یه چیزی که در اینجا خیلی کم کار شده، نوعی از بررسی و مطالعه است که به اون می گند(فکر می کنم البته) مطالعه تطبیقی. یعنی مقایسه دو چیز و دو دوره یا آدم در مکان و زمان مختلف. مثلا می شه یکی از همین زن ها رو در نظر گرفت و مثلا با یه زن شاخص حوالی ۱۸۸۰ در ایران مقایسه کرد. زندگی شون، افکارشون، کارهاشون. حالا مرد یا زن، فرقی نداره.
این کار رو اگر درست یادم باشه، دکتر میلانی در یکی از کتاب هاش انجام داده. مقایسه سعدی با یه نویسنده و متفکر در اروپا، که به نظرم خیلی کار جالبی بود. در مورد شخصیت های مختلف می شه این کار انجام داد و می تونه نتایج جالب و حتی خنده داری داشته باشه. مثلا مقایسه آمیرزا با یکی از ریاضیدان های هم دوره خودش(شاید مثلا پوانکاره!)

به نظر شما استدلال زیر درسته؟ از یه فیلسوف(علم) هست. (خودم نظری ندارم فعلا)

"والدین کودکی شش ساله می توانند درباره این امر تصمیم بگیرند که آیا او اصول و مبانی آیین پروتستان یا اصول و مبانی یهودیت را بیاموزد یا اینکه آموزش دینی را به طور کلی حذف کنند، ولی در مورد علوم چنین آزادی ای ندارند. فیزیک، اخترشناسی و تاریخ را باید یاد گرفت. نمی توان جادوگری، طالع بینی یا مطالعه افسانه ها را جایگزین این علوم کرد.
هیچ کس به ارائه صرفا تاریخی امور واقع و اصول فیزیکی قانع نیست. کسی نمی گوید: برخی مردم عقیده دارند که زمین به دور خورشید می چرخد در حالی که دیگران زمین را کره ای توخالی می دانند که خورشید، سیارات و ستارگان ثابت را در بر دارد. می گویند: زمین به دور خورشید می چرخد و هر چیزی دیگری بلاهت محض است"

در سال ۱۸۹۶، حتی قبل از کشف پارادوکس های نظریه مجموعه ها، بعضی ریاضیدان ها گفته بودند که این تئوری باید axiomatized بشه. علاقه به این کار، حتی با وجود کشف دوباره پارادوکس Burali-Forti در سال ۱۹۰۳ توسط راسل به وجود نیومد. هیلبرت اعتقاد داشت که این پارادوکس به خود نظریه مجموعه ها ربط نداره و بیشتر نشون می ده که منطق failed شده و نمی تونه نیازهای این نظریه رو برآورده کنه. راسل هم می گفت: فرضیاتی که در خود منطق هست باید دوباره ارزیابی بشه و موضوع رو خیلی تکنیکی و مربوط به خود نظریه مجموعه ها نمی دونست. از طرف دیگه Zermelo تمرکز خودش رو بیشتر روی اصل موضوعی کردن این نظریه گذاشته بود و خیلی اعتقادی به بازنگری در مبانی و فرضیات منطق نداشت. بعد از اثبات قضیه خوش ترتیبی توسط Zermelo بین پذیرش یا رد یه سری اصل موضوع بین ریاضیدان ها اختلاف های زیادی به وجود اومد‌.
هر مجموعه یه عدد کاردینال داره.
هر مجموعه مرتب یه order-type داره.
هر عدد اوردینال یه successor داره.
وجود مجموعه همه اوردینال ها.
اصل خوش ترتیبی، اصل انتخاب و اصل موضوع تصریح و...
ریاضیدان ها در مورد این اصول گیج شده بودند و نمی دونستند کدوم ها رو نگه دارند و کدوم ها رو رد کنند. ولی عموما بین ریاضیدان ها یه توافق وجود داشت و اون هم این بود که بیشترشون Axiom of Choice رو صراحتا رد می کردند. Zermelo برای اثبات قضیه خوش ترتیبی به این اصل نیاز داشت و اصل انتخاب رو بین اصولش قرار داد. Zermelo در سال ۱۹۰۷، مشغول جمع آوری انتقادات علیه اصل انتخاب و اثبات قضیه خوش ترتیبی شد و متوجه شد که هر دو بد فهمیده شدند. در سال ۱۹۰۸ به فاصله ۱۶ روز دو تا مقاله معروف رو منتشر کرد. در اولی جواب انتقادها رو داد و صورت جدیدی از قضیه خوش ترتیبی رو ارائه کرد و در دومی برای اولین بار نظریه مجموعه ها رو به صورت اصل موضوعی ارائه داد.

شاید بد نباشه، مجلات کمی دست نویسنده ها رو برای نوشتن مقاله، حداقل برای یه بخش هایی باز بذارند. مثلا اجازه بدند که در حد دو خط در مقدمه هر چی دلشون می خواد بنویسند. کمی شوخ طبعی اون اول کار، گاهی اوقات بد نیست.

از همون مجله و شماره...

مساله ای هست در نظریه گروه ها که به
Whitehead problem
معروفه. می پرسه: اگر 0=Ext(A,ℤ) در این صورت A
free
می شه؟
ریاضیدان های زیادی سعی کردند جواب این مساله رو پیدا کنند. مثلا یه جواب این بود، اگر A
countable
بشه، جواب، مثبت هست.
می گند Shelah که عادت داشته هربار کتاب های جدید رو توی کتاب خونه ببینه، توجه اش به جلد سبز کتابی جلب می شه، پیش خودش می گه که مگه چیزی از نظریه گروه ها هست که حل نشده باقی مونده باشه؟ کتاب اثری از László Fuchs بوده که همون سال ها منتشر شده بوده. بخش عمده ای از جلد اول رو می خونه و بعد می ره سراغ جلد دوم. یه مساله نظرش رو جلب می کنه. علاقه مند می شه به حل مساله و در سپتامبر همون سال(یعنی ۱۹۷۳) مساله بالا رو حل می کنه. ثابت می کنه که این مساله
independent of ZFC
هست، یا به تعبیر دیگه
undecidable in ZFC
یعنی با اصول نظریه مجموعه های
Zermelo-Fraenkel
به اضافه
axiom of choice
نه می شه اثباتش کرد و نه می شه ردش کرد.

۲۲ تا از برندگان نوبل، مقالاتشون retracted شده(بعد از انتشار، خودشون یا اون مجله مقاله رو پس گرفتند یا رد کرده). این برای بعضی قبل از جایزه نوبل افتاده و برای بعضی هم بعد از جایزه. بیشترشون در ده دوازده سال اخیر اتفاق افتاده.
در بینشون جناب ماکس پلانک هم هست.
در ریاضی یکی از معروف ترین اتفاقات از این دست واسه Daniel Biss بوده، ریاضیدان و سیاست مدار آمریکایی که یکی از مقالاتش رو برای
Annals of Mathematics
فرستاده بود.

https://retractionwatch.com/retractions-by-nobel-prize-winners/

خانم britta späth به یک مساله در نظریه گروه ها به اسم McKay conjecture علاقه مند می شه و این علاقه اون رو به سمت یه ریاضیدان به اسم Marc Cabanes می کشونه(قضیه واسه بیست سال پیش هست). الان به عنوان یه زوج دارند در آلمان زندگی می کنند و....
البته اون حدس رو هم تونستند حل کنند...
https://www.quantamagazine.org/after-20-years-math-couple-solves-major-group-theory-problem-20250219/

این مقاله هم جالب بود(به لحاظ چرند بودن) و کمی بحث برانگیز شد...
ادعاهای زیادی رو مطرح می کنه و ظاهرا برخی محاسباتش حتی غلط هست. مثلا ادعای محاسبه تعداد اعداد اول در یک بازه و تولید اعداد اول با یک فرمول و...
ادعا می کنه ۴۸ تا عدد اول کلیدی وجود داره و یه جدول تناوبی از موقعیت اعداد مرکب می ده.

اگر قبلش از من می پرسیدند می گفتم بهشون این بخش از ریاضی به درد این کارها نمی خوره، دست رو بد حوزه ای گذاشتید.
https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=4742238

عدالت آموزشی یعنی اینکه وقتی می خوای منابع رو برای مرحله دوم المپیاد معرفی کنی، بزنی کتاب های درسی!

دانشگاه Cardiff ظاهرا با مشکل مالی مواجه شده و برای رفع این مشکل می خواد دانشکده ریاضی دانشگاه رو که اتفاقا دانشکده موفقی هم هست، تعطیل کنه(یعنی عذر یه سری استاد رو خواستند)
۳۰۰۰ تا ریاضیدان(از جمله ۱۷ تا برنده فیلدز) و چند تا برنده نوبل نامه زدند، اعتراض کردند به این کار.
Professor Dusa McDuff
Prof. James Maynard
Prof Peter Sarnak
Professor Sir Timothy Gowers
Prof. Terence Tao
بعضی از این اسامی هستند...

https://docs.google.com/document/u/0/d/e/2PACX-1vRD7gtY_80G6xIz3SPUwRNyiDSWkt_UcXDoEnmygM_c_tVsj7ZNIJ3CYM71IyLxOk5JQcQvtLvEhLro/pub?pli=1

قاطی جامعه جهانی بودن یکی از فوایدش همینه.
هر چند بعضی از این ریاضیدان ها، مثل جناب ‌گاورز و... قبلا نشون دادند که غیر از پرداختن به مسائل ریاضی، معمولا تحلیل ها و یا واکنش های قابل قبولی نسبت به مسائل مختلف دارند.

داشتم صفحه یه ریاضیدانی رو می دیدم، در مورد کارکردن با دانشجوی دکتری نوشته بود که به دانشجوهاش چند تا مساله باز در زمینه ای که کار می کنه پیشنهاد می ده(مسائلی که زیر مساله های خوبی هم داره، که اگر اون مساله اصلی حل نشد، حداقل از اون زیر مساله ها چیزی دستشون رو بگیره).
البته واضح و مبرهن هست که حل مساله در سطح بالای ریاضی توانایی بالایی می خواد و فرد هم باید در محیط مناسبی قرار بگیره و ارتباط های خوبی هم داشته باشه.
ولی به هر حال در هر سطحی مسائلی پیدا می شه که بشه روی اون کار کرد و این موضوع خیلی خیلی به استاد راهنما و... بستگی داره.

مساله برای فکر کردن
با اطلاعات در حد همون Calculus قابل حله

در سال ۱۹۳۱ در یه مجله آلمانی مقاله ای منتشر شد که عنوانش(به انگلیسی) می شد:
On Formally Undecidable Propositions of
Principia Mathematica and Related Systems
به نسبت، عنوان جسورانه ای محسوب می شد از یک جوان ۲۵ ساله. عنوان مقاله اشاره می کرد به اثری از دو ریاضیدان برجسته یعنی وایتهد و راسل که کتاب سه جلدی
Principia Mathematica
درباره منطق و مبانی ریاضی نوشته بودند. مقاله نقطه عطفی در تاریخ منطق و ریاضی محسوب می شد و یکی از مهمترین آثار در این زمینه. البته در زمان انتشار مقاله نه عنوانش و نه محتویاتش برای خیلی از ریاضیدان ها جذابیتی نداشت. خود اثر سه جلدی وایتهد و راسل هم تقریبا به بخش زیادی از ریاضیات ارتباطی نداشت و پیش نیاز مطالعه خیلی از شاخه های ریاضی محسوب نمی شد. مقاله هم اونقدر تکنیکی بود که فقط افراد متخصص می تونستند ازش سر در بیارند. مقاله گودل حمله ای بود به یک مساله اساسی در مبانی ریاضیات.
در هندسه از زمان بسیار قدیم با مساله ای مواجه بودند که اصولی رو به عنوان حقایق می پذیرفتند و بعد قضایایی رو از اون اصول نتیجه می گرفتند.(مثل این اصل که از هر دو نقطه یک خط راست می گذره). در واقع با پذیرش چند اصل می شد سیستمی عظیمی رو بنا کرد که قضایای زیادی در اون قابل اثبات بود. سال ها همه این رو پذیرفته بودند که با فرض درست بودن اصول می شه اون قضایا رو اثبات کرد. یعنی اگر چند تا اصل رو به عنوان اصول اولیه بپذیریم، با چاشنی کمی استدلال و منطق می شه درباره هر گزاره ای تصمیم گرفت. گودل با قضایای خودش این باور چند هزار ساله رو به لرزه در آورد، یعنی ثابت کرد که حتی در یه سیستم ساده مثل حساب و بررسی اعداد صحیح، وقتی که axiomatic بشه، به گزاره هایی می رسیم که نه می شه اثباتش کرد و نه ردش کرد. در واقع برخلاف تصوری که سال های قبل برای بعضی از ریاضیدان ها به وجود اومده بود، ریاضیات رو نمی شد به مجموعه ای از axiom ها کاهش داد.

آخرین بخشی که از این کتاب می ذارم:

Pavel Urysohn
که به خاطر لم معروفش در توپولوژی شناخته می شه، اگرچه در سال ۱۹۲۴ و در حادثه شنا درگذشت(در ۲۶ سالگی) ولی مقالاتی که بعدا ازش منتشر شد تاثیر خیلی زیادی بر گسترش توپولوژی گذاشت. در یک مقاله که یک سال بعد از مرگش در سال ۱۹۲۵ منتشر شد، Urysohn سعی کرده بود مساله ای که توسط Frechet مطرح شده بود رو حل کنه. مساله درباره تعیین بزرگترین فضاهایی بود که توابع پیوسته غیر ثابت دارند. Urysohn تونست به صورت جزئی و تا حدی مساله رو حل کنه. چیزی که بعدا به Urysohn's Lemma معروف شد.
If A and B are disjoint closed subsets of a normal Hausdorff space
E, then there exists a continuous real-valued function f on E such
that f(x) = 0 for x in A and f(x) = 1 for x in B.
در اثبات به نوعی از اصل انتخاب استفاده کرده بود(بعدا مدل هایی از ZF ارائه شد که این لم در اون failed می شد)
پ ن: یه چیز جالبی که در کتاب هست، اشاره به خیلی از قضیه های معروف که در دروس مختلف به اون اشاره می شه و سال اثبات اون ها است، که بعضی وقت ها دور از انتظار هست( که دلیلش هم این بوده که به AC وابسته بودند و قبلش، با دقت و سخت گیری کمتری ازش استفاده می کردند) مثلا اون قضیه در جبرخطی که می گه هر فضای برداری یه پایه داره، در ۱۹۳۲ و توسط هاسدورف اثبات شده.