قاعده این خط رو بگیرو برو توی ریاضی جواب نمی ده!

من بارها توی کانال در مورد اهمیت اثبات درستی برنامه‌هایی که می‌نویسیم توضیح دادم. اما بیاید یه بار دیگه با یه مثال دیگه بهتون نشون بدم داستان رو.

در نظر بگیرید که نماد
[ (0,inf)
همون انتگرال صفر تا بی‌نهایت باشه. شما اگر بخواید انتگرال زیر رو محاسبه بکنید به جوابی می‌رسید که جلوش نوشتم :
[ (0,inf) sin(t)/t . dt = pi/2
انتگرال زیر رو هم همینطور
[ (0,inf) sin(t)/t . sin(t/101)/(t/101) . dt = pi/2
و ایضا این انتگرال
[ (0,inf) sin(t)/t . sin(t/101)/(t/101) . sin(t/201)/(t/201) . dt = pi/2

از روی همین پترن یه حدسی که میشه زد اینه که به ازای هر عدد طبیعی مثل n رابطه زیر برقراره:
[ (0,inf) {Pi(0,n) sin(t/100*i+1)/(t/100*i+1)} . dt = pi/2

باورتون میشه که اگر از صفر شروع کنید و همینطور بیاید جلو، اولین عددی که این حدس رو نقض میکنه عدد زیره :))

n = 15341178777673149429167740440969249338310889

و این یعنی این که شما به هیچ عنوان نمی‌تونید به Test کردن برنامه‌ای که نوشتید اکتفا کنید. و اینجا میشه جای خالی اثبات رو به طور خیلی محسوسی احساس کرد.

سلام محمدحسین جان. آقا منم دو مورد در ارتباط با همین موضوع بگم.

1⃣ اعداد زیر همگی عدد اول هستند:

17 57 09,
17 57 57 09,
17 57 57 57 09,
17 57 57 57 57 09,
17 57 57 57 57 57 09,
17 57 57 57 57 57 57 09,
17 57 57 57 57 57 57 57 09.

به نظر می‌رسد که می‌توانیم به این الگوی عددی اعتماد کنیم و عدد بعدی این دنباله را نیز اول بدانیم. اما جالب است که عدد بعدی، دیگر اول نیست:

17575757575757575709=
232433×75616446785773.

2⃣ اگر همین الان با استفاده از یکی از ابزارهای آنلاین سعی کنید

gcd(n^17+9,(n+1)^17+9)

یعنی بزرگترین مقسوم علیه مشترک این دو عدد را به ازای مقادیر مختلف n محاسبه کنید، خواهید دید که این مقدار برابر یک خواهد بود. در حقیقت، اگر با شروع از 1، مقادیر n را با سرعت هزاران مقدار در ثانیه در رابطه بگذارید تا پایان عمر جهان نتیجه یک خواهد بود.

با این وجود، این مطلب به ازای همه مقادیر n درست نیست و در حقیقت اولین باری که بزرگترین مقسوم علیه مشترک این دو عدد غیر از یک خواهد بود به ازای مقدار زیر برای n است:

8424432925592889329288197322308900672459420460792433

اینجاست که می‌گویند یک تراژدی ریاضی یعنی از بین رفتن اعتبار یک حدس با یک مثال نقض!

اتفاقی یه جا به یه نامه ای برخوردم که یه خانمی، ظاهرا فیلسوف به دکارت می نویسه.
دکارت توی نامه هاش خیلی از عقل و هوش و زکاوت این خانم(الیزابت) تعریف می کنه، ضمنا مرتب ازش می خواد صریح و بی پرده بنویسه تا بحث ها پیش بره.
الیزابت هم بهش گفته بود تعریف و تمجید رو بذار کنار و روی بحث تمرکز کن!
موضوع بحث چی بوده حالا؟ اینکه روح غیرمادی چطور می تونه بر جسم مادی اثر بذاره؟
بخشی از یک نامه:

از شما خواهش می‌کنم برایم توضیح دهید که چگونه روح یک انسان می‌تواند ارواح بدن را مجبور کند تا کنش‌های ارادی پدید آیند؟ زیرا به نظر می‌رسد هر تعین حرکت تنها از راه رانش چیزی که حرکت می‌کند و به وسیله‌ی چیزی که به‌وسیله‌ی محرک هل داده می‌شود، یا به‌واسطه‌ی ویژگی‌های خاص و شکل سطح آن محرک رخ می‌دهد. برای دو حالت اول تماس فیزیکی لازم است، و برای حالت سوم امتداد. شما امتداد را به‌طور کامل از مفهوم روح کنار گذاشته‌اید، و تماس فیزیکی هم به نظرم با چیزی غیرمادی ناسازگار است.

تاریخ نامه برای کی هست؟ سال ۱۶۴۳
به لحاظ سطح بحث و دغدغه جالب بود.
زنان اینجا اون سال ها به چی فکر می کردند؟

جعل گسترده و سیستماتیک در مقالات ریاضی

بیشتر مربوط به جریان هایی که با تعداد citation و impact factor و یا تعداد مقالات، افراد و مقالات رو می سنجند.
ظاهرا شرکت هایی هستند که خدماتی ارائه می دند شامل موارد بالا، نتیجه اش اینه که مقالاتی چاپ شده و می شه که اصلا ربطی به جریان اصلی علم نداره، کسی نمی خونه و یا اصلا مشکل داره ولی برای بردن آمارو... چاپ می شه.
یه گروه بین المللی تحت سرپرستی ریاضیدان آلمانی خانم
Ilka Agricola
به نمایندگی از انجمن ریاضی‌دانان آلمان و IMU این کار رو انجام دادند.
توی یه سالی یه دانشگاه در تایوان به عنوان یه دانشگاه طراز اول و با بیشترین محقق سطح جهانی در ریاضیات شناخته می شه، در حالی که اصلا رشته ریاضی اونجا ارائه نمی شده!
https://phys.org/news/2025-09-systematic-fraud-uncovered-mathematics.html?trk=feed_main-feed-card_comment-text

ریمان روستازاده ای که در ۱۷ سپتامبر ۱۸۲۶ زاده شد. پسر کشیشی که وضع مالی خوبی هم نداشتند. به خواست پدر رفت و الهیات خوند. اما علاقه اش ریاضیات بود، می گند کتابی ۹۰۰ صفحه ای رو در نظریه اعداد شش روزه خوند.
از نظر جسمی همیشه مشکل داشت، درون گرا و خجالتی بود. حتی ظاهرا از سخنرانی هم مضطرب می شد.
فردی مذهبی بود و تحقیقاتش در ریاضیات رو بخشی از اعمال مذهبی اش می دید.
جمله معروفی داره که هم اشاره ای ظریف به سختی کار ریاضیدان ها است و هم توانایی ریاضیات خودش رو به رخ می کشه، گفته بود:

اگر صورت قضیه ها رو داشتم، پیدا کردن اثباتشون خیلی سخت نبود برام.

فهرست چیزهایی که در ریاضیات به نامش هست:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/List_of_things_named_after_Bernhard_Riemann

تازه می گند خدمتکارش بعضی از کارهای منتشر نشده اش رو دور ریخته(کارهای نصفه و نیمه رو منتشر نمی کرد)

Wittgenstein: A Wonderful Life
بخش سوم
«آرامش در افکار. این است هدفِ مشتاقانه‌ی کسی که فلسفه می‌ورزد».


محصول سال 1989 بریتانیا به کارگردانی و نویسندگی Christopher Sykes

ترجمه و زیرنویس از آقای امیرسالار احسانی، از دوستان و همراهان کانال. @amirsalar_ehsani

#دانستنی های_ به درد_نخور ۳۳
می دونستید گروتندیک در مجموع چیزی حدود ۷۰۰۰۰ صفحه نوشته بود. این نوشته ها در مورد همه چیز بود، ریاضیات، رویاهاش، جهان و حتی کیمچی!
کیمچی یه خوراک سنتی کره ای هست(در واقع گوگوریویی) که گروتندیک یه متن ده صفحه ای در مورد اون نوشته.
در اون یادداشت اشاره می کنه که از وقتی درست کردن کیمچی رو یاد گرفته، اون غذا بخشی از رژیم روزانه اش شده. نوشته که کیمچی اگر با دقت آماده بشه، طعمش عالیه و هضم غذا رو هم آسون می کنه. ضمنا هیچ منعی برای مصرف اون وجود نداره. اضافه کرده که همراه با برنج پایه اصلی غذای کره ای ها هست.

تصویر هم یکی از اون ۷۰۰۰۰ صفحه باقی مونده از گروتندیک

از
Google's AI
پرسیدند x+y چند جمله ای هست؟
و فرمودند: نه! تعریفش رو درست ارائه کرده ولی تشخیصش نادرست بوده.
https://youtube.com/shorts/pq7kg7lFI_Q?si=B_ecxcyWYUykuqRL

طرف نوشته: بعضی ها توی bio شون نوشتند
AI/ML
ولی ضرب نقطه ای دو بردار رو نمی تونند حساب کنند. اینجوری مثلا:
(2i + 3j + 4k ).( 1i + 2j + 6k )
=2*1+3*2+4*6=32
یکی گفته من یه دوره پیشرفته در این زمینه گذروندم و خیلی هم چیزهای مختلف یاد گرفتم اشاره ای به ضرب نقطه ای و
low level algorithms
نشده بود.
یکی هم تیکه انداخته بود که خیلی از ریاضی خونده ها نمی تونند
resultant
دو چند جمله ای رو حساب کنند.

خودم تا حالا نشنیده بودم اصلا.
به هر حال بحث ها زیاد بود و من نفهمیدم بالاخره حق با کیه؟

در رابطه با این بحث یکی از دوستان این مطلب رو درباره اون دنباله که در mathoverflow اومده فرستادند:


#اخطار: این مساله اگرچه که ظاهرا ساده هست، ولی بازه ...

یک سوال ظاهرا ساده ...، آیا این دنباله همگراست؟
https://mathoverflow.net/questions/24579/convergence-of-sumn3-sin2n-1
در خصوص همگرایی یا واگرایی این سری، اگر حافظه‌م دچار خطا نشده باشه، الگوی رفتاری این شکلی هست:
مثلا برای 100 مقدار ابتدایی که چک می‌کنیم حس می‌کنیم که داره به a1 همگرا می‌شه ...،
ولی بعد برای 5 هزار مقدار بعدی یهویی تغییر می‌کنه و به نظر می‌رسه که داره به a2 همگرا می‌شه ...،
ولی بعد برای 2 میلیون مقدار بعدی یهویی تغییر می‌کنه و به نظر می‌رسه که داره به a3 همگرا می‌شه ...،
ولی بعد برای 100 میلیارد مقدار بعدی یهویی تغییر می‌کنه و به نظر می‌رسه که داره به a4 همگرا می‌شه ...
...
...

#هشدار: این عددایی که بالاتر نوشته‌م کاملا الکی هستن و مستند نیستن ...، و برای اینکه یه شهود خیلی گنگ و #نادقیقی راجع به الگوی رفتاری‌ش بدم اون عددا رو نوشتم ...

#ادیت: الان توی خود همین لینک بالایی دیدم که همین الگو رو به صورت دقیق و #مستند نوشته:
[Numerically there is some evidence that only some of these values of $n$ affect the overall behavior of the series. For example, letting $S(k)=\sum_{n=1}^{k}\frac1{n^3\sin^2n}$, one sees that $S(k)$ does not change much in the interval, say, $[50,354]$, with $S(354)<5$. However, $S(355)$ is close to $30$, and note that $355$ is very close to $113\pi$. On the other hand, $S(k)$ does not change much from that point until $k=100000$, where I stopped looking.]



==============================
==============================
==============================

https://mathworld.wolfram.com/FlintHillsSeries.html

حالت کلی‌تر سری، به Flint Hills series شهرت داره ...، و دلیل اهمیت همگرایی Flint Hills series در حالت کلی اینه که: همگرایی این سری کاملا به Irrationality measure عدد پی وابسته هست ...

توی مقاله‌ی زیر (که سطح‌ش در حد دبیرستانه)، نشون داده که همگرایی و واگرایی سری فیلنت هیلز ارتباط ساده و عمیقی با Irrationality measure عدد پی داره ...، در قضیه 2، و نتیجه 3
Theorem 2, Corollary 3
On convergence of the Flint Hills series (by Max A. Alekseyev): https://arxiv.org/pdf/1104.5100

==============================
==============================
==============================

Bounds on Irrationality Measures and the Flint-Hills Series (Alex Meiburg):
https://arxiv.org/pdf/2208.13356

==============================
==============================
==============================

Irrationality measure: https://en.wikipedia.org/wiki/Irrationality_measure

گروتندیک در یک نامه وقتی می خواد بگه که کارش رو روی موضوعی خاص تموم کرده از عبارت زیر استفاده می کنه:
ridiculous piece on homological algebra
احتمالا اینجا منظورش فروتنی یا تواضع نبوده، می خواد بگه فرآیند نوشتن و یا کارکردن در ریاضیات می تونه از بیرون خسته کننده، عجیب و... به نظر بیاد. برای رسیدن به فهم واقعی باید کارهایی انجام بدی که برای دیگران مسخره، سطحی و عجیبه ولی برای خودت نه.

واکنش چهره های مختلف به LLMها و استفاده از اون ها:
چارلز ببیج(مخترع ماشین حساب مکانیکی): چه دستگاه شگفت‌انگیزی!
آلن تورینگ: رویاهایم تحقق یافته‌اند!
کورت گودل:چه مزخرفی!

René Magritte
نقاشی بود که کارهاش جاهایی غیرمستقیم به ریاضی هم ربط داشت.
بیشتر نقاشی هاش این طوریه که با منطق و یا درک ما از جهان اطراف در تضاده.
بازی با پارادوکس ها، زیر پا گذاشتن هندسه اقلیدسی، کار با بی نهایت و... در کارهاش دیده می شه.
اسم اثر:
16th September

این هم به لحاظ کوتاهی در نوع خودش بی نظیره.
اثبات های استاندارد طولانی تر هستند و وابسته به قضیه های دیگه.