NEW BOT Телеграм, страница

در پُست روز قبل ، مثالی مطرح شد شد که یک ویژگی برای عدد 312 بیان کرد .
اما چند #سوال مطرح میشود‌ که بعنوان تمرین برای تفریح مناسب است :
۱- از کجا مطمئن باشیم روند مذکور ، واقعاً به 312 ختم میشود ؟ (اثبات کنید)
۲- یک رابطه ریاضی (یک نگاشت) برای این سیستم بیابید.
۳- برای رابطه ی ریاضی ، یک قطعه برنامه به زبان برنامه نویسی دلخواه بنویسید.

#پاسخ:
ابتدا نگاشت f را اینگونه تعریف میکنیم :
f: N --> { n | طبیعی و سه رقمی است n }
طوریکه برای هر n طبیعی ، f(n) برابر است با عددی سه رقمی که رقم یکان آن تعداد ارقام فرد n ، رقم دهگان آن تعداد ارقام زوج n و رقم صدگان آن تعدادکل ارقام n باشد.
پاسخ ۱)
واضح است که برای هر عدد طبیعی n ، مقدار آن یک عدد سه رقمی است. پس کافیست مطمئن شویم مقدار f برای اعداد سه رقمی بعد از چند مرحله برابر 312 میشود.
برای هر عدد سه رقمی m ، رقم صدگان f(m) حتماً ۳ است. برای دو رقم بعدی ، باتوجه به تعداد ارقام زوج و فرد m ، چهار حالت وجود دارد :
زوج : 3 تا ، فرد : 0 تا 👈 f(m)=330
زوج : 2 تا ، فرد : 1 تا 👈 f(m)=321
زوج : 1 تا ، فرد : 2 تا 👈 f(m)=312
زوج : 0 تا ، فرد : 3 تا 👈 f(m)=303 .
هنچنین واضح است که :
f(330)=f(303)=f(321)=f(312)=312
در نتیجه در این روند ، هر عدد طبیعی بعد از چند مرحله (حداکثر 3 مرحله) به عدد 312 میرسد.

پاسخ ۲) میتوان تابع را اینگونه تعریف کرد 👇
f(m)=100×g(m)+10×h(m)+k(m) .
برای عدد طبیعی m ، رقم صدگان f(m) اینگونه بدست می آید :
g(m) = [ log(m) ] + 1 .
حال تابعی را در نظر بگیرید که یک عدد دریافت میکند و تعیین میکند فرد است یا نه ، اگر فرد باشد جواب آن 1 و اگر زوج باشد جواب 0 است :
t(x) = x%2 = x - [2x] .
بنابراین میتوان تعداد ارقام فرد اینگونه بدست آورد :
h(m) =
sigma( i=0 to g(m)-1 ; t( [ m/10^i ] ) ).
که منظور از علامت [ ] همان تابع جزء صحیح است .
همچنین رقم یکان f(m) برابر است با :
k(m) = g(m) - h(m) .

پاسخ ۳)
از روابط بدست آمده ی فوق استفاده میکنیم ؛
بعنوان نمونه ما با زبان #جاوا تابع آن را مینویسیم که درک روابط ریاضی فوق را آسانتر میکند :
/////////
public static int f ( int m ) {
int g=0 , h=0 , k=0 ;
g=(int)Math.floor(Math.log10(m)) +1 ;
for ( int i=0 ; i<g ; i++ ) {
int temp=(int)Math.floor(m/Math.pow(10,i));
if( temp%2 == 0 )
h++;
else
k++;
}
return 100*g+10*h+k ;
} //the end
/////////

@Shahed_Math

173 viewsedited 18:43