اگر کسی بهتون گفت لگاریتم به چه دردی می خوره این رو نشونش بدید.
ظاهرا اینکه صورت مساله یا قضیه برای همه قابل فهم باشه و حل یا اثباتش دور از دسترس، یه ویژگی ذاتی نظریه اعداد هست.

یه مثال دیگه از همبستگی بی دلیل:
تعداد مدارک دانشگاهی اعطا شده با سن دختران برنده مسابقه Miss America
correlation ≠ causation
یه مطلب دیگه در مورد همبستگی

امروز تولد Stephen Smale هست، حدس پوانکاره رو در ابعاد بالا ثابت کرده، بعدها پرلمان برای n=3 مساله رو حل کرد.
این مقاله برای زمانی هست که هنوز هم با تردید به اثبات پرلمان نگاه می کردند و به نظرم همین جذاب ترش کرده.
در مقاله اشاره می شه که اینقدر اثبات اشتباه برای این مساله ارائه شده بود که یه ریاضیدان مقاله ای می نویسه با این عنوان:
"چطور حدس پوانکاره را ثابت نکنیم" ظاهرا خطای اکثرشون این بوده که صرفا با نگاه توپولوژیکی به مساله نگاه می کردند.
n=1: Trivial
n=2: Easy (19th century)
n=3: Perelman (2003), declined Fields Medal
n=4: Freedman (1982), won Fields Medal
n≥5: Smale (1961), won Fields Medal

در این متن یه سری حکم نادرست بیان شده، و یه نتیجه نصفه و نیمه و نسبتا بدون ارتباط گرفته شده.

۱. «مغلطه» اساسا یه چیز کلامیه. وقتی می‌خوای ایده‌های ریاضی مثل پارادوکس راسل رو بیاری در مسائل برآمده از زبان استفاده کنی، باید دقت کنی. چیزی که از این متن برمیاد، فرض‌شدن ضمنی اصل طرد شق ثالث در قالب «مغلطه» هست و خب... منطق چند ارزشی (مثلا گودل-دامت) به شما سلام می‌کنه:)

۲. خود راسل معتقد بود که تناقض آرایشگر مثالی از پارادوکس خودش - که مبتنی بر نظریه خام مجموعه‌هاست - نیست. اگر چه برای توضیح شهودیش از این مثال استفاده می‌شه ولی تناظر دقیقی باهاش نداره. پارادوکس راسل از نامحدود بودن اصل موضوعه comprehension در نظریه مجموعه‌ها میاد. پارادوکس آرایشگر، بسته به انگاره ما از آرایشگر داره: ما تصورمون از آرایشگر کسی‌ئه که به «دیگری» سرویس آرایشگری می‌ده. به عبارتی این پارادوکس ناشی از بازی با معانی ضمنی کلماته. اما پارادوکس راسل (و معادلش در شهودگرایی، پارادوکس کِری (Curry))، از تعاریف دقیق ریاضی از عضویت در مجموعه، خود مجموعه و دیگر مفاهیم مربوطه برمیاد. بازی کلامی رو با تعریف دقیق نمی‌شه برابر کرد. اگر هم در جواب این بگید که بالاخره از زبان برای بیان مفاهیم ریاضی استفاده می‌شه، باز هم اشتباه می‌کنید: چون در ریاضی یا از بخش جامع و مانع زبان (بدون معنای ضمنی) استفاده می‌شه یا اگر لازم بشه از کلمه‌ای با معنای ضمنی استفاده بشه، حتما اون کلمه به تعریفی در قالب بخش جامع و مانع زبان نگاشته می‌شه.

۳. در راستای مورد بالا، راسل هیچ اسمی از پارادوکس آرایشگر در نامه‌ش به فرگه نیاورده. پارادوکس هم طرح نمی‌شه، بلکه با استفاده از اصول موضوعه یک نظریه به دست میاد که به صاحب نظریه بگه اصولش اشکال داره.

۴. شاخه‌های جدید تولید شده در سیستم منطقی دقیقا چیه؟ اگر‌ منظورتون مباحث مربوط به نظریه پیچیدگی (همون که ملانی میچل یا گونار پروسنر ازش حرف می‌زنن) هست که خب من تخصص دقیقی ندارم در این زمینه ولی؟ این که اصول بنیادی حساب پئانو (و نه ریاضیات!) اینا رو نتونه مدل کنه «اشکال اساسی»ش نیست. ضمن این که منطق‌های غیرکلاسیک (انواع منطق‌های وجهی مثل منطق وجهی احتمالاتی، منطق coalition، منطق temporal و سایر منطق‌های این کلاس که هر کدوم بخشی از مسائل واقعی‌تر مثل سر و کله زدن با داده رو پوشش می‌دن) به شما سلام می‌کنن:) بماند البته که این بحث شما که احتمالا مربوط به سیستم‌های پیچیده‌ست، بیشتر می‌ره تو حوزه سیستم‌های دینامیکی تا منطق.

۴. توالی همانی؟ تغییر یافتن و شدن؟ باید این‌ها رو دقیق تعریف کنید. اگر منظورتون اینه که تاثیرات متقابل چرا در ریاضیات مدل نمی‌شه، این ربطی به ریاضی نداره بلکه ربط به جا نگرفتن این مفهوم ذیل علیت (به معنای استانداردش) هست. که خب نباید هم جا بگیره چرا که برای استدلال علیتی، ماهیت موضوع مورد استدلال مهمه. طبیعیه که وقتی در سطح کلان‌تری میای که ماهیت‌ها و رفتارها عوض می‌شن، نیاز باشه جور دیگری فکر کنی و بگی رسیدن از حالت الف به ب یعنی چی. آیا زمانی که هیلبرت و شرکا و دیگر ریاضی‌دان‌ها دغدغه‌شون اصل‌بندی کل ریاضی بود، یا زمانی که جوزپه پئانو اصل‌بندیش رو از حساب منتشر کرد، این‌ها جزو دغدغه‌های دست اولشون بود؟

۵. راسل اگر چه پارادوکسش رو به فرگه پس از انتشار جلد اول Begriffsschrift نشون داد، ولی این مسئله اصلا براومده از یکی از چالش‌های نظریه خام مجموعه‌های کانتور بود. نوشتن نامه به فرگه نتیجه‌ی اون بود نه دلیلش.

۶. نتیجه نهایی خیلی با اغماض از بقیه مطلب در اومده. پارادوکس راسل از غلط بودن و ناسازگاری اصول نظریه خام مجموعه‌ها دراومده. در حالی که حرکت از ذات چیزی به سمت «درباره» چیزی، بیشتر ذیل ناتمامیت گودل می‌ره که از «ناکاملی» تحت شرایطی مشخص صحبت می‌کنه. این که هر دو موضوع به نوعی از self-reference اشاره می‌کنن، دلیل نمی‌شه که جنس این self-reference در هر دو یکی باشه.

ظاهرا صد تا مساله IMO رو formalized کرده.
https://youtu.be/5NbYtDfXfR4?si=BKjUXEWNp4Jxrqs7

🔷 فهرست چهارم

تعداد فرسته‌ها به ۲۰۰ رسید. در فهرست‌های زیر می‌توان عناوین همهٔ‌ فرسته‌ها را دید و با کلیک روی هر عنوان به‌سادگی به فرستهٔ مورد نظر رسید. از همراهی همهٔ دوستان به‌ویژه آن‌ها که بازخورد دادند و نقد کردند سپاسگزارم.

فهرست پنجاه فرستهٔ اول
فهرست پنجاه فرستهٔ دوم
فهرست پنجاه فرستهٔ سوم

فهرست پنجاه فرستهٔ چهارم:

۱۵۱. نقدی بر جایزهٔ مصطفی
152. The Overview Effect
۱۵۳. استقلال رأی
۱۵۴. نقطه‌ٔ آبی کمرنگ
۱۵۵. پارادُکس سیب‌زمینی
۱۵۶. منشأ گونه‌ها
۱۵۷. هوش
۱۵۸. شطحیات
۱۵۹. فرهنگ چیست؟
۱۶۰. لذت علم
۱۶۱. عهد خرد
۱۶۲. باز هم خوداستنادی
۱۶۳. آناتومی یک سقوط
۱۶۴. نمای نزدیک
۱۶۵. راهنمای حل مسئله
۱۶۶. فعل و انفعال
۱۶۷. هوش مصنوعی و اثبات قضیه‌‌های ریاضی
۱۶۸. اصفهان برفی
۱۶۹. نمی‌دانم؛ باور کن!
۱۷۰. زمان چیست؟
۱۷۱. دروغ‌های بزرگ، دروغ‌های کوچک
۱۷۲. خردمندی و شادمانی
173. Daniel Kahneman (1934-2024)
۱۷۴. آیا برای ریاضی ورزیدن باید نابغه بود؟
۱۷۵. انحصار و انزوا
۱۷۶. موسیقی، فیزیک و مغز
۱۷۷. واژگان ارتباطات علم
۱۷۸. واقعیت وابسته به مدل
۱۷۹. احتمال
۱۸۰. دانشمند همچون شورشی
۱۸۱. چهار درس طلایی
۱۸۲. تجربه و نوآوری
۱۸۳. یک معما از نظریهٔ احتمال
۱۸۴. ترویج علم، راه‌ رفتن بر لبهٔ تیغ
۱۸۵. جرئت دانستن داشته باش!
186. Just law vs. Unjust law
۱۸۷. نافرمانی و خلاقیت
۱۸۸. آدم‌ها و ریاضیات
۱۸۹. حدس بزن
۱۹۰. عکس‌نوشت، زبان علم
۱۹۱. چه‌گونه تز بنویسیم
۱۹۲. وفاق
۱۹۳. مینیمالیسم
۱۹۴. انتگرال‌گیرهای کلوین و ماکسول
۱۹۵. حذف ناممکن‌ها: از قصه تا واقعیت
۱۹۶. معلم
۱۹۷. دختر «من»، خواهر «من»
۱۹۸. درنگ‌‌های کوتاه در فیزیک
۱۹۹. اسرار مکعب روبیک
۲۰۰. دربارهٔ «فُحش»

@k1samani_channel

مساله برای فکر کردن:
شروع بازی با سفید و مات در ۴ حرکت

نمی دونستم یه stackexchange هم واسه chess هست. اینجا آقای Hamkins یه سوالی پرسیدند و ملت جواب دادند.
یکی از کسانی که جواب داده آقای
Noam D. Elkies
هست که قبلا درباره اش نوشته بودم.

https://chess.stackexchange.com/questions/47185/castling-privilege-example-follow-up

حلقه و میدان هم می گفتند اون زمان، بعید می دونم بعضی از معلم های الان بتونند این چیزها رو تدریس کنند.

این سال ها جز اون دوران دوم حساب می شه...
کلا به لحاظ جزوه نویسی در یک کلاس دیگه بودند، دایره ها و بیضی ها و...همه رو مثل یه کتاب رسم کردند .داخل جزوه ها رو هم یه نگاهی کردم، نه شعری نوشته، نه خط خوردگی داره و ...کلا فقط ریاضی، سوالات و حل شون.

این نمونه امتحان رو از انتهای جزوه هندسه برداشتم. معلوم نیست چرا به دو بخش سوالات و مسائل تقسیم بندی شده و اینکه امتحان چرا از ۲۲ نمره است؟
سطح سوالات امتحان هم پایین تر از جزوه است در کل.

تا الان فکر می کردند که اگر دو تا گره رو به هم وصل کنند یه گره پیچیده تر به دست میاد، در واقع یه عددی هست که بهش می گند unknotting number، توی این مقاله یه مثال نقض ارائه کردند و نشون دادند برای connected sum دو تا گره اون عدد ممکنه کوچکتر بشه.
این مساله رو چند دهه ریاضیدان ها می خواستند حل کنند ظاهرا...
یه ریاضیدان یه لیستی از مسائل رو در
Low dimensional topology
تهیه می کنه که به Kirby's List معروفه، این مساله ای که حل شده در واقع یه مثال نقض برای یکی از مسائل اون لیست هست.
لینک لیست مسائل
لینک مقاله:
https://arxiv.org/abs/2506.24088

پنجاه سالگی...

چند نکته از تائو:
۱. هوش به تنهایی کافی نیست.
۲.لحظه های نبوغ یا آها یا... حاصل تلاش زیاده.
۳.ایده های کلی به درد نمی خوره، چیزی رو وقتی فهمیدی که جزییاتش رو بدونی.
۴.راه میان بر وجود نداره. باید مساله حل کنی، برگردی به عقب، مرور کنی و...
۵. لذت بردن کمک می کنه در کارت استمرار داشته باشی‌
۶. باید سخت کار کنی نه زیاد، تمرکز خیلی مهم هست. حال و حوصله نداری و خسته ای به کارهای دیگه بپرداز.
و چیزهای دیگه...
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/work-hard/

امروز سالمرگ هانری پوانکاره هم هست، پوانکاره رو آخرین Polymath می دونند.
مفهوم گروه بنیادی رو اولین بار پوانکاره در مقاله اش معرفی کرد، به هر فضای توپولوژیک یه گروه نسبت می دند، بعد خواص فضاها رو با کمک اون گروه بررسی می کنند.
یه نقطه رو تو فضا در نظر می گیریم و بعد تمام مسیرها یا راه هایی که از اون نقطه شروع می شه و دوباره به همون نقطه بر می گرده رو در نظر می گیرند. اون راه هایی که بدون پارگی و... به اون یکی تبدیل بشه معادل می گیریم و...
مثلا گروه بنیادی یه دایره می شه اعداد صحیح
π₁(S¹)=ℤ
تو شکل بالا تا حدی شهودی این قضیه رو توضیح داده.
مقاله ای که در اون این مفهوم رو تعریف کرده به انگلیسی نیست، خیلی هم ربطی به توپولوژی، توپولوژی جبری و... ظاهرا نداره، بیشتر یه سری معادلات دیفرانسیل و...
معلوم نیست به چی فکر می کرده و دنبال چی بوده که به این مفهوم رسیده... احتمالا اون نگاهی که امروز ما به این مفاهیم داریم رو نداشته: مثل یه فانکتور از فضای توپولوژیک به گروه ها.

امروز ظاهرا به
Yellow Pig Day
هم معروفه. مایکل اسپیواک معروف و دیوید کلی به خاطر خاصیت های جالبی که عدد ۱۷ داشته می خواستند یه روز از سال رو به این عدد اختصاص بدند، به همین خاطر یه موجود خیالی به اسم خوک زرد خلق می کنند و باقی ماجرا...
عدد ۱۷ غیر از خواص ریاضی که داره ظاهرا در فرهنگ عامه شون هم تا حدی مورد توجه هست.
رابطه بالا هم کار گاوس هست که ثابت کرد ۱۷ ضلعی منتظم رو می شه با خط کش غیرمدرج و پرگار رسم کرد.

این مقاله توصیه می کنه که استادها در تدریس از Lean استفاده کنند. می گه این کار باعث می شه که دانشجو تمام مراحل منطقی اثبات رو بفهمه وجزییات اون رو بررسی کنه.می گه دانشجوها معمولا اثبات ها رو حفظ می کنند. استفاده از Lean باعث می شه که بفهمند چرا بعضی جاها چیزی که نوشتند کار نمی کنه و این به درک عمیق از اثبات منجر می شه. اشاره می کنه به جمله تائو که از نقش
Interactive Theorem Prover, ML,...
در ریاضیات سال های بعد می گه.
پنج مشکل در آموزش و درک اثبات این ها هستند:
۱.چرا اثبات مهمه اصلا؟
۲. دانشجوها اثبات ها رو حفظ می کنند و ایده ها رو درک نمی کنند.
۳. درک یکسانی از اثبات وجود نداره.
۴. دانشجوها توان یا اعتماد به نفس بررسی درستی اثبات رو ندارند. هر چی در جزوه و کتاب نوشته یا استاد می گه رو درست می دونند.
۵. بلد نیستند اثبات رو بشکنند به بخش های کوچک تر
Teaching Mathematics with Lean: Interactive Theorem Provers in the Classroom

1. گروتندیکیسم: ترجیح می‌دهم که نه! – گویا بزرگی
2. نام‌گذاری بر بی‌نهایت‌ها – لورن گراهام، ژان میشل کانتور
3. روح مهندس اعدام شده – لورن گراهام
4. آسیا – ایوان تورگنف
5. عمو پتروس و انگاره‎ی گلدباخ – آپوستولوس دوکسیادیس
6. وحشت، عشق و شست و شوی مغزی: دلبستگی به فرقه‌ها و سیستم‌های تمامیت‌خواه – الکساندرا استاین
7. قضیه رابرت اوپنهایمر- هاینار کیپهارت
8. کمدی منطق – آپوستولوس دوکسیادیس، کریستوس پاپادیمیتریو
9. پختستان – ادوین ابوت
10. نظریه جاویدان – شارون برچ مک‌گرین
11. دفاعیه‌ی یک ریاضی‌دان – گادفری هرولد هاردی
12. جراح دیوانه – یورگن توروالد
13. قطاری که در بعد چهارم گم شد – آ.ج.دیچ، مارتین گاردنر
14. دوست دارم ریاضی‌دان باشم – پال هالموس
15. شاگردی یک ریاضی‌دان – آندره وی
16. ریاضی‌دانان نامی – اریک تمپل بل
17. چرا گورخرها زخم معده نمی‌گیرند – رابرت ام. ساپولسکی
18. کالیبان و ساحره – سیلویا فدریچی
19. من؟ من با همه فرق می‌کنم – فردریک پل
20. 2666 – روبرتو بولانیو
21. یو.اس.ای – جان دوس پاسوس
22. در جست‌وجوی زمان از دست رفته – مارسل پروست
23. روح پراگ – ایوان کلیما
24. داده‌های مخرب – کتی انیل
25. دکتر مهدی بهزاد – علیرضا ملائی توانی
26. تجربه‌ای ایرانی-آمریکایی – سعید قهرمانی
27. قوی سیاه – نسیم نیکولاس طالب
28. کتاب دلواپسی – فرناندو پسوا
29. اگر شبی از شب‌های زمستان مسافری – ایتالو کالوینو
30. لی‌لی – خولیو کورتازار
31. داده‌کاوی برای برنامه‌نویسان: هنر باستانی شمارش - رون زاخارسکی
32. پنج دوست کمبریجی من – یوری مودین
33. علوم پایه زنجان – ماندانا فرهادیان
34. من ریاضی‌دانم – نوربرت وینر
35. بازیگران نمایش اورانیوم – لئونا مارشال لیبی
36. سرزمین عجایب بی‌رحم و ته دنیا – هاروکی موراکامی
37. فداکاری مظنون ایکس – کیگو هیگاشینو
38. تاریخ آمار – محمدقاسم وحیدی اصل
39. جزء و کل – ورنر هایزنبرگ
40. تولد یک قضیه – سدریک ویلانی
41. یولسیز – جیمز جویس
42. ناگهان – عباس نعلبندیان
43. مترو – هاروکی موراکامی
44. تفکر سریع و کند – دانیل کانمن
45. معمای زندانی – ویلیام پاندستون
46. همه ماجراهای ریچارد فاینمن – ریچارد فاینمن
47. گودل، اشر، باخ – داگلاس آر هوفشتاتر
48. کتاب گفت و گوها – جولیان آسانژ
49. لاشه‌ی لطیف – آگوستینا بازتریکا

این دیوونه بازی ها هنوز هم طرفدار داره در دنیا.
فکر می کنم آقای گاورز در کتاب "مقدمه ای کوتاه بر ریاضیات" اشاره می کنه که(الان به کتاب دسترسی ندارم و نمی تونم عین جمله رو نقل کنم) بعضی ها میاند پیشم و می گند ما اعداد n رقمی رو در m رقمی در کسری از ثانیه ضرب می کنیم و ایشون گفته بود که این مهارت ها در ریاضیات ارزشی نداره، کامپیوتر هست و بهترش رو انجام می ده و فکر کنم اشاره می کنه که کار ریاضیدان بیشتر شبیه لاک‌پشت هست تا خرگوش!

یه گالری از تصاویر تخته سیاه های واقعی
بخشی از پروژه
Do Not Erase: Mathematicians and Their Chalkboards
کتابش هم ظاهرا چاپ شده.
https://abakcus.com/do-not-erase-beautiful-collection-of-mathematicians-blackboards/