جسمی کروی توپر یک کیلو گرمی با چگالی چهار گرم بر میلی لیتر درون آب می افتد. اگر نیروی مقاومت شاره با سرعت آن متناسب باشد و ضریب تناسب نیز یک باشد؛ تندی حدی را حساب کنید.( چگالی آب را 1000 کیلوگرم بر متر مکعب در نظر بگیرید و شتاب گرانش هم 10 متر بر مجذور ثانیه).

درون آسانسور هستم و با شتاب ثابتی به سمت بالا شروع به حرکت می کنیم.
الف) نیرو های وارده به فرد داخل آسانسور و کل مجموعه را رسم کنید.
ب)وزن ظاهری فرد را حساب کنید.
پ) الف را برای وقتی که کابل پاره میشود رسم کنید.
د) اگر طناب پاره شود شخص چه احساسی پیدا میکند؟ آیا نیرویی به شخص وارد می شود؟ چرا فرد آن نیرو را احساس نمی کند؟

فرض کنید که رباتی از جنس فولاد داخل آسانسوری فولادی درون فضا هست. این آسانسور با نیروی مغناطیسی کار می کند و ربات را در طول سفینه جابجا می کند.
اگر آسانسور شروع به کار کند آیا ربات باز هم مانند حالت قبل( درون میدان گرانشی زمین) احساس رهایی میکند؟

حرکت در امتداد ژئودزیک در فضازمان، ساکن در نظر گرفته شده‌است.
انیشتین پیشنهاد کرد که فضازمان توسط ماده، منحنی دار می‌شود و اجرامِ آزادِ( فقط گرانش هست) در حال سقوط، و در حال حرکت، در امتداد مسیرهای محلی مستقیم در فضازمان، خمیده هستند. این مسیرهای مستقیم به نام ژئودزیک خوانده می‌شوند. مانند قانون اول حرکت نیوتن، تئوری انیشتین می‌گوید که اگر یک نیرویی بر جسم اعمال می‌شود، ممکن است آن را از ژئودزیک منحرف کند.
مثلا وقتی می ایستیم، از ژئودزیکی پیروی نخواهیم کرد، زیرا که مقاومتِ طبیعی زمین، یک نیروی رو به بالا بر ما اعمال می‌کند و در نتیجه، ما بر روی زمین غیرساکن هستیم. این توجیه می کند که چرا حرکت در امتداد ژئودزیک در فضازمان، ساکن در نظر گرفته شده‌است.

فرض کنید زمین به دور خورشید با سرعت تقریبی 30 کیلومتر بر ثانیه در شعاع یک واحد نجومی در حال گردش است.
الف) اندازه شتاب زمین چقدر است؟
ب) آیا این مقدار شتاب تاثیری بر روی ساکنین آن( من و شما نوعی) می گذارد؟
پ) آیا قسمت الف را درست حساب کردید؟

کمی به عقب بر می گردیم. در مکانیک نیوتونی گفته شد اگر بر جسمی نیروی خالصی وارد نشود ( یا اصلا نیرویی وارد نشود) جسم در امتداد خط راست ممکن است حرکت کند یا نکند.( فیزیک جسم ساکن با حرکت سرعت ثابت عینا یکی است)
برای مثالی که درباره آسانسور زدیم اگر از دیدگاه نیوتونی به قضیه نگاه کنیم چون شخص داخل آسانسور محتمل نیرویی از سمت زمین است، پس باید فیزیک مطالعه آن با جسم ساکن متفاوت باشد. البته اگر از بیرون آسانسور به قضیه نگاه کنیم😁
چرا که در داخل آسانسور شخص روحش هم خبر ندارد که دارد با سرعت فزاینده ای به سمت پایین می رود. این یعنی اینکه نتیجه دو ناظر متفاوت با هم فرق می کند. یک ایراد بزرگ.

یک ژئودزیک تعمیمی از مفهوم خط مستقیم به روی خمینه‌ها است.

انیشتین در نسبیت عام خود قوانین نیرو را به شکل نوین بازگو می کند.
(اگر به جسمی نیرویی وارد نشود جسم بر روی یک ژئودزیک خاص حرکت خواهد کرد). سریعا از این تعریف نتیجه می شود که اگر جسم در هیچ میدانی نباشد مسیرش یک خط راست خواهد بود. اما در میدان گرانشی با اینکه مسیر یک خط راست نیست، اما یک منحنی است( ژئودزیک است). یعنی حرکت جسم در حضور گرانش با حرکت بدون آن فیزیک یکسانی دارد.( انگار که جسم ساکن است).
در نسبیت عام گرانش را نه به عنوان یک نیرو بلکه به عنوان یک نتیجه از هندسه خمیده فضازمان است. بنابراین مسیر سیاره‌ای که به دور یک ستاره می چرخد تصویری از یک ژئودزیک فضازمان چهار بعدی به دور ستاره در یک فضای سه بعدی است.

فصنامه گاما
پاییز 1383

مسئله منتخب این هفته
#هر_شنبه_یک_سوال.

2+2=5 ?!

خلاصه اینکه آسانسور در شکل گیری تئوری نسبیت نقش خیلی مهمی داشت و انیشتین هم دقیقا منشأ اولین اندیشه هایش در آسانسور محل کارش بود.
پیشنهاد می شود هروقت که از آسانسور استفاده می کنید یک فاتحه ای برای انیشتین و مخترع آسانسور بفرستید.

سوال ۳
قابلیت استفاده برای کنکور : ندارد
مبحث : نوسان (حرکت دو بعدی )
ریاضیات لازم : معادلات دیفرانسیل(اگر بخش اول جواب مثبت داشته باشد)
سطح سوال : دشوار
تا جمعه زمان دارید تا فکر کنید.

توضیح :

شاید تعجب کنید اگر بدانید که در گذشته های دور اقوامی بودند که برای آنها 2+2 برابر با 5 بود. زیرا آن ها برای جمع کردن اعداد با یکدیگر این اعداد را به صورت گره هایی بر روی طناب نشان می دادند و سپس طناب ها را به هم گره می زدند. در واقع ریاضیات با روشهایی که از درون جامعه بوجود می آید، شکل می گیرد و متأثر از شرایط فیزیکی، زیستی و فرهنگی حاکم بر آن جامعه است.
ریاضیات انسان گرایانه، تلاش می کند تا قوانین ساختاری خود را منطبق بر شرایط فیزیکی، زیستی و فرهنگی موجود قرار دهد. در ریاضیات انسان گرایانه، در الگوی ساختاری جمع اعداد، همیشه 2+2 برابر با 4 نیست. گاهی اوقات، این الگوی ساختاری ممکن است وقتی که یک فنجان شیر را به یک فنجان ذرت بو داده اضافه می کنیم، به کار رود که در این صورت، طبق شرایط، دیگر 1+1 برابر با 2 نیست. چرا که ذرت ها، شیر را در خود جذب می کنند و حاصل نه دو لیوان بلکه کمتر از دو لیوان است. این الگو ممکن است در زیست شناسی به کار برده شود، در آن جا شاید 2+2 بیشتر شبیه 6 باشد تا 4. همچنین با محاسبات معمولی نمی توان قیمت یک تریلیون بشکه نفت را با دانستن قیمت یک بیلیون بشکه نفت حساب کرد چرا که الگوی جمع در اینجا در مورد ذخیره ای بکار می رود که در حال کاهش است و قیمت ها متناسب با تقاضا بالا می رود و ثابت نمی ماند.
دیدگاه انسان گرایی در فلسفه ریاضیات تلاش می کند تا با قراردادن ریاضیات به عنوان یک محصول فرهنگی که حاصل تعاملات زندگی بشر از گذشته تا حال بوده است ریاضیات جهانی را همچون یک زبان جهانی مثل زبان انگلیسی، جلوه دهد که در یک توافق سطح بالای اجتماعی در میان انسان ها صورت گرفته و توانسته است نقش خود را در پیشرفت جامعه بشری به خوبی ایفا کند ولی این نقش در جامعه ما زمانی آشکارتر می شود که بتوانیم ریاضیاتی متناسب با نیازهای جامعه خود داشته باشیم، ریاضیاتی که بتوان آن را همچون گویش های محلی در برابر زبان جهانی توصیف کرد.

"مکتب انسان گرایی در ریاضیات"

روبن هرش ( متولد 1927) ریاضیدان و فیلسوف امریکایی است که در ده 1980 مکتب انسانگرایی را در فلسفه ریاضیات مطرح کرد. انسان گرایی ریاضیات را یک پدیده اجتماعی - تاریخی - فرهنگی می‌داند که براساس احتیاجات علوم و زندگی شکل می‌گیرد، اشیاء ریاضی را شبیه پول، کارت دعوت و ... موجودی در شعور جمعی و احکام ریاضی را شبیه قانون، مذهب و ... مؤلفه ای از آگاهی اجتماعی ما تلقی می‌نماید و معتقد است که بدون انسان‌ها ،ریاضیاتی وجود ندارد. داستان واقعی و جذاب زیر از نظر فلسفه آموزش ریاضی حاوی نکات بدیع و ارزشمندی در راستای دیدگاه لاکاتوش و لودیگ ویتگنشتاین دارد. این دو فیلسوف، با تصور صورت گرایانه از ریاضیات مخالف اند. اولی به ساز و کار کشف در ریاضیات و نقشی که نوعی " ابطال " در پیشرفت ریاضیات دارد توجه دارد، و از این نظر ریاضیات غیرصوری را شبیه علوم تجربی می‌داند. دومی نیز، به خصوص در فلسفه اخیر خود، ریاضیات را نوعی " بازی زبانی " و بنابراین مرتبط با زندگی اجتماعی انسان می‌شمرد.
از نظر هرش، هستی و وجود اشیاء ریاضی نه از ماهیت بیرونی همچون صخره یا روح برخوردار است و نه از ماهیت درونی مثل اندیشه های ذهنی. در واقع هرش با رد این دو ماهیت که بحث های متداول در هستی شناسی ریاضی را به خود اختصاص داده اند، نوع سومی را بر می گزیند که بیشتر مورد بحث علومی چون انسان شناسی و جامعه شناسی اند. او می گوید ما بر اساس یک تربیت یا عادت، جهان را متشکل از ماده و ذهن می انگاریم. اما این رده ها ناکافی اند، دقیقاً چنان که چهار عنصر ( یونان باستان) یعنی خاک، آب، آتش و هوا برای فیزیک جدید ناکافی است. ما نباید از سروته ریاضیات خود بزنیم تا متناسب با فلسفه ی حقیر ما شود، بلکه باید فلسفه ی خود را وسعت دهیم تا تجارب ریاضی گسترده ما را در بر گیرد. هرش معتقد است که اشیاء ریاضی، موجوداتی اجتماعی اند و هستی و وجود آن ها به عنوان یک پدیده ی اجتماعی از این نوع سوم است.