مساله برای فکر کردن

تحقیقاتی انجام شده برای بررسی اینکه اصلا زیبایی در ریاضیات چیه؟ چی می شه که یه فرمول و یا اثبات رو زیبا می دونیم؟ آیا تجربه اش مشابه هنره؟ مثلا موسیقی.
توی یه آزمایش fMRI یه سری ریاضیدان رو موقع دیدن فرمول ها و اثبات های ریاضی بررسی کردند و دیدند که بخش هایی از مغز که موسیقی و نقاشی رو زیبا می دونه و یا به عشق مربوطه اینجا هم فعال شده. نکته دوم اینکه درک زیبایی با پیش زمینه کاری افراد گره خورده، مثلا کسی که نظریه گروه ها کار کرده مباحثی در اون حوزه رو زیباتر می دونه. سوم اینکه بعضی روابط مثل رابطه اویلر ظاهرا کم و بیش برای همه زیبا بودند.

اون قانون negation law رو هم از منظر شهودگرایانه بخوایم ببینیم درست نیست. قانونی که می گه از بین یه گزاره یا نقیضش باید یکی اش درست باشه.
p∨∼p=T
این رو همیشه اینجوری دیدیم که خب یا p درسته یا نقیضش. شهودگراها می گند: نه! می گند: باید بدونیم و نشون بدیم که p درسته و یا نقیضش(یه اثبات درست و حسابی و ریاضی) اینکه یه سری نماد منطقی رو بذاری کنار هم و بگی اجتماع یه گزاره با نقیضش همواره درست می شه قابل قبول نیست.
مثال معروفش مثالی هست که براوئر زده:
گزاره A(n) رو این شکلی تعریف می کنیم:
A(n):
عدد 2n+4 مجموع دو عدد اول هست(حدس گلدباخ)
حالا دنباله α_n رو این شکلی تعریف می کنیم:
اگر گزاره برای تمام k های کمتر مساوی n درست باشه می گیم:
1/2^n
و اگر برای k ایی کوچکتر از n درست نباشه تعریف می کنیم:
1/2^k
این دنباله کشی هست و لذا همگرا هم می شه.
حدش صفر می شه اگر و فقط اگر A(n) برای هر n برقرار باشه(یعنی حدس گلدباخ درست باشه)
پس در مورد گزاره "حد دنباله صفر یا حد دنباله مخالف صفر" یعنی p∨∼p نمی تونیم بگیم می شه T، یعنی همواره درست، چون وضعیت حدس گلدباخ هنوز مشخص نیست!

این هم جالب بود(تقریبا نصفش رو دیدم)، یه مبحثی از توپولوژی جبری رو داره درس می گه که البته تو کتاب ها هست و جاهای دیگه. ولی نکته ای که جالب بود اینکه واقعا همه چیز رو درس داد و کل مدت داشت می نوشت. توی دانشگاه مامان! که بودیم(این نامگذاری دانشگاه ها در ایران هم خودش موضوع جذابی هست، شاید بعدا درباره اش نوشتم) یه استادی داشتیم که سه مقطع تحصیلی رو در شریف درس خونده بود و دریغ، واقعا دریغ از توانایی بیان نیم خط از مفاهیم درسی، بیشتر استادها هم پاورپوینتی بودند.(البته می دونم هر کس سبکی و روشی داره)
به هر حال قشنگ درس گفت اینجا.
یه جا حوالی دقیقه سی و... یه منفی یک به توان i رو در فرمول جا می ندازه بعدا یادش میاد و می ذاره. برمی گرده خطاب به دانشجوها می گه: کسی از بین شما متوجه شده بود؟
You should have spoken.

https://youtu.be/1f9D7cZSm74?si=-YlBhG8Vj5Dlm4zz

[2505.13472] Proof Assistants for Teaching: a Survey
https://arxiv.org/abs/2505.13472

مادر تراز...

شگفتی در دنیای ریاضیات: دختری ۱۷ ساله، حدس ریاضی ۴۰ ساله را باطل کرد!

هانا کایرو (Hannah Cairo)، دانش‌آموز ۱۷ ساله آمریکایی، موفق شد با ارائه یک مثال نقض هوشمندانه، یکی از حدس‌های قدیمی و مهم در حوزه «آنالیز هارمونیک» را رد کند — حدسی که برای مدت ۴ دهه ذهن بهترین ریاضی‌دانان جهان را به خود مشغول کرده بود.

حدس Mizohata–Takeuchi :
آیا می‌توان مجموعه‌هایی با اندازه صفر (از نظر اندازه‌گیری لبگ) پیدا کرد که در عین حال «مجموعه تعیین‌کننده» برای توزیع‌های متقارن و محدب باشند؟

به‌زبان ساده‌تر: آیا مجموعه‌های به‌ظاهر «بی‌اثر» و «کوچک» می‌توانند حاوی تمام اطلاعات یک تابع باشند؟ این مسأله در تقاطع نظریه‌ی اندازه، آنالیز فوریه، و هندسه‌ی محدب مطرح می‌شود.

هانا موفق شد مثالی بیابد که این فرض را نقض می‌کند — یعنی مجموعه‌ای با «اندازه صفر» ساخت که برخلاف انتظار، اطلاعات کامل را منتقل نمی‌کند. این یعنی حدس غلط است!
بسیاری از ریاضی‌دانان از دقت و خلاقیت استدلال این نوجوان شگفت‌زده شده‌اند.
جالب‌تر آنکه هانا هنوز دبیرستان را تمام نکرده و امسال وارد دوره دکترا در دانشگاه مریلند خواهد شد!

منبع

@infinitymath

ظاهرا از نوجوانی کتاب های پیچیده ریاضی مطالعه می کرده، در دوران کرونا در دوره های
Math Circle
دانشگاه برکلی شرکت کرده.
ماه ها درگیر حل این مساله بوده و بعد از ارائه مثال نقض کمی در قانع کردن استاد دچار دردسر شده، چون استاد باور نمی کرده که یه حدس چهل ساله رو بتونه حل کنه.
"After months of trying… finally I found a way to construct a counterexample...
It took me a while to convince Ruixiang Zhang… that my proposal was actually correct."
توی مسابقات پاتنام هم در سال ۲۰۲۴ جزء نفرات Top 500 بوده.

سوالات پاتنام سال ۲۰۲۴، برای اینکه مشخص بشه چرا Top 500 داره!
بعضی سوالاتش اینجوریه که فقط صورت سوال رو متوجه می شم...کلا به لحاظ سختی در یک کلاس دیگه است.

یه وسیله جذاب که به کمک اون می شه تابع هموگرافیک رو رسم کرد. حتما می دونید که این تابع شکل کلی اش به صورت زیر هست:
f(x)=ax+b/cx+d, c≠0 , ad-bc≠0

یکی از اعضای کانال لطف کردند و این رو فرستادند، ظاهرا زمانی که در دوره دبیرستان بودند همچین وسیله ای رو طراحی کرده بودند.

اون هندسه ای که در دبیرستان تدریس می شه یه مقطعی در فرانسه می شه گفت به طور کلی از برنامه درسی دبیرستان حذف می شه. حتی شعار مرگ بر هندسه اقلیدسی رو هم می دادند. گروه بورباکی در ایجاد همچین فضایی بی تاثیر نبود، بیشتر تمرکزشون بر تفکر انتزاعی بود. اعتقاد داشتند که اون نوع هندسه بیشتر تمرکزش بر حفظ کردنه و مهارت حل مساله واقعی رو کمتر تقویت می کنه. بیشتر توی زمینه هایی مثل جبر، آنالیز و نظریه مجموعه ها و..‌.کار می کردند.
جایی خونده بودم بعضی از ریاضیدان های برجسته فرانسوی در قرن بیستم اسم بعضی قضیه های معروف هندسه دبیرستانی اصلا به گوششون هم نخورده بود(چون در دوران اون ها تدریس نمی شده) ظاهرا بعدا کم و بیش این نگاه افراطی تغییر کرد و اون رو در برنامه درسی شون قرار دادند.

#دانستنی های_ به درد_نخور ۲۷
می دونستید که ماری کوری در سال ۱۹۱۱ و چند سال بعد از مرگ همسرش وارد رابطه ای شد که در زمان خودش یک رسوایی اخلاقی حساب می شد. در اون سال با
Paul Langevin
که یک فیزیک دان و شاگرد پیر کوری وارد رابطه شد. Langevin خودش متاهل بود و گویا با همسرش اختلاف داشت ولی از هم جدا نشده بودند. در سالی که ماری کوری کاندیدای جایزه نوبل بود نامه های عاشقانه این دو نفر در مطبوعات اون زمان در فرانسه درز پیدا کرد. مطبوعات عنوان زنی فاسد و ویرانگر بنیان خانواده رو بهش نسبت دادند.
خودش هیچوقت این موضوع رو انکار نکرد و  برخلاف خواست اعضای آکادمی که ازش خواسته بودند در مراسم شرکت نکنه، گفته بود: "زندگی خصوصی من ربطی به کارهای علمی ام نداره."
ظاهرا برای اینکه در امان باشه از حاشیه ها و حملات، مدتی در منزل بورل(ریاضیدان معروف) به همراه فرزندانش زندگی می کرده.

تمبر پستی به افتخار
Alexander Grothendieck

جوک های ریاضی معمولا حتی برای دوستداران ریاضی هم منجر به قهقهه نمی شه و بیشتر اینجوریه که فقط متوجه نکته اش می شند.یکی اومده ۶۶ تا جوک ریاضی رو با هم یه جا جمع کرده.
یکی از جوک هاش:
Einstein-Pythagoras equation:
E = m(a²+b²)

دارم یه مقاله می خونم(چون عنوانش مودبانه نیست، نمی تونم اینجا بذارم) درباره اینکه الگوریتم ها هم می تونند بایاس داشته باشند؟ بایاس رو می گه سه نوع می تونه باشه: آماری، شناختی(مثل اون چیزی که برای انسان پیش میاد) و سیاسی(اعمال تبعیض علیه گروهی خاص)
نویسنده می گه خیلی وقت ها این الگوریتم ها هستند که تصمیم می گیرند کی قبول بشه، کی استخدام بشه، کی حذف بشه و... می گه الگوریتم ها در سکوت نابرابری اجتماعی رو بازتولید می کنند بدون اینکه مسئولیتی رو به گردن بگیرند.
مثال های دم دستی اش الگوریتم های پیشنهاددهنده محتوا و موتورهای جستجوی مقالات و سیستم های ارجاع دهی هست.
یه اتفاق معروف که در مقاله هم بهش اشاره می شه این بود که سال ۲۰۲۰ به خاطر کرونا امتحانات پیش دانشگاهی در انگلیس لغو شد و قرار شد براساس یه الگوریتم کامپیوتری نمرات رو تعیین کنند. مشکل این بود که اگر کسی تو مدارس ضعیف تر درس می خوند الگوریتم نمره پایین تری بهش می داد ولی دانش آموزان مدارس خصوصی نمره بالاتری می گرفتند.
ظاهرا خیلی ها توی پذیرش در دانشگاه به مشکل برخوردند و کلی اعتراض هم شد و در نهایت هم کنار گذاشتند اون روش رو.
به هر حال جالب بود.