یه تعمیم از انتگرال معروف به
Gaussian integral

مساله برای فکر کردن
من خودم دیگه با هندسه دبیرستان خیلی حال نمی کنم ولی این سؤالش قشنگ بود تا حدی. خیلی هم سخت نیست و جوابش می شه: ۳

فرض کنید دو نفر دارند بازی می کنند که هر کس مثلا به امتیاز ۵ برسه برنده است. حالا اگر بازی در همون اواسط کار به دلیلی متوقف بشه، مثلا نفر اول ۳ امتیاز و نفر دوم یک امتیاز، کل پول(مثلا صد میلیون)، چطور باید بینشون تقسیم بشه؟
قبلا می گفتند که باید براساس امتیاز فعلی پول بینشون تقسیم بشه. مثلا در مثال بالا نفر اول ¾ پول رو بگیره و نفر دوم ¼ رو.
ولی این روش درست و منصفانه نیست. مسائلی از این دست منجر به تعریف مفاهیمی مثل expected value شد.
بعدها پاسکال و فرما تونستند این مساله رو حل کنند. روشش هم اینه که باید تمام حالت هایی که بازی می تونه ادامه پیدا کنه رو فهرست کنیم. تمام توالی ها و حالاتی که در نهایت به برد یکی منجر می شه و بعد براساس اون تصمیم بگیریم.
راه حلش الان طبیعتا بدیهی به نظر می رسه ولی سال ها طول کشید که بهش رسیدند(با پایه گذاری احتمال)
یه مثال دیگه از یک نتیجه بدیهی:
کاردانو که یک پزشک، ریاضی دان و قمارباز بود به این نتیجه رسیده بود که اگر دو تاس رو بندازه احتمال اینکه جمعشون ۷ بشه بیشتر از احتمال اینه که جمعشون ۱۲ بشه و این رو به عنوان یک نتیجه و دستاورد در کتابش چاپ کرده بود.

در این مقاله به بررسی سه فلسفه ریاضی پرداخته و با خوندش شناخت خوبی از اون ها پیدا می شه. شهود گرایی، منطق گرایی و صورت گرایی

چند تا انتگرال (چند گانه)

"صحبتی با دانشجویان رشته‌ی ریاضی"

من اولین باری که توی علوم کامپیوتر، ریاضی واقعی دیدم سر دیتابیس بود. و اونجا واقعا برام ریاضی جدی شد. یکمی که جلوتر رفتم، یه روز سر کلاس مهندسی نرم‌افزار ۲ استاد روحانی، صحبت ازفرمال متد شد. ایشون یه جمله‌ای گفت که چند سال طول کشید تا من به واقعیتش پی ببرم. اگر بخوام واژه به واژه نقل قول کنم حرفشون این بود : کسی که ریاضی بلد نیست نباید توی Software زر بزنه :) برخلاف ادعایی که بچه‌های هوش مصنوعی دارن و فکر میکنن از همه بیشتر ریاضی میفهمن و استفاده میکنن، سافتور همش ریاضیه. ریاضیش هم خرکیه :) عمری بچه‌های هوش مصنوعی ریاضیش رو نمیفهمن.

شاید اون لحظه هیچکس با حرفای ایشون در کلاس موافق نبود. شاید الانم هم خیلی‌هاتون با حرفاش موافق نباشید، ولی از اون زمان می‌تونم بگم که روز به روز باورم به این عقیده در حال بیشتر شدنه. ببینید تئوری علوم کامپیوتر به عقیده‌ی من یکی از نزدیک‌ترین شاخه‌های علوم بنیادی به ریاضیات هست. شماها تو کارشناسی و ارشد کلی جبر و ترکیبیات و گراف و احتمال و معادلات دیفرانسیل و توپولوژی و منطق و نظریه اعداد می‌خونید. بچه‌های علوم کامپیوتر شاید حتی ۱۰ درصد مطالبی که شما یاد میگیرید رو بلد نیستن منتهی با همین ۱۰ درصد وارد مقاطع بالاتر میشن و حتی کار ریسرچ‌شون میشه تئوری علوم کامپیوتر. تصور کنید اگر شما با این دانش ریاضی برید سراغ نظریه محاسبه، آتوماتا و نظریه پیچیدگی پیچیدگی اون وقت چه کارهای خارق العاده‌ای که نمیتونید انجام بدید. جهت جلوگیری از ایجاد ابهام خدایی نکرده من نمیخوام بگم رشته‌ی علوم کامپیوتر از ریاضی محض بهتره، منتهی میگم که یک مسیری هست که خیلی بهش بی‌توجهی میشه. تئوری علوم کامپیوتر ۲ تِرک داره. توی این پست مفصل راجع بهش صحبت کردم. ترک B علوم کامپیوتر که بنده و دیگر دوستانم درش کار می‌کنیم به شدت مهجور مونده و شما صرفا سه تا چهار درس جدید میتونید واردش بشید. این صرفا یک دعوته به مسیری که خیلی هم رشته‌ای های شما بهش ورود نمی‌کنند و به نظرم بزرگ‌ترین دلیلش نبود اساتید حاذق در حوزه‌ی TCS B در ایرانه. این نکته هم گفتنی‌ست که خیلی از اساتید ترک B تئوری علوم کامپیوتر دنبال دانشجوهایی هستند که بکگراند ریاضی داشته باشه و مثلا ریاضی محض خونده باشه.

در آخر برای دادن کمی انگیزه شما رو دعوت میکنم که این مقالات رو بررسی کنید و ببینید که چطور نظریه اعداد و هندسه جبری در مسائل ترک B مورد استفاده قرار گرفتن.
On the p-adic Skolem Problem

On the Monniaux Problem in Abstract Interpretation

The Monadic Theory of Toric Words

هر ۳ این مقالات نتیجه‌ی کارهای اخیر آقای Joël Ouaknine به همراه دانشجویان و همکاران شون هستش.

اینجوری هم می شه.
البته بیشتر شبیه لکه های هندونه شد.
محاسبه انتگرال معروف

مساله برای فکر کردن

تحقیقاتی انجام شده برای بررسی اینکه اصلا زیبایی در ریاضیات چیه؟ چی می شه که یه فرمول و یا اثبات رو زیبا می دونیم؟ آیا تجربه اش مشابه هنره؟ مثلا موسیقی.
توی یه آزمایش fMRI یه سری ریاضیدان رو موقع دیدن فرمول ها و اثبات های ریاضی بررسی کردند و دیدند که بخش هایی از مغز که موسیقی و نقاشی رو زیبا می دونه و یا به عشق مربوطه اینجا هم فعال شده. نکته دوم اینکه درک زیبایی با پیش زمینه کاری افراد گره خورده، مثلا کسی که نظریه گروه ها کار کرده مباحثی در اون حوزه رو زیباتر می دونه. سوم اینکه بعضی روابط مثل رابطه اویلر ظاهرا کم و بیش برای همه زیبا بودند.

اون قانون negation law رو هم از منظر شهودگرایانه بخوایم ببینیم درست نیست. قانونی که می گه از بین یه گزاره یا نقیضش باید یکی اش درست باشه.
p∨∼p=T
این رو همیشه اینجوری دیدیم که خب یا p درسته یا نقیضش. شهودگراها می گند: نه! می گند: باید بدونیم و نشون بدیم که p درسته و یا نقیضش(یه اثبات درست و حسابی و ریاضی) اینکه یه سری نماد منطقی رو بذاری کنار هم و بگی اجتماع یه گزاره با نقیضش همواره درست می شه قابل قبول نیست.
مثال معروفش مثالی هست که براوئر زده:
گزاره A(n) رو این شکلی تعریف می کنیم:
A(n):
عدد 2n+4 مجموع دو عدد اول هست(حدس گلدباخ)
حالا دنباله α_n رو این شکلی تعریف می کنیم:
اگر گزاره برای تمام k های کمتر مساوی n درست باشه می گیم:
1/2^n
و اگر برای k ایی کوچکتر از n درست نباشه تعریف می کنیم:
1/2^k
این دنباله کشی هست و لذا همگرا هم می شه.
حدش صفر می شه اگر و فقط اگر A(n) برای هر n برقرار باشه(یعنی حدس گلدباخ درست باشه)
پس در مورد گزاره "حد دنباله صفر یا حد دنباله مخالف صفر" یعنی p∨∼p نمی تونیم بگیم می شه T، یعنی همواره درست، چون وضعیت حدس گلدباخ هنوز مشخص نیست!

این هم جالب بود(تقریبا نصفش رو دیدم)، یه مبحثی از توپولوژی جبری رو داره درس می گه که البته تو کتاب ها هست و جاهای دیگه. ولی نکته ای که جالب بود اینکه واقعا همه چیز رو درس داد و کل مدت داشت می نوشت. توی دانشگاه مامان! که بودیم(این نامگذاری دانشگاه ها در ایران هم خودش موضوع جذابی هست، شاید بعدا درباره اش نوشتم) یه استادی داشتیم که سه مقطع تحصیلی رو در شریف درس خونده بود و دریغ، واقعا دریغ از توانایی بیان نیم خط از مفاهیم درسی، بیشتر استادها هم پاورپوینتی بودند.(البته می دونم هر کس سبکی و روشی داره)
به هر حال قشنگ درس گفت اینجا.
یه جا حوالی دقیقه سی و... یه منفی یک به توان i رو در فرمول جا می ندازه بعدا یادش میاد و می ذاره. برمی گرده خطاب به دانشجوها می گه: کسی از بین شما متوجه شده بود؟
You should have spoken.

https://youtu.be/1f9D7cZSm74?si=-YlBhG8Vj5Dlm4zz

[2505.13472] Proof Assistants for Teaching: a Survey
https://arxiv.org/abs/2505.13472

مادر تراز...

شگفتی در دنیای ریاضیات: دختری ۱۷ ساله، حدس ریاضی ۴۰ ساله را باطل کرد!

هانا کایرو (Hannah Cairo)، دانش‌آموز ۱۷ ساله آمریکایی، موفق شد با ارائه یک مثال نقض هوشمندانه، یکی از حدس‌های قدیمی و مهم در حوزه «آنالیز هارمونیک» را رد کند — حدسی که برای مدت ۴ دهه ذهن بهترین ریاضی‌دانان جهان را به خود مشغول کرده بود.

حدس Mizohata–Takeuchi :
آیا می‌توان مجموعه‌هایی با اندازه صفر (از نظر اندازه‌گیری لبگ) پیدا کرد که در عین حال «مجموعه تعیین‌کننده» برای توزیع‌های متقارن و محدب باشند؟

به‌زبان ساده‌تر: آیا مجموعه‌های به‌ظاهر «بی‌اثر» و «کوچک» می‌توانند حاوی تمام اطلاعات یک تابع باشند؟ این مسأله در تقاطع نظریه‌ی اندازه، آنالیز فوریه، و هندسه‌ی محدب مطرح می‌شود.

هانا موفق شد مثالی بیابد که این فرض را نقض می‌کند — یعنی مجموعه‌ای با «اندازه صفر» ساخت که برخلاف انتظار، اطلاعات کامل را منتقل نمی‌کند. این یعنی حدس غلط است!
بسیاری از ریاضی‌دانان از دقت و خلاقیت استدلال این نوجوان شگفت‌زده شده‌اند.
جالب‌تر آنکه هانا هنوز دبیرستان را تمام نکرده و امسال وارد دوره دکترا در دانشگاه مریلند خواهد شد!

منبع

@infinitymath

ظاهرا از نوجوانی کتاب های پیچیده ریاضی مطالعه می کرده، در دوران کرونا در دوره های
Math Circle
دانشگاه برکلی شرکت کرده.
ماه ها درگیر حل این مساله بوده و بعد از ارائه مثال نقض کمی در قانع کردن استاد دچار دردسر شده، چون استاد باور نمی کرده که یه حدس چهل ساله رو بتونه حل کنه.
"After months of trying… finally I found a way to construct a counterexample...
It took me a while to convince Ruixiang Zhang… that my proposal was actually correct."
توی مسابقات پاتنام هم در سال ۲۰۲۴ جزء نفرات Top 500 بوده.

سوالات پاتنام سال ۲۰۲۴، برای اینکه مشخص بشه چرا Top 500 داره!
بعضی سوالاتش اینجوریه که فقط صورت سوال رو متوجه می شم...کلا به لحاظ سختی در یک کلاس دیگه است.