سلام بنا به اولویت ابتدا از نظریه آشوب مطلب خواهم گذاشت.

Chaos theory

از نظر پوانکاره اگرچه هر نظریه علمی زبان یا نحو خاص خود را دارد که بر اساس قرارداد انتخاب می شود، اما اینکه آیا پیش بینی های علمی با واقعیت ها مطابقت دارند یا خیر، موضوع قراردادی نیست. به عنوان مثال، این یک موضوع قراردادی است که آیا گرانش را پیروی از نظریه گرانش نیوتن تعریف کنیم، اما اینکه گرانش نیرویی است که بر اجرام سماوی اثر می کند یا تنها نیرویی است که این کار را انجام می دهد، یک موضوع قراردادی نیست. بنابراین پوانکاره معتقد بود که قوانین علمی قراردادها هستند اما قراردادهای دلخواه نیستند.

پوانکاره دیدگاه مخصوصاً جالبی در مورد استقراء علمی داشت. او گفت که قوانین تعمیم مستقیم تجربه نیستند. آنها خلاصه ای از نقاط روی نمودار نیستند. در عوض، دانشمند قانون را منحنی درون یابی شده ای اعلام می کند که کم و بیش صاف است و بنابراین برخی از آن نکات را از دست می دهد. بنابراین یک نظریه علمی مستقیماً با داده های تجربه قابل ابطال نیست. در عوض، فرآیند جعل بیشتر غیر مستقیم است.

انتگرال گیری در نود و نه درصد موارد تقریبی هست.
پوانکاره در تحقیق خود در مورد (بدیهیات) پیانو از حساب این نکته را بیان کرد. ریاضی دان ایتالیایی جوزپه پیانو (1858-1932) نظریه ریاضی اعداد طبیعی را بدیهی دانست. این محاسبات اعداد صحیح غیرمنفی است. جدا از برخی اصول کاملا منطقی، پیانو از پنج اصل ریاضی استفاده کرد. به طور غیررسمی، این بدیهیات عبارتند از:

صفر یک عدد طبیعی است.
صفر جانشین هیچ عدد طبیعی نیست.
هر عدد طبیعی یک جانشین دارد که یک عدد طبیعی است.
اگر جانشین عدد طبیعی a برابر با جانشین عدد طبیعی b باشد، a و b برابر هستند.
فرض کنید:
صفر دارای خاصیت P است.
پس اگر هر عدد طبیعی کمتر از a دارای خاصیت P باشد ، a نیز دارای خاصیت P است.
سپس هر عدد طبیعی دارای خاصیت P است. (این اصل استقراء کامل است.)
برتراند راسل گفت بدیهیات پیانو یک تعریف ضمنی از اعداد طبیعی را تشکیل می دهند، اما پوانکاره گفت که آنها تنها در صورتی انجام می دهند که بتوان ثابت کرد که آنها ثابت هستند. آنها را می توان تنها با نشان دادن وجود شیئی که این بدیهیات را برآورده می کند سازگار نشان داد. از دیدگاه کلی، یک سیستم بدیهیات را تنها در صورتی می توان به عنوان یک تعریف ضمنی در نظر گرفت که امکان اثبات وجود حداقل یک شی که همه بدیهیات را برآورده می کند وجود داشته باشد. اثبات این امر کار آسانی نیست، زیرا تعداد پیامدهای بدیهیات Peano بی نهایت است و بنابراین بازرسی مستقیم هر پیامد ممکن نیست. تنها یک راه کافی به نظر می رسد: ما باید تأیید کنیم که اگر مقدمات یک استنتاج در سیستم با بدیهیات منطق سازگار باشد، نتیجه گیری نیز چنین است. بنابراین، اگر بعد از nاستنتاج هیچ تناقضی تولید نمی شود، سپس پس از n +1 استنتاج هیچ تناقضی نیز وجود نخواهد داشت. پوانکاره استدلال می کند که این استدلال یک دور باطل است، زیرا متکی بر اصل استقراء کامل است که باید سازگاری آن را ثابت کنیم. (در سال 1936، گرهارد گنتزن سازگاری بدیهیات پیانو را ثابت کرد، اما اثبات او مستلزم استفاده از شکل محدودی از استقرای متقاطع بود که سازگاری خود مورد تردید است.) در نتیجه، پوانکاره ادعا می کند که اگر نتوانیم سازگاری را به صورت غیر دایره ای تعیین کنیم. از بدیهیات Peano، پس اصل استقرای کامل مطمئناً با قوانین منطقی کلی قابل اثبات نیست. بنابراین تحلیلی نیست، بلکه حکمی ترکیبی است و منطق گرایی رد می شود. بدیهی است که پوانکاره از دیدگاه معرفت شناختی کانت در مورد حساب حمایت می کند. از نظر پوانکاره، اصل استقراء کامل، که از طریق استنتاج های تحلیلی قابل اثبات نیست، یک قضاوت پیشینی مصنوعی اصیل است. از این رو نمی توان حساب را به منطق تقلیل داد. دومی تحلیلی است،

اگر ماهیت استدلال ریاضی را در نظر بگیریم، ویژگی ترکیبی حساب نیز مشهود است. پوانکاره تمایز بین دو نوع مختلف استنتاج ریاضی را پیشنهاد می کند: تأیید و اثبات . راستی‌آزمایی یا بررسی اثبات نوعی استدلال مکانیکی است، در حالی که اثبات ایجاد یک استنتاج بارور است. به عنوان مثال، عبارت «2+2 = 4» قابل تأیید است، زیرا می توان صدق آن را با کمک قوانین منطقی و تعریف مجموع نشان داد.

رابرت می یکی از بزرگترین دانشمندان استرالیایی قرن گذشته بود.

او تقریباً هر افتخاری را که مؤسسه بریتانیا می‌توانست ارائه دهد، دریافت کرد: کرسی استادی در آکسفورد، ریاست انجمن سلطنتی لندن، نشان شوالیه، کرسی در مجلس اعیان، نقش مشاور علمی ارشد دولت بریتانیا، و عضویت. از نشان شایستگی، هدیه شخصی ملکه تنها به 24 عضو زنده محدود می شود.

با این وجود، او یک استرالیایی بی‌نظیر باقی ماند، با لهجه استرالیایی قوی و رگه‌های لاریکین - او ادعا کرد که اولین فردی در تاریخ 350 ساله انجمن سلطنتی است که در دقایق آن یک سوگند یاد می‌کند.

می در سال 1936 در سیدنی متولد شد و در ابتدا به عنوان فیزیکدان آموزش دید و در سال 1969 استاد فیزیک نظری در دانشگاه سیدنی شد. اما در سال 1973 قاره‌ها و رشته‌ها را تغییر داد و استاد جانورشناسی در دانشگاه پرینستون شد و سپس به آکسفورد نقل مکان کرد. در سال 1988 او بینش های ریاضی یک فیزیکدان را به حوزه عمدتاً توصیفی آن زمان بوم شناسی آورد و آن را به یک علم نظری با پایه ریاضی محکم تبدیل کرد. با این وجود، او پیچیدگی اکولوژی را در مقایسه با فیزیک تشخیص داد. به یاد می آورم که او می گفت: "اکولوژی علم موشک نیست - خیلی سخت تر از این است".

میراث او در بحران کنونی اهمیت ویژه ای دارد. عدد پایه تولید مثل یک بیماری، R0 ، یک مفهوم آماری است که در بسیاری از بحث‌ها در مورد نحوه مدیریت همه‌گیری کروناویروس نفوذ می‌کند. اگر بتوانیم آن را به زیر یک کاهش دهیم و در آنجا حفظ کنیم ، می توانیم بیماری را از بین ببریم.

می با همکار طولانی مدت خود، پروفسور روی اندرسون از امپریال کالج، بیش از 40 سال پیش این مفهوم را به مدیریت بیماری های عفونی آورد . این تقطیر یک فرآیند پیچیده اکولوژیکی به یک مفهوم ساده ریاضی، نمونه ای از بینش علمی او بود.

می کمک های عمده دیگری به اکولوژی داشت. یکی از اولین بینش های او ، که امروزه بسیار مهم است، این است که اکوسیستم های پیچیده لزوماً انعطاف پذیرتر از اکوسیستم های ساده نیستند.

بوم‌شناسان تصور می‌کردند که اکوسیستم‌های متنوع و پیچیده مانند صخره‌های مرجانی و جنگل‌های بارانی استوایی بهتر می‌توانند در برابر اختلال مقاومت کنند. اما مدل های ریاضی می نشان داد که اینطور نیست. همانطور که وارد دوران تاثیر بی‌سابقه انسان بر جهان طبیعی می‌شویم، بهتر است این بینش کلیدی را به خاطر بسپاریم.

می همچنین یکی از رهبران در توسعه نظریه آشوب بود و نشان داد که سیستم های زیست محیطی ساده می توانند رفتارهای پیچیده و غیرقابل پیش بینی فوق العاده ای از خود نشان دهند.

اخیراً، او دیدگاه بوم‌شناس خود را با تحلیل رفتار بازارهای مالی در مورد نوع دیگری از سیستم‌های پیچیده و پویا آورده است.

اگرچه او به هیچ وجه بوم شناس میدانی نبود، اما اشتیاق دیرینه ای به طبیعت داشت. او تا چند سال آخر عمرش، سفرهای پیاده‌روی سالانه به کوه‌های آلپ اروپا را با همکاران بوم‌شناسش ترتیب می‌داد. تناسب اندام و خوش اخلاق، و البته فردی رقابت طلب. او مردی سر سخت بود که می توانست تا بالای یک کوه بدون شکست خوردن برود.
در مقایسه با موفقیت عظیم او در بریتانیا، می در زادگاهش استرالیا ناشناخته باقی مانده است.
از آنجایی که جهان دو سال با همه‌گیری ویروس کرونا دست و پنجه نرم می‌کرد، با استفاده از روش‌های مدل‌سازی که او در توسعه آن نقش داشته است، باید از کمک‌های او در سطح جهانی به علم یاد کرده و قدردانی کنیم.
او از بنیان گذاران ریاضیات آشوب هست

معادله لاجستیک رابرت می که نشان می دهد با افزایش ضریب کنترل غیر خطی r یک معادله مشخص و قابل محاسبه چگونه در r های بزرگ رفتار هرج و مرج طلبی دارد.

از لحاظ تاریخی سه فرد در ایجاد تئوری آشوب نقش داشته اند.
هانری پوانکاره
ادوارد لورنتس
رابرت می
حالا به معرفی این ابزار ریاضی جدید می‌پردازیم.

نظریه آشوب چیست؟
آشوب علم غافلگیری، غیرخطی و غیر قابل پیش بینی است. به ما می آموزد که انتظار چیزهای غیرمنتظره را داشته باشیم. در حالی که بیشتر علوم سنتی با پدیده‌های ظاهراً قابل پیش‌بینی مانند گرانش، الکتریسیته یا واکنش‌های شیمیایی سروکار دارند، نظریه آشوب با چیزهای غیرخطی سروکار دارد که پیش‌بینی یا کنترل آن‌ها عملاً غیرممکن است، مانند تلاطم، آب و هوا، بازار سهام، حالات مغز ما و غیره. این پدیده ها اغلب توسط ریاضیات فراکتال توصیف می شوند، که پیچیدگی بی نهایت طبیعت را به تصویر می کشد. بسیاری از اشیاء طبیعی ویژگی‌های فراکتالی از خود نشان می‌دهند، از جمله مناظر، ابرها، درختان، اندام‌ها، رودخانه‌ها و غیره، و بسیاری از سیستم‌هایی که در آن زندگی می‌کنیم رفتار پیچیده و آشفته‌ای از خود نشان می‌دهند. شناخت ماهیت پر هرج و مرج و فراکتال دنیای ما می تواند بینش، قدرت و خرد جدیدی به ما بدهد. به عنوان مثال، با درک پیچیده، دینامیک آشفته جو، خلبان بالون می تواند یک بالون را به مکان مورد نظر هدایت کند. با درک این موضوع که اکوسیستم‌ها، سیستم‌های اجتماعی و سیستم‌های اقتصادی ما به هم مرتبط هستند، می‌توان امیدوار بود از اقداماتی که ممکن است برای رفاه بلندمدت ما مضر باشد اجتناب کنیم.

ویژگی های نظریه هرج و مرج
اثر پروانه ای: این اثر به پروانه ای که در نیومکزیکو بال می زند قدرت ایجاد طوفان در چین را می دهد. ممکن است زمان زیادی طول بکشد، اما ارتباط واقعی است. اگر پروانه بال های خود را در نقطه مناسب در فضا/زمان تکان نمی داد، طوفان رخ نمی داد. یک راه دقیق تر برای بیان این موضوع این است که تغییرات کوچک در شرایط اولیه منجر به تغییرات شدید در نتایج می شود. زندگی ما نمایشی مداوم از این اصل است. چه کسی می‌داند که آموزش میلیون‌ها کودک در مورد آشوب و فراکتال چه تاثیری در دراز مدت خواهد داشت؟
پیش بینی ناپذیری: از آنجا که ما هرگز نمی توانیم تمام شرایط اولیه یک سیستم پیچیده را با جزئیات کافی (یعنی کامل) بدانیم، نمی توانیم به پیش بینی سرنوشت نهایی یک سیستم پیچیده امیدوار باشیم. حتی اشتباهات جزئی در اندازه گیری وضعیت یک سیستم به طور چشمگیری تقویت می شود و هر گونه پیش بینی را بی فایده می کند. از آنجایی که اندازه گیری اثرات همه پروانه ها (و غیره) در جهان غیرممکن است، پیش بینی دقیق آب و هوای دوربرد همیشه غیرممکن خواهد بود.
نظم / بی نظمی آشوب صرفاً بی نظمی نیست. آشوب انتقال بین نظم و بی نظمی را بررسی می کند که اغلب به روش های شگفت انگیزی رخ می دهد.
اختلاط: آشفتگی تضمین می کند که دو نقطه مجاور در یک سیستم پیچیده در نهایت پس از گذشت مدتی در موقعیت های بسیار متفاوتی قرار می گیرند. مثال‌ها: دو مولکول آب همسایه ممکن است در قسمت‌های مختلف اقیانوس یا حتی در اقیانوس‌های مختلف قرار گیرند. گروهی از بالن‌های هلیومی که با هم پرتاب می‌شوند، در نهایت در مکان‌های کاملاً متفاوتی فرود می‌آیند. اختلاط کامل است زیرا تلاطم در همه مقیاس ها رخ می دهد. همچنین غیرخطی است: سیالات را نمی توان مخلوط نکرد.
بازخورد: هنگامی که بازخورد وجود دارد، سیستم ها اغلب آشفته می شوند. یک مثال خوب رفتار بازار سهام است. با افزایش یا کاهش ارزش سهام، مردم تمایل به خرید یا فروش آن سهام دارند. این به نوبه خود بر قیمت سهام تأثیر می گذارد و باعث افزایش یا کاهش بی نظم آن می شود.
فراکتال : فراکتال یک الگوی بی پایان است. فراکتال ها الگوهای بی نهایت پیچیده ای هستند که در مقیاس های مختلف خود مشابه هستند. آنها با تکرار یک فرآیند ساده بارها و بارها در یک حلقه بازخورد مداوم ایجاد می شوند. فرکتال‌ها با بازگشت به عقب، تصاویری از سیستم‌های پویا هستند - تصاویر آشوب. از نظر هندسی، آنها در بین ابعاد آشنای ما وجود دارند. الگوهای فراکتال بسیار آشنا هستند، زیرا طبیعت پر از فراکتال است. به عنوان مثال: درختان، رودخانه ها، خطوط ساحلی، کوه ها، ابرها، صدف ها، طوفان ها و غیره.

اهمیت شرایط اولیه اگر حتی اختلاف در حد یک در میلیون باشد نتیجه کاملاً متفاوت است

اکنون از این ابزار ریاضی جدید در فیزیک ماده چگال، فیزیک اتمی مولکولی، درک دینامیک غیر قابل پیش بینی ذرات بنیادی و گرانش نسبیتی استفاده می شود.
همچنین در پزشکی و هواشناسی.

شاید یافت اون کمی سخت باشه ولی این سیستم دارای یک نظم پنهان هست.
و اینجا اعداد موهومی اهمیت پیدا می کنند.
چرا که این اعداد ساختار را کنترل می کنند.

هم بی نظمی هم فراکتال

Monster group.
هیولای فیشر گریس.