کنند. مشارکت آزاد، پلتفرم آنلاین و منتورهاش هم دانشجویان دکتری MIT.
یکی از مسائلی که بهش پرداختند و خیلی هم جالب هست این سوال بوده:
یه چوب به طول یه متر دارید به صورت رندوم دو نقطه روی چوب انتخاب می کنید و به این ترتیب چوب به سه قسمت تقسیم می شه، احتمال اینکه اون سه تا تیکه چوب تشکیل یه مثلث بده چقدر می شه؟
مساله به مساله چوب شکسته معروف هست و گاهی به اون مساله اسپاگتی شکسته هم می گند، چون معمولا وقتی می خوایم با فشار به دو طرف نصفش کنیم سه تیکه می شه!
در arXiv مقالاتشون رو به اسم
Crowdmath, P A
منتشر می کنند.

لینک مقاله مربوط:
https://arxiv.org/abs/1805.06512?utm_source=chatgpt.com

[2310.19665] Topology of SO(3) For Kids
https://arxiv.org/abs/2310.19665

می گند برادران رایت برای اینکه مشخص بشه چه کسی اول سوار هواپیما بشه سکه پرتاب کردند.

در مقاله بالا آقای Diaconis که ریاضیدان بسیار برجسته ای هستند اومدند و ثابت کردند که وقتی سکه ای رو پرتاب می کنیم احتمال اینکه اون سمتی که رو به بالا است، بیاد کمی بیشتر از ۵۰٪ هست.
حالا در این مقاله اومدند به صورت واقعی آزمایش رو انجام دادند و به همون نتیجه رسیدند. کلی دانشجو و آدم رو جمع کردند و ازشون خواستند که سکه ها رو پرتاب کنند و نتیجه رو یادداشت کنند(اون دانشجوهای بینوا ظاهرا بخشی از پروژه کارشناسی شون بوده! و بعضی ها تا ۱۲ ساعت نشستند و سکه ها رو پرتاب کردند)
نتیجه نهایی همون چیزی که آقای Diaconis بهش رسیده بود رو تایید می کنه، با فاصله اطمینان قابل قبول.
ظاهرا خود نویسنده ها هم به جز چند نفر، سکه ها رو پرتاب می کردند!

حالا اگر بخوایم کمی بدبینانه نگاه کنیم باید این سوال رو بپرسیم که اسم این همه آدم پای این مقاله چرا اومده؟ که البته به ما ربطی نداره!

https://arxiv.org/abs/2310.04153

اینم هست.‌..انسان از خنده بمیرد رواست...
ولی نامگذاری هاش خیلی خاصه!

از این کتاب خیلی تعریف می کنند. تقریبا تازه هم چاپ شده... به مرحوم میرزاخانی هم اشاره می کنه. فصل ۳۷:
Maryam’s Magic Wand