یه سری کتاب در زمینه ریاضی، مجموعه خوبیه.
https://github.com/valeman/Awesome_Math_Books?tab=readme-ov-file

درباره نظریه گره ها، یه کم نگاه کردم به نظرم جذاب گفته
https://youtu.be/EBWP1POPc2A?si=HlVFbjMSOIAxfQOp

این مقاله هم در نوع خودش جالب بود، به خاطر نوع محاسباتش بیشتر. تقریبا صد صفحه محاسبات خالص. بعید می دونم داورها خط به خط این چیزها رو بررسی کنند و احتمال خطا هم وجود داره به هر حال.
https://arxiv.org/abs/1003.1702

دفاعیه یک دوستدار ریاضی

پیشنهاد آمازون

اینم جالب بود...

ترجمه مقاله‌ی

اثربخشی نامعقولِ ریاضیات در علوم̧ طبیعی

ترجمه‌ی دکتر امیر آقامحمدی

The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences

Eugene Wigner

لینک مقاله اصلی

یه قضیه ای هست که به فرمول سودی معروفه. اون رو
Frederick Soddy
که برنده نوبل شیمی بوده بازکشف کرد و در ۱۹۳۶ عنوان کرد. قضیه در اصل واسه دکارت هست ولی امروز بیشتر به اسم سودی شناخته می شه.
اگر سه تا دایره دو به دو بر هم مماس باشند، دو تا دایره دیگه هستند از دل اون تا دو به دست میاد و شعاع اون ها در رابطه خاصی صدق می کنه.
مرحوم که ظاهرا اهل ذوق هم بوده قضیه رو به صورت شعر هم می نویسه و اسمش رو می ذاره: بوسه های راستین.
شعر اینجوری شروع می شه:

برای بوسیدن دو لب شاید نیازی به مثلثات نباشد
اما وقتی چهار دایره بوسه می زنند، هر یک سه تای دیگر را می بوسند...
گرچه این دلبستگی اقلیدس را درمانده کرده...

شوخی و جدی در علم یه قانونی هست به اسم
Stigler's law
می گه:
هیچ کشف علمی به نام کشف‌کننده اصلی‌اش نام‌گذاری نمی‌شود.
آقای Stinger برای اینکه قانونش نقض نشه گفته این قانون رو من کشف نکردم یه فردی به اسم
Robert K. Merton
کشف کرده!
https://www.nature.com/articles/1371021a0

گاهی می گفتند که مطالعه بی نهایت های مختلف چه فایده ای داره؟ حالا ظاهرا بین این بی نهایت ها و مساله هایی در علوم کامپیوتر ارتباطی پیدا شده. خیلی از مسائلی که در نگاه اول مربوط به ریاضیات بی نهایت می شدند حالا فهمیدند معادل مساله هایی در علوم کامپیوتر هستند.
نظریه مجموعه ها با بی نهایت سروکار داره و علوم کامپیوتر با چیزهای متناهی.
حتی جالب اینکه می گند ممکنه این رابطه از اون سمت هم کار کنه، یعنی بینش های به دست اومده از سمت علوم کامپیوتر روی درک ما از بی نهایت تاثیر بذاره.
آقای Bernshteyn توی دوره لیسانس بود که در مورد
denoscriptive set theory
شنید. ظاهرا استادش بهش گفته بود این شاخه از ریاضی زمانی مهم بوده و حالا نه! ولی ظاهرا اشتباه می کرده.
بعدها که در دوره تحصیلات تکمیلی چند واحد منطق هم گذروند فهمید که منطق و نظریه مجموعه مثل چسبی هستند که کل ریاضیات رو به هم پیوند می ده.
بعدها در کنار مفهوم کاردینالیتی مفهوم
measure
رو هم تعریف کردند. اولی بزرگی مجموعه ها رو مشخص می کنه و دومی طول یه مجموعه رو. مثلا مجموعه  [0,1]  و [0,10] کاردینالیتی شون یکی هست ولی اندازه هاشون فرق داره. یه سری مجموعه هم هست که اونقدر بدقواره است که اصلا نمی شه اندازه شون رو محاسبه کرد.
تعبیر جالبی که مقاله به کار می بره اینه که می گه کسانی که در این زمینه از ریاضیات کار می کنند مثل
librarians
هستند، از یه قفسه عظیم از مجموعه های بی نهایت مراقبت می کنند و برای هر مساله مشخص کردند که چه نوع مجموعه ای لازم هست تا بقیه بتونند از اون استفاده کنند.
آقای
Bernshteyn
رو مجموعه هایی از بی نهایت گره با یال های مختلف کار می کنه. بیشتر گراف تئوریست ها به این موضوع علاقه ندارند و ترجیح می دند روی گراف های متناهی کار کنند.
به طور ساده نشون دادند که یکی از مهمترین قفسه ها در نظریه مجموعه ها با یکی از مهمترین قفسه ها در علوم کامپیوتر ارتباط داره.
آقای
Bernshteyn
می گه: امیدوارم این کارها منجر به این بشه که نگاه به set theory و ریاضیدان های شاغل در این حوزه تغییر پیدا کنه. این یه حوزه پرت و بی ارتباط با بقیه ریاضیات و دنیای واقعی نیست.
یه مثال خیلی جالب هم در مقاله مورد بررسی قرار گرفته که بعدا توی یه پست جدا بررسی می شه.
https://www.quantamagazine.org/a-new-bridge-links-the-strange-math-of-infinity-to-computer-science-20251121/

می گه: با افرادی که رویایی دارند ولی ریاضی نمی دونند، با احتیاط برخورد کن.
به افرادی که رویایی ندارند ولی کلی ریاضی بلدند، اعتماد کن.
و به افرادی که هر دو رو دارند، عمیق گوش کن تا یاد بگیری.
با هر معیاری
Vladimir Voevodsky
جز دسته سوم هست.
این مصاحبه باهاش جذاب بود. جنبه هایی از زندگی و کار یه ریاضیدان که کمتر به اون اشاره می شه.

می گه ده سال روی یه مساله ای کار می کرده و پنج سال آخر رو علاقه ای به اون نداشته و به زور کار می کرده!

دو تا بحران رو هم در ریاضی تشخیص داده بود: جدایی ریاضی محض از کاربردی و اینکه زمانی می رسه که ملت می پرسند که چرا باید روی چیزهایی که کاربردی نداره تحقیق کرد و بودجه صرفش کرد(سر جریان های تائو در این چند ماه، اتفاق افتاد)
دوم پیچیدگی زیاد مقالات ریاضی که امکان بررسی اون ها رو سخت می کنه و به تدریج خطاها روی هم جمع می شند.

خودش تلاش کرد که کاربردهای جدیدی از ریاضیات پیدا کنه. فیزیک، زیست‌شناسی، شیمی، زمین‌شناسی، زبان‌شناسی و... همه راه ها رو رفت. موضوع
Historical Genetics
رو انتخاب کرد، دو سال درگیرش بود و شکست خورد! کار نتیجه ای نداشت.
یه جایی هم از مصاحبه از تجربه عجیب ۹ روز نخوابیدن خودش می گه، حدود سال ۲۰۰۷.
https://dissipativeinterpretation.substack.com/p/voevodsky-mikhailov-pt1

ظاهرا این مساله توسط AI حل شد. مساله ۱۲۴ از مجموعه مساله های اردوش.
مساله سی سال باز بوده.
https://www.erdosproblems.com/forum/thread/124#post-1892

ظاهرا
Tom Stoppard
در گذشت. نمایش نامه نویس اهل چک.
با شکسپیر و برناد شاو مقایسه اش می کردند.
یکی از مهمترین و تحسین شده ترین کارهاش
Arcadia
هست. هر چیزی که یه دوستار ریاضی دنبالش هست در این اثر پیدا می شه:
علم، عشق، شعر، تاریخ، فلسفه و ریاضی.
داستان دختری نابغه که...
https://math.bu.edu/people/bob/papers/arcadia.pdf

اومدند fMRI مغز یه سری ریاضیدان حرفه ای و یه سری فرد عادی رو بررسی کردند. یه سری جمله بهشون دادند شامل جملات ریاضی و غیر ریاضی. نتیجه این بوده که ریاضیدان های حرفه ای در بررسی جملات ریاضی از بخش زبانی مغز استفاده نمی کردند و اون بخش هایی که به عدد و فضا مربوط می شه فعال می شده.
در مقابل افراد عادی برای جملات ریاضی هم از بخش زبانی مغز استفاده می کردند.
نتیجه؟
"اینکه ریاضی همون زبان طبیعی هست فقط پیچیده تر شده" اشتباه است، دست کم برای بزرگسالان.
این نتیجه برای بچه ها لزوما درست نیست و ممکنه اون ها برای یادگیری ریاضیات از زبان کمک بگیرند و بعدا در مرحله بالاتر در ریاضیات، استفاده از بخش های مربوط به زبان کمتر بشه یا از بین بره.
دو نکته دیگه:
از مقایسه آدم های عادی با ریاضیدان ها نتیجه گرفتند که بخش های ریاضی مغز با آموزش طولانی و... رشد می کنه و یه چیز صرفا مادرزادی نیست.

الگوی مغزی ریاضیدان ها اونقدر شبیه هم هست که می شه از fMRI یه فرد تشخیص داد که ریاضیدان حرفه ای هست یا نه!

این رو
Aristotle
اثبات کرده، یه
IMO-Level Theorem Prover
حل مساله خیلی مقدماتی در اومده و می گند در نهایت در حد مسائل مسابقات ریاضی هست. اینقدر ساده بوده که شک کردند به اثبات. برای همین توی
Lean
هم اثبات شده.
طبق معمول دو نگاه وجود داره:
یه سری می گند کار خاصی نکرده یه مساله در حد مسابقات ریاضی حل کرده.
ضمنا فعلا ورژن کمی ساده تر مساله حل شده. می گند اینکه سی سال هست حل نشده شاید به خاطر اینه که کسی جدی سراغش نرفته.

اون طرف هم مثل همیشه کسانی رو سر ذوق آورده که کی بشه دپارتمان های ریاضی رو تعطیل کنیم!

یه عده می گند مساله بازی رو بعد از سی سال حل کرد، یه عده هم می گند اگه مساله حل کن هست چرا فرضیه ریمان رو حل نمی کنه؟
بحث کامل در همون لینک بالا اومده.
پ ن: اگر راه حل مقدماتی داشته چطور به ذهن غول هایی مثل اردوش، گراهام و...نرسیده؟

یه سوال زیبای دیگه با راه حل

دیروز تولد
Richard Borcherds
بود. فیلدز مدالیست. در زمینه
Quantum field theory
هم کار می کنه.
کانال یوتیوب هم داره، در زمینه بیشتر مباحث دانشگاهی عموما جبری لکچر گذاشته. خیلی ساده دوربین رو می ذاره بالای سرش، رو کاغذ می نویسه و بعد می ره سراغ بحث بعد و کاغذ بعدی.
https://youtube.com/@richarde.borcherds7998?si=HgJnzITDEYdKcaDA

امروز سالمرگ هاردی هست، مطالبی در مورد هاردی قبلا اینجا و اینجا و اینجا گفته شده.
یه موردی که کمتر به اون اشاره شده به نوع ارتباطش با رامانوجان بر می گرده. این رابطه خیلی رمانتیک و سرشار از احترام متقابل و... همیشه ارائه شده. ولی تنش های ریزی هم بین دو طرف وجود داشته.
هاردی به عنوان یه ریاضیدان محض(با تاکید روی کلمه محض) از روش های غیر نظام مند رامانوجان کلافه بود. می گفت: این آدم هیچ اثباتی ارائه نمی کنه. برهان ها براش جزئیات مزاحم هستند و از نتیجه شروع می کنه! گویی از آسمان رسیده.
از اون طرف رامانوجان هم از اینکه هاردی بهش می گفت نتایج بدیهی اش رو اثبات کنه آزرده بود، می گفت: من نمی تونم به سبک اروپایی کار کنم.
ظاهرا یه بار هاردی به ریاضیدان ها از صد نمره می ده و نتیجه رو در تصویر می بینید.

دیروز تولد ChatGPT هم بوده. سه ساله شد.
همکار یا شاید هم رقیب ریاضیدان ها.
ترکیب خلاقیت انسانی با توانایی مدل در ایده پردازی تا اینجا بد نبوده.
در هر صورت به نظر میاد مسئولیت نهایی درستی یا نادرستی اثبات با خود انسان باشه.
باید دید ادامه کار چه طوری پیش می ره.

یه گروه مهم در ریاضی، فیزیک، رباتیک، کامپیوتر و مکانیک کوانتومی
SO(3)
هست. چیه اصلا؟
ماتریس های سه در سه مثل A که
A^t*A=I , det(A)=1
منظور از A^t ترانهاده A هست.
این گروه طول و فاصله رو حفظ می کنه. می چرخه ولی فضا رو وارونه نمی کنه!
این گروه
simply connected
نیست. اثبات فنی اش در کتاب ها هست. اثبات غیر فنی و شهودی اش اینجوریه:
فرض کنید یه بشقاب سوپ دارید و نمی خواید بریزه، پس همیشه افقی نگه می دارید اون رو. بشقاب رو ۳۶۰ درجه می چرخونید، بشقاب سر جای اولش هست ولی دست شما به طور کامل پیچ خورده! این یعنی مسیر بسته است(شروع و پایان یکسانی داره)
ولی نمی شه این مسیر رو به یه مسیر ساده که هیچ پیچش بازویی نداره کوچیکش کرد، یعنی یه حلقه ای داره که قابل جمع شدن نیست.
گروه
SO(3)
چرا مهمه؟
چون همه حرکات چرخشی در دنیای واقعی ما عضو این گروه هست.

محاسبه اون انتگرال معروف با یه روش دیگه و استفاده از خواص تابع گاما

نیوتن و رازورزی

فایل ارائه و مقاله‌ی استخراج شده از ارائه‌ی بالا

آیزاک نیوتن معمولاً نماد عقلانیت و نقطهٔ آغاز علم مدرن دانسته می‌شود، اما بخش بزرگی از فعالیت‌های او در کیمیاگری، الاهیات و تفسیر کتاب مقدس بوده است. این مقاله نشان می‌دهد که این دو چهرهٔ به‌ظاهر متعارض ــ نیوتنِ فیزیک‌دان و نیوتنِ کیمیاگر و الاهی‌دان ــ در چارچوبی عمیق‌تر قابل فهم‌اند؛ چارچوبی که در آن «رازورزی» نقش تعیین‌کننده دارد. ابتدا زمینهٔ تاریخی و فکری قرن هفدهم و تأثیر سنت دکارتی، گالیله، کپلر و بویل بر اندیشهٔ نیوتن بررسی می‌شود و سپس وحدت‌بخشی او در نظریهٔ گرانش، همراه با مفاهیمی چون فضای مطلق، زمان مطلق و کنش از دور تحلیل می‌گردد. در ادامه نشان داده می‌شود که عناصر کیمیاگری و الهیاتی نه حاشیه‌هایی شخصی، بلکه منابعی برای شکل‌گیری مفاهیم بنیادین نیوتنی بوده‌اند. سرانجام، پیامدهای این سبک اندیشه برای پژوهش و آموزش علم امروز تبیین می‌شود و استدلال می‌گردد که ویژگی «رازورزی» نیوتن نیرویی محرک برای خلاقیت نظری و پرسش‌گری بنیادی بوده است.

فایل مقاله

فایل ارائه

فایل صوت ارائه