مساله برای فکر کردن
از اون دست مساله ها که به قول خارجی ها
hit the nerve
ولی وقتی راه حل دو خطی رو می بینی می گی: آهان، اکیه، فهمیدم.

روش نیوتن برای پیدا کردن ریشه معادله

یه petition راه انداختند که ۲۳ مارس که روز تولد امی نوتر هست به عنوان روز بین المللی امی نوتر نام گذاری بشه. از سازمان های بین المللی خواستند که این روز رو به رسمیت بشناسند.
نوتر رو شاید بشه برجسته ترین ریاضیدان زن دونست.
هیلبرت ازش دعوت کرده بود که بره درس بده و به خاطر زن بودنش شورای دانشگاه(عمدتا گروه فلسفه) با این قضیه مخالفت می کرد، مشهوره که هیلبرت در دفاع ازش گفته بود: آقایان! اینجا دانشگاه است، نه حمام عمومی!
درس ها به اسم هیلبرت بود ولی نوتر اون ها رو ارائه می کرد.
https://c.org/bKRbdJkv6B

ظاهرا تعداد یوزرهای فعال
Khan Academy
از ۱۵۳ میلیون در سال ۲۰۲۳-۲۰۲۴ رسیده به ۱۰۵ میلیون در سال گذشته.
احتمالا بخش زیادی اش تاثیر AIها و بخشی هم حضوری شدن آموزش بعد از کرونا

اون جمله معروف درباره قهوه و قضیه در واقع گفته
Alfréd Rényi
هست، که به اردوش نسبت می دند.
به خاطر سرطان ریه درگذشت، توی ۴۸ سالگی.
معتاد قهوه بود.
جمله معروف دیگه ای داره که می گه:

If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I do mathematics to keep happy.

در حالت کلاسیک بی عملی معادل بی مسئولیتی هست و در حالت کوانتومی شاید بهترین انتخاب!

مفهوم مشتق

روش نیوتن رافسون
بقیه در کانال یوتیوبشون:
https://youtube.com/@whynot.science?si=SchrmdlThwvtWTK7

وقتی نویسنده نسبت به سنگینی بحث آگاه هست و سعی می کنه با یه شوخی وارد بحث اصلی بشه.
به جای جواب دادن به سوالات وجودی که کار فلسفه است، حالا که می دونیم چیزهایی وجود داره بیایم دسته بندی شون کنیم.

If you drop a map of your country on the floor, there will be a point on the map that touches the actual point it refers to.

Brouwer's fixed point theorem.

ظاهرا جملات این دو تا فرمول بیشتر بوده.
ظاهرا جمله اول کار نیوتن بوده و بقیه کار انیشتین.

ظاهرا در فیزیک هم داره این کار متداول می شه:
formal verification
این دفعه در فیزیک کوانتوم، یه قضیه ای که اثبات اصلی اش gap داشته رو و بعدا اثبات اصلاح شده ای براش پیدا شده، توی Lean نوشتند.
طبیعتا من از خود قضیه و چند و چونش سر در نمیارم ولی این طور که مدعی شده
the most technically demanding theorem in physics with a computer-verified proof to date...
هست.
در حین این کار توی اثبات اصلاح شده چند تا ابهام و ایراد رو برطرف کردند و یه کتابخونه در Lean ایجاد کردند.
پ ن: حالا من به طور کلی در این زمینه صاحب نظر نیستم و نمی دونم چقدر کار چالشی یا سختی می تونه باشه، ولی با توجه به گسترش این موضوع به نظرم مقاله بازان و مقاله سازان وطنی و... بهتره از این فرمال سازی قضایا غافل نشند، مجلاتی هست که شما اگر قضایای رودین رو هم فرمال سازی کنی چاپش کنند!
لینک مقاله

تعریف دنباله کشی رو احتمالا همه با اون آشنایی دارند، منتها این تعریف یه تعریف معادل دیگه هم داره که احتمالا خیلی ها ندیدند(خودم هم تازه دیدم)
∀ε>0, ∃n, ∀s≥n |x_s − x_n| < ε
عجیب که کسی هم به اون اشاره نکرده یا من ندیده بودم.
می گند اون تعریفی که معروف تره، شهودی تره.
اینجا در موردش نوشته:
https://math.stackexchange.com/questions/1818520/definition-of-cauchy-sequence

دوستان می گند:
ریاضی در کتاب های درسی بیشتر در سطح ایده های اولیه نوشته شده.
اثبات بالا از کتاب رودین هست که ثابت می کنه عدد رادیکال 2 یه عدد گویا نیست، حتی همین اثبات ساده هم اونقدر سرراست و دقیق نیست که بشه خیلی راحت رسمی سازی کرد اون رو.
چیزهایی در زبان طبیعی پنهان شده که در تعامل دو تا آدم که دارند ریاضی می خونند و با اون زبان با هم حرف می زنند، گفتنش ضرورتی نداره. اما در فرمال سازی باید تکلیفش مشخص بشه. چرا در اثبات بالا می تونیم m و n رو طوری انتخاب کنیم که زوج نباشند؟ چرا چیزی اگه زوج نباشه به شکل 2k+1 می شه؟
ظاهرا باید هی و هی همه چیز رو decompose کرد و میزان جزئیات این کار بستگی به این داره که چه چیزهایی از قبل وجود داره و Solver چقدر پیشرفته هست.

«هیچ‌کس نمی‌تواند ما را از بهشتی که کانتور برایمان ساخته، بیرون براند».

/دیوید هیلبرت


«من هرگز به فکر بیرون راندن کسی از این بهشت نمی‌افتم. کاری که می‌کنم متفاوت است: سعی می‌کنم به شما نشان دهم که این بهشت نیست _ تا هر کس بخواهد، داوطلبانه خودش کنار بکشد و از آن بیرون رود. می‌گویم: خوش آمدید؛ اما فقط اطرافتان را نگاهی بیندازید… (اگر یکی می‌تواند آن را بهشت ببیند، دیگری چرا نتواند آن را شوخی بداند؟»

ویتگنشتاین/ درس‌گفتارهای ویتگنشتاین در باب بنیادهای ریاضیات 1939. P 103

جناب تائو می گه مهمترین مزیت AI در ریاضیات مربوط به حل مسائل خیلی سخت نیست، بلکه استفاده از اون ها در حل مسائل زمان بر هست. می گه در این حالت خروجی یه AI همون چیزیه که یه انسان هم می تونه انجام بده ولی با صرف زمان بیشتر، ولی خود این نکته نقص نیست، یه مزیته، چون قابل بررسی توسط انسان هست.
می گه نمونه اش literature review هست، وقتی روی یه مساله معروف کار می کنی، مرور ادبیات سخت نیست، خود پژوهشگر می تونه کارو پیش ببره، ولی وقتی مساله منابع کم و یا پراکنده ای داره، پیدا کردن منابع سخت و طاقت فرسا است.
یه مثال می زنه در مورد سایت
https://www.erdosproblems.com/
می گه بالای هزارتا مساله از اردوش توش هست که حدود ۶۰۰ تا حل نشده است، بعضی هاش خیلی معروف اند و بعضی ها گمنام. با کمک هوش مصنوعی تونستند جواب های این سوالات رو با جستجو در ادبیات موجود پیدا کنند(دقت کنید اینجا AI خودش چیزی حل نکرده، مرور ادبیات انجام داده و گزارش داده: این چیزایی که می گید open، قبلا اصلا حل شده)
https://www.erdosproblems.com/339
https://www.erdosproblems.com/1043
https://www.erdosproblems.com/494
https://www.erdosproblems.com/621
https://www.erdosproblems.com/822
https://www.erdosproblems.com/903

می گه اگر از انسان بخوایم این چیزا رو جستجو کنه معمولا درست و درمون گزارشات منفی رو بیان نمی کنه، یعنی اینکه بیاد بگه چیزی پیدا نشد(از ترس اینکه بعدا پیدا بشه و ضایع بشه)
https://mathstodon.xyz/@tao/115385022005130505

این واژه ها توی اثبات و استدلال استفاده می شند و انتخاب هر کدوم موضع نویسنده رو نشون می ده: ۱.دقیق و رسمی، ۲.بی طرفانه و ۳.مبهم و حتی مغرضانه!

معروفه که توی یه مقاله ای نویسنده وقتی داشته یه سری انتگرال رو محاسبه می کرده، می نویسه: انتگرال های قهرمانانه یا طاقت فرسا یا همچین چیزی. اشاره به سختی محاسباتی که داشته انجام می داده(اصطلاحی که به کار بردنش خیلی هم معمول نیست در مقالات)
چند سال بعد که داشته به همون انتگرال ها ارجاع می داده و ازشون استفاده می کرده می نویسه: "می بینیم که" یا "داریم".