ریاضیات موسیقی ذهن است و موسیقی ریاضی ذهن!

مدتها همه بر این باور بودند که دایره تنها شکل با پهنای ثابت است اما مهندس و ریاضیدان فرانسوی شکلی کشف کرد که دایره نبود اما پهنای ثابت داشت، این شکل به افتخار او مثلث رولو نامیده شد
@bahonar_math

🔹مساله سوزن کاکیا🔹
کاکیا ریاضی دان ژاپنی در سال 1917 مساله ای را مطرح کرد که بعدها به مساله سوزن کاکیا معروف شد. مساله بدین شکل بود:
(کمترین مساحت شکلی که در آن میتوان سوزنی به طول واحد را به طور پیوسته در صفحه به اندازه 180 درجه چرخاند، طوریکه که به جای اول خود برگردد ولی در جهت عکس، چند است؟ ) برای مثال در دایره ای به قطر 1 اگر وسط سوزن را در مرکز دایره قرار دهیم این کار امکان پذیر است. در نیم دایره ای با شعاع 1 نیز این امر امکان پذیر است !!!!
حدس کاکیا و فوجی وارا این بود که با فرض محدب بودن، کوچکترین مجموعه محدبی که میتوان سوزن را در آن 180 درجه چرخاند مثلث متساوی الاضلاع به ارتفاع 1 است که مساحت آن 1به روی رادیکال 3 است. در سال 1921 جولیوس پال این حدس را اثبات کرد. اگر شرط محدب بودن رابرداریم، مجموعه هایی که مساحت کمتر داشته باشند نیز یافت میشوند مانند deltoid با سه راس که مساحت آن phi/8 است که کمتر از مساحت مثلث متساوی الاضلاع به ارتفاع 1 است.
اما در این میان جواب حیرت انگیزی برای مساله پیدا شد:
بسیکوویچ (Besicovitch) ریاضیدان روسی در حل مسایلی در آنالیز فوریه و آنالیز هارمونیک به ارتباط تناتنگی با مساله سوزن کاکیا پی برد، او نشان داد که مجموعه هایی با مساحت به دلخواه کوچک ( از اندازه 0 ) وجود دارند که سوزن به طول واحد میتواند به صورت پیوسته در آن سرو ته شود.

#دنیای_ریاضی

🍁 @math_cafe 🍁

مساله سوزن کاکیا

🍁 @math_cafe 🍁

یک راه جدید برای بخاطر سپردن!!!!!!!!!!!!!

انیمیشن برفدانه کخ

🍁 @math_cafe 🍁

ریاضیات در دل دانه های برف
برای اولین باردر16ژانویه سال1885 محققی به نام ویلسون بنتلی که روی دانه های برف مطالعه میکرد موفق شدازدانه های برف عکس بگیرد.بنتلی پس از6000مرتبه عکس گرفتن ازدانه های برف به این نتیجه رسیدکه هیچ دونوع کریستال برفی شبیه به هم نیستند.دانه های برف ازکریستال های یخ شش وجهی تشکیل شده اند.معمولا برف درابرهایی که دمای بسیارپایینی دارندشکل میگیرد.شکل کریستال یخ درداخل دانه های برف به درجه ی حرارت ابرواندازه ی آن به رطوبت ابربستگی دارد.هرچه رطوبت ابری که برف ازآن به وجود آمده است بیشتر باشدبلورهای تشکیل شده هزآن نیز بزرگترند.هردانه حاوی تعدادی کریستال یخ است.بین راس وسرکریستال فضاوشکافی ازستونهای مخروطی شکل شش ضلعی وجود داردکه باهواپرشده است.همان طورکه گفتیم شکل دانه های برف به درجه ی حرارت بستگی داردودماهای متفاوت به شکل گیری طرح های گوناگون دانه های برف منجرمیشوند.معمولادردمای صفردرجه ی سانتی گرادبلورهای شش ضلعی یخی شکل میگیرند.2-درجه ی سانتی گرادبلورهای برف کوچکترومسطح پدیدمی آیند.در5-درجه ی سانتی گرادبلورهای یخی چندستونی وسوزنی شکل میشوند.همچنین در 30-درجه ستون های بیشتری ازبلورهای برف به وجودمی آیند.بچه هاازموضوع اصلی زیاددورنشویم.گفتیم که ویلسون پس ازمطالعات بسیاربه این نتیجه رسیدکه هیچ دودانه برفی رانمیتوان پیداکردکه شبیه هم باشند.همچنین اوباآزمایش نقاشی وبالاخره عکاسی ازدانه های برف پی بردکه بلورهای برف به شکل شش ضلعی ودربعضی مواردسه ضلعی هستند.سوال:باریاضیات ثابت کنیدچرانمیتوان دودانه برف را پیداکردکه کاملاشبیه یکدیگرباشند؟
پاسخ:فرض کنیدکه شمامیخواهیددوتوپ قرمزوسبزراکناریکدیگرقراردهیداگرازشما سوال کنندکه به چندطریق میتوانید این کارراانجام دهیدپاسخ این است که به دوطریق میتوانید این کارراانجام دهید.
ودرکل اگربخواهیم nتوپ به رنگ های گوناگون راکنار هم قراردهیم برای این کارتعدادکل حالت هامیشود:1×2×3×.....×(3-n)×....×(n.

خب حالابعدازاین توضیح درباره ی چینش توپ ها درکناریکدیگربرمیگردیم به سوال:باریاضیات ثابت کنید که چرانمیتوان دودانه برف راپیداکردکه کاملا شبیه یکدیگرباشند؟درشکل گیری بلوربرف بیشتراز100عامل تاثیر گذار دخیل هستند.یعنی اینکه برای تشکیل یک بلوربرفک1×2×3×.......96×97×..×...×100.

روش متفاوت وجود دارد.حاصلضرب این اعدادبرابراست با:ده به توان صدوپنجاه وهشت.
این تعداد حالت ها تقریبادوبرابر تعداداتم های موجوددرجهان هستی هست!!!!!...
بنابراین بدیهی هست که بااین احتمال بعیداست مابتوانیم دودانه برف پیداکنیم که کاملا شبیه یکدیگرباشند.!!!!....
@bahonar_math