در این لینک‌ ریاضیدان ها به مواردی از این دست اشاره می کنند. ماجرای آقای
Joel David Hamkins
هم جالبه. می گه با توجه به اینکه چند بار این اتفاق برام افتاده( و حتی منجر به مقاله شده!)، سعی می کنه قبل از خواب ذهنش رو درگیر مساله ای کنه.
البته معمولا حل کامل یا اثبات کامل رو در خواب بهش نمی رسند! فقط ایده های کلی یا یه راه جدید برای فکر کردن به مساله.

رامانوجان هم جمله ای مشهور داره که از یک red screen که در خواب دیده صحبت می کنه:
"While asleep I had an unusual experience. There was a red screen formed by flowing blood as it were. I was observing it. Suddenly a hand began to write on the screen. I became all attention. That hand wrote a number of results in elliptic integrals. They stuck to my mind. As soon as I woke up, I committed them to writing..."
البته چون این بشر هیچ چیزش طبیعی نبود نمی شه خیلی روی اون حساب کرد.


https://mathoverflow.net/questions/164473/have-you-solved-problems-in-your-sleep?utm_source=chatgpt.com

امروز تولد دمورگان هست که احتمالا هر کس مقطع دبیرستان رو گذرونده قوانینش به گوشش خورده.
زمانی که متولد شد از یه چشم کور بود. توی امتحان ریاضی دانشگاه آکسفورد رتبه چهارم رو کسب کرد، برای ادامه تحصیل لازم بود که در یک آزمون مذهبی هم شرکت کنه که به شدت با این کار مخالفت کرد و به همین خاطر رد شد.
یکی از بنیانگذارهای نمادگذاری جدید در منطق هم بود و کتاب
Formal Logic
رو در سال ۱۸۴۷ نوشت. هدفش این بود که منطق رو از حالت سنتی خارج کنه و خیلی از نمادهای مرسومی که امروز استفاده می شه در این کتاب ظاهر شد. مثلا به جای "اگر هوا ابری باشه آنگاه باران می بارد" از
P→Q
استفاده کرد.

نکته جالبی بود این و من خودم نمی دونستم تا حالا.
با دو تا اسب نمی شه حریف رو مات کرد، یعنی به اصطلاح مات اجباری وجود نداره و باید منتظر اشتباه حریف باشید(بر خلاف حالت دو فیل). یعنی طبق قوانین فیده اگر همچین وضعیتی پیش بیاد داور مساوی اعلام می کنه.
البته این ادعا که نمی شه بدون اتکا به اشتباه حریف مات کرد، اثبات ریاضی هم داره و ظاهرا از نظریه گراف هم استفاده می کنند.
خب حالا داستان چیه؟
اگر شاه حریف یه پیاده داشته باشه و در شرایط خاصی باشه، مات اجباری می شه. این شرایط رو در قالب یه خط فرضی به اسم
Troitsky Line
بررسی می کنند.
هر وضعیت از بازی یه گره می شه و هر تغییر حالتی یه یال.

این کتاب هم خیلی جذاب به نظر میاد. یکی دو تا بخشش رو یه نگاهی کردم، خوب نوشته. در واقع معرکه است.
درباره اینکه اثبات ریاضی چیه و تاریخچه تحولش از یونان باستان تا امروز.
از Computer-Generated Proofs تا اثبات های خیلی طولانی و حتی نرم افزارهایی مثل Coq.
رویکردهای فلسفی و اخلاقی رو هم حتی بررسی کرده.
قبلا هم کتاب هایی از نویسنده اش گذاشتم.
حال داشتین به فهرستش دست کم نگاهی بندازین.
حتما بخش های جذابش رو هر بار می ذارم.

خودش توضیح داده، لکه های قهوه به سندتون اضافه می کنه.
برای اینکه نشون بدید خیلی سخت کار کردید و... خوبه!
https://ctan.org/pkg/coffeestains

امروز 6.28 هست و روز تاو
τ=2π
در واقع دوبرابر عدد پی.
یه سری می گند استفاده از تاو در فرمول ها معقول تر و قشنگ تره(مثلا در فرمول دایره) و به همین خاطر این روز رو گرامی می دارند!

یه تعمیم از انتگرال معروف به
Gaussian integral

مساله برای فکر کردن
من خودم دیگه با هندسه دبیرستان خیلی حال نمی کنم ولی این سؤالش قشنگ بود تا حدی. خیلی هم سخت نیست و جوابش می شه: ۳

فرض کنید دو نفر دارند بازی می کنند که هر کس مثلا به امتیاز ۵ برسه برنده است. حالا اگر بازی در همون اواسط کار به دلیلی متوقف بشه، مثلا نفر اول ۳ امتیاز و نفر دوم یک امتیاز، کل پول(مثلا صد میلیون)، چطور باید بینشون تقسیم بشه؟
قبلا می گفتند که باید براساس امتیاز فعلی پول بینشون تقسیم بشه. مثلا در مثال بالا نفر اول ¾ پول رو بگیره و نفر دوم ¼ رو.
ولی این روش درست و منصفانه نیست. مسائلی از این دست منجر به تعریف مفاهیمی مثل expected value شد.
بعدها پاسکال و فرما تونستند این مساله رو حل کنند. روشش هم اینه که باید تمام حالت هایی که بازی می تونه ادامه پیدا کنه رو فهرست کنیم. تمام توالی ها و حالاتی که در نهایت به برد یکی منجر می شه و بعد براساس اون تصمیم بگیریم.
راه حلش الان طبیعتا بدیهی به نظر می رسه ولی سال ها طول کشید که بهش رسیدند(با پایه گذاری احتمال)
یه مثال دیگه از یک نتیجه بدیهی:
کاردانو که یک پزشک، ریاضی دان و قمارباز بود به این نتیجه رسیده بود که اگر دو تاس رو بندازه احتمال اینکه جمعشون ۷ بشه بیشتر از احتمال اینه که جمعشون ۱۲ بشه و این رو به عنوان یک نتیجه و دستاورد در کتابش چاپ کرده بود.

در این مقاله به بررسی سه فلسفه ریاضی پرداخته و با خوندش شناخت خوبی از اون ها پیدا می شه. شهود گرایی، منطق گرایی و صورت گرایی

چند تا انتگرال (چند گانه)

"صحبتی با دانشجویان رشته‌ی ریاضی"

من اولین باری که توی علوم کامپیوتر، ریاضی واقعی دیدم سر دیتابیس بود. و اونجا واقعا برام ریاضی جدی شد. یکمی که جلوتر رفتم، یه روز سر کلاس مهندسی نرم‌افزار ۲ استاد روحانی، صحبت ازفرمال متد شد. ایشون یه جمله‌ای گفت که چند سال طول کشید تا من به واقعیتش پی ببرم. اگر بخوام واژه به واژه نقل قول کنم حرفشون این بود : کسی که ریاضی بلد نیست نباید توی Software زر بزنه :) برخلاف ادعایی که بچه‌های هوش مصنوعی دارن و فکر میکنن از همه بیشتر ریاضی میفهمن و استفاده میکنن، سافتور همش ریاضیه. ریاضیش هم خرکیه :) عمری بچه‌های هوش مصنوعی ریاضیش رو نمیفهمن.

شاید اون لحظه هیچکس با حرفای ایشون در کلاس موافق نبود. شاید الانم هم خیلی‌هاتون با حرفاش موافق نباشید، ولی از اون زمان می‌تونم بگم که روز به روز باورم به این عقیده در حال بیشتر شدنه. ببینید تئوری علوم کامپیوتر به عقیده‌ی من یکی از نزدیک‌ترین شاخه‌های علوم بنیادی به ریاضیات هست. شماها تو کارشناسی و ارشد کلی جبر و ترکیبیات و گراف و احتمال و معادلات دیفرانسیل و توپولوژی و منطق و نظریه اعداد می‌خونید. بچه‌های علوم کامپیوتر شاید حتی ۱۰ درصد مطالبی که شما یاد میگیرید رو بلد نیستن منتهی با همین ۱۰ درصد وارد مقاطع بالاتر میشن و حتی کار ریسرچ‌شون میشه تئوری علوم کامپیوتر. تصور کنید اگر شما با این دانش ریاضی برید سراغ نظریه محاسبه، آتوماتا و نظریه پیچیدگی پیچیدگی اون وقت چه کارهای خارق العاده‌ای که نمیتونید انجام بدید. جهت جلوگیری از ایجاد ابهام خدایی نکرده من نمیخوام بگم رشته‌ی علوم کامپیوتر از ریاضی محض بهتره، منتهی میگم که یک مسیری هست که خیلی بهش بی‌توجهی میشه. تئوری علوم کامپیوتر ۲ تِرک داره. توی این پست مفصل راجع بهش صحبت کردم. ترک B علوم کامپیوتر که بنده و دیگر دوستانم درش کار می‌کنیم به شدت مهجور مونده و شما صرفا سه تا چهار درس جدید میتونید واردش بشید. این صرفا یک دعوته به مسیری که خیلی هم رشته‌ای های شما بهش ورود نمی‌کنند و به نظرم بزرگ‌ترین دلیلش نبود اساتید حاذق در حوزه‌ی TCS B در ایرانه. این نکته هم گفتنی‌ست که خیلی از اساتید ترک B تئوری علوم کامپیوتر دنبال دانشجوهایی هستند که بکگراند ریاضی داشته باشه و مثلا ریاضی محض خونده باشه.

در آخر برای دادن کمی انگیزه شما رو دعوت میکنم که این مقالات رو بررسی کنید و ببینید که چطور نظریه اعداد و هندسه جبری در مسائل ترک B مورد استفاده قرار گرفتن.
On the p-adic Skolem Problem

On the Monniaux Problem in Abstract Interpretation

The Monadic Theory of Toric Words

هر ۳ این مقالات نتیجه‌ی کارهای اخیر آقای Joël Ouaknine به همراه دانشجویان و همکاران شون هستش.

اینجوری هم می شه.
البته بیشتر شبیه لکه های هندونه شد.
محاسبه انتگرال معروف

مساله برای فکر کردن

تحقیقاتی انجام شده برای بررسی اینکه اصلا زیبایی در ریاضیات چیه؟ چی می شه که یه فرمول و یا اثبات رو زیبا می دونیم؟ آیا تجربه اش مشابه هنره؟ مثلا موسیقی.
توی یه آزمایش fMRI یه سری ریاضیدان رو موقع دیدن فرمول ها و اثبات های ریاضی بررسی کردند و دیدند که بخش هایی از مغز که موسیقی و نقاشی رو زیبا می دونه و یا به عشق مربوطه اینجا هم فعال شده. نکته دوم اینکه درک زیبایی با پیش زمینه کاری افراد گره خورده، مثلا کسی که نظریه گروه ها کار کرده مباحثی در اون حوزه رو زیباتر می دونه. سوم اینکه بعضی روابط مثل رابطه اویلر ظاهرا کم و بیش برای همه زیبا بودند.

اون قانون negation law رو هم از منظر شهودگرایانه بخوایم ببینیم درست نیست. قانونی که می گه از بین یه گزاره یا نقیضش باید یکی اش درست باشه.
p∨∼p=T
این رو همیشه اینجوری دیدیم که خب یا p درسته یا نقیضش. شهودگراها می گند: نه! می گند: باید بدونیم و نشون بدیم که p درسته و یا نقیضش(یه اثبات درست و حسابی و ریاضی) اینکه یه سری نماد منطقی رو بذاری کنار هم و بگی اجتماع یه گزاره با نقیضش همواره درست می شه قابل قبول نیست.
مثال معروفش مثالی هست که براوئر زده:
گزاره A(n) رو این شکلی تعریف می کنیم:
A(n):
عدد 2n+4 مجموع دو عدد اول هست(حدس گلدباخ)
حالا دنباله α_n رو این شکلی تعریف می کنیم:
اگر گزاره برای تمام k های کمتر مساوی n درست باشه می گیم:
1/2^n
و اگر برای k ایی کوچکتر از n درست نباشه تعریف می کنیم:
1/2^k
این دنباله کشی هست و لذا همگرا هم می شه.
حدش صفر می شه اگر و فقط اگر A(n) برای هر n برقرار باشه(یعنی حدس گلدباخ درست باشه)
پس در مورد گزاره "حد دنباله صفر یا حد دنباله مخالف صفر" یعنی p∨∼p نمی تونیم بگیم می شه T، یعنی همواره درست، چون وضعیت حدس گلدباخ هنوز مشخص نیست!