این مساله تراموا ورژن های مختلفی داره، یکی اش اینجوریه. بی نهایت تراموا هست و بی نهایت ریل. روی ریل n ام n تا آدم هست. در حالت عادی داره می ره سمت ریل یک. اگر اهرم رو بکشید به صورت اتفاقی می ره سمت یکی دیگه از ریل ها و احتمال اینم هست که کلا برق قطع بشه و اصلا هیچ حرکتی نکنه. چی کار می کنید؟

یه ورژن خیلی جذاب دیگه ای هم هست که دو تا مسیر هست و تو یکی بی نهایت آدمه. اگر درست یادم باشه ربطش می دند به مباحث set theory و خوش ترتیبی و...
پیدا کردم اونم می ذارم.

امروز همکارم در مورد قضیه بسیار جالبی در ریاضیات (مالی) صحبت می کرد که به نظرم به علت ارتباط دو دنیای احتمال و مشتقات جزئی و کاربردش در مالی کمی هیجان انگیز است.
🔍 قضیه فاینمن–کاک؛ جایی که احتمال به کمک معادلات می آید!
اگر تا حالا با معادلات دیفرانسیل جزئی (PDEها) مثل معادله حرارت یا بلک-شولز درگیر شده اید، احتمالاً تجربه کرده اید که حل تحلیلی یا عددی این معادلات چقدر پیچیده و حساس است. اما یک راه جایگزین و عمیق وجود دارد: استفاده از احتمال و فرآیندهای تصادفی! اینجاست که قضیه فاینمن–کاک وارد می شود.
🧠 شهود قضیه چیه؟
این قضیه می گه که می تونی جواب یک معادله دیفرانسیل جزئی رو نه با مشتق گیری، بلکه با گرفتن امید ریاضی از یک فرآیند تصادفی مثل حرکت براونی (Brownian Motion) به دست بیاری. انگار به جای اینکه مسیر حل معادله رو دقیقاً دنبال کنیم، هزاران مسیر تصادفی رو شبیه سازی می کنیم و از میانگین شون به جواب می رسیم!
💡 کاربردها کجاهاست؟
* در مالی، این قضیه پایه و اساس فرمول بلک-شولز برای قیمت گذاری آپشن هاست.
* در فیزیک آماری، به کمک این قضیه می شه سیستم های حرارتی رو مدل سازی کرد.
* در هوش مصنوعی و یادگیری ماشین، این دیدگاه در طراحی شبکه های عصبی فیزیک مبنا (PINNs) و تخمین معادلات به کار می ره.
* در مدل سازی های مالی پیچیده، مثل مدل های نوسان تصادفی یا بازارهای با پرش (jump-diffusion)، این قضیه ابزار کلیدیه.
✍️ به زبان ساده:
قضیه فاینمن–کاک پلیه بین دو دنیای ظاهراً متفاوت:
🔹 دنیای تحلیلگران PDE و مشتقات
🔹 دنیای تصادف، شبیه سازی و احتمال

و نتیجه؟ حل معادلات سخت با نگاه آماری و حتی عددی.
سالها پیش، دو ذهن درخشان، یکی فیزیکدان (ریچارد فاینمن) و دیگری ریاضیدان (مارک کاک)، از دو جهان متفاوت به یک نقطه مشترک رسیدند:
🔹 فاینمن با مسیرهای احتمالی در مکانیک کوانتومی کار می کرد.
🔹 کاک با معادلات دیفرانسیل جزئی و فرآیندهای تصادفی سروکار داشت.
نتیجه؟ یک پل بین دنیای احتمال و دنیای معادلات قطعی.
این همان قضیه فاینمن–کاک است:
هرگاه با یک معادله دیفرانسیل جزئی (PDE) روبه رو باشی، شاید بهتر باشد به جای مشتق گیری، آن را با یک امید ریاضی از حرکت تصادفی حل کنی!

از صفحه شخصی آقای
Reza Sheikhi

دوره بین سال های ۱۹۴۰ تا ۱۹۶۳ رو دوره ثبات برای Axiom of Choice می شه دونست.
بین دو جنگ جهانی ریاضیدان ها (به خصوص در لهستان) هر گزاره ای رو می دیدند دنبال این بودند که ارتباطش با AC رو کشف کنند. شرط کافیه؟ شرط لازمه؟ یا معادل هست؟
بعد از جنگ جهانی دوم این قضیه تا حدی ادامه پیدا کرد. سرپینسکی و تارسکی دو چهره شاخص این جریان بودند. مثلا سرپینسکی ثابت کرد این گزاره معادل AC هست: برای m و n نامتناهی که
m<p , n<p
داریم:
mn<p
سرپینسکی و شاگردانش در لهستان و تارسکی در برکلی و هر کسی که دوروبره این ها بود به این موضوع علاقه مند بود.
Kelley
در برکلی به این نتیجه رسید:
قضیه تیخونوف محدود به فضاهای T1 معادل AC می شه.
این اصل قبلا نقشش در جبر ثابت شده بود، خیلی از قضایای جبری برای اثبات به این اصل نیاز داشتند. کم کم پای توپولوژی و منطق هم اومد وسط. دو تا قضیه اساسی در منطق مرتبه اول رو ثابت کردند معادل AC هست.

Contrapositives are for cowards
عکس نقیض برای ترسوها است.

یه جریانی راه افتاده که هر کس چهار کتاب که از بین کتاب های ریاضی خونده و تاثیرگذار بوده نام می بره، انتخاب سختیه از بین این همه کتاب و طبیعتا با توجه به رشته و گرایش و...می تونه خیلی متغیر باشه لیستش بین افراد. واسه خود من اینا:
Topology and Geometry Bredon
Algebraic Topology Hatcher
Set Theory: The... Jech
و تئوری اعداد، نویسنده: واتسلاو سرپینسکی
که مرحوم شهریاری ترجمه کرده با اون مقدمه معرکه اش.

هرمان مینکوفسکی ریاضی‌دان برجسته اوایل قرن بیستم بود. کارهای مینکوفسکی در هندسه، جبر و آنالیز ریاضی شناخته شده‌است. از مشهورترین این دستاوردها، فضا-زمان مینکوفسکی در نظریه نسبیت است.
مقاله‌ای که در این پست قرار داده‌ایم، روزهای پایانی زندگی مینکوفسکی می‌پردازد. این مقاله در شماره ۸۵ از مجله اخبار IPM منتشر شده‌است. بخشی از چکیده مقاله را در زیر آوردیه‌ایم:

«متنی که در اینجا می‌خوانید، شامل تصویرهایی است از آخرین ماه‌های زندگی و فعالیت علمی مینکوفسکی، مرگ غم انگیز او، و حال و هوای
محیط شکوفای علمی در گوتینگن، که درآن زمان یکی از مهمترین مراکز پژوهش ریاضیات و فیزیک در جهان بود. اصل این متن، فصل چهاردهم از کتاب معروف هیلبرت -کورانت اثر کنستانس رید است که ترجمۀ خلاصه‌وار آن در اینجا می آید.»

خانم Chung می گه ریاضیات از جایی(سطحی) به بعد چیزی فراتر از حل معادله و اثبات قضیه هست. ارتباط، تبادل ایده و کار تیمی بی وقفه است.
می گه وقتی با کسی دیگه ای همکاری می کنید هم با خودش ایده میاره و هم انگیزه.
https://www.quantamagazine.org/why-the-key-to-a-mathematical-life-is-collaboration-20250728/

درباره ی ترانه‌های ریاضی Tom Lehrer
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/Lehrer_Songs/

بعضی کتاب ها...تنوع کتاب ها زیاده واقعا...
چند تا رو می ذارم

اینجا جناب تائو می گه مقایسه نتایج و دستاوردهای AI در المپیاد ریاضی با انسان می تونه گمراه کننده باشه. از شرایط مسابقه در المپیاد ریاضی می گه و توضیح می ده که دانش آموزها فقط از یه خودکار و کاغذ استفاده می کنند و خودشونند و سوالات. می گه بدون شفافیت از نحوه حل سوالات توسط AI نمی تونیم اینقدر راحت این دو تا رو مقایسه کنیم. زمان، ابزارهای جانبی و حتی تفسیر سوالات توسط انسان باید به عنوان مولفه های مهم، وضعیتش مشخص بشه.بدون اشاره به مدل یا شرکت خاصی می گه باید از این مقایسه های بیش از حد ساده دست برداریم.
https://mathstodon.xyz/@tao/114881418225852441

از کتاب بالا
این اصل تضمین می کنه که x ایی نیست که عضو خودش باشه.
توسط von Neumann معرفی شده.

Primesweeper

A Minesweeper with prime numbers instead of bombs.

#site #game #primenumbers