#геом_разминка #medium #9
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — треугольник с центром вписанной окружности 𝐼. Вписанная окружность треугольника 𝐴𝐵𝐶 касается сторон 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵 в точках 𝐸 и 𝐹 соответственно. Пусть ℓ𝑏 и ℓ𝑐 — касательные к описанной окружности треугольника 𝐵𝐼𝐶 в точках 𝐵 и 𝐶 соответственно. Докажите, что существует окружность, касающаяся 𝐸𝐹, ℓ𝑏 и ℓ𝑐 с центром на прямой 𝐵𝐶.
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — треугольник с центром вписанной окружности 𝐼. Вписанная окружность треугольника 𝐴𝐵𝐶 касается сторон 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵 в точках 𝐸 и 𝐹 соответственно. Пусть ℓ𝑏 и ℓ𝑐 — касательные к описанной окружности треугольника 𝐵𝐼𝐶 в точках 𝐵 и 𝐶 соответственно. Докажите, что существует окружность, касающаяся 𝐸𝐹, ℓ𝑏 и ℓ𝑐 с центром на прямой 𝐵𝐶.
❤🔥5❤5👍3🔥2
#геом_разминка #hard #10
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 с ортоцентром 𝐻 и описанной окружностью Γ биссектриса угла 𝐵𝐴𝐶 пересекает 𝐵𝐶 в точке 𝐾. Точка 𝑄 лежит на Γ так, что 𝐴𝑄 ⊥ 𝑄𝐾. Описанная окружность треугольника 𝐴𝑄𝐻 пересекает 𝐴𝐶 в точке 𝑌, а 𝐴𝐵 — в точке 𝑍. Пусть 𝐵𝑌 и 𝐶𝑍 пересекаются в точке 𝑇. Докажите, что 𝑇𝐻 ⊥ 𝐾𝐴.
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 с ортоцентром 𝐻 и описанной окружностью Γ биссектриса угла 𝐵𝐴𝐶 пересекает 𝐵𝐶 в точке 𝐾. Точка 𝑄 лежит на Γ так, что 𝐴𝑄 ⊥ 𝑄𝐾. Описанная окружность треугольника 𝐴𝑄𝐻 пересекает 𝐴𝐶 в точке 𝑌, а 𝐴𝐵 — в точке 𝑍. Пусть 𝐵𝑌 и 𝐶𝑍 пересекаются в точке 𝑇. Докажите, что 𝑇𝐻 ⊥ 𝐾𝐴.
❤5👍2🔥2
#геом_разминка #medium #9
Задача. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶, инцентр — 𝐼, а описанная окружность обозначена через 𝜔. Прямая 𝐴𝐼 пересекает сторону 𝐵𝐶 в точке 𝐷. Пусть 𝑇 — точка на 𝜔, такая, что 𝐴𝑇 ‖ 𝐵𝐶. Прямая 𝑇𝐼 снова пересекает 𝜔 в точке 𝑃, а описанную окружность треугольника 𝐴𝑃𝐷 — в точке 𝑄. Докажите, что 𝐴𝐼 = 𝐷𝑄.
Задача. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶, инцентр — 𝐼, а описанная окружность обозначена через 𝜔. Прямая 𝐴𝐼 пересекает сторону 𝐵𝐶 в точке 𝐷. Пусть 𝑇 — точка на 𝜔, такая, что 𝐴𝑇 ‖ 𝐵𝐶. Прямая 𝑇𝐼 снова пересекает 𝜔 в точке 𝑃, а описанную окружность треугольника 𝐴𝑃𝐷 — в точке 𝑄. Докажите, что 𝐴𝐼 = 𝐷𝑄.
❤7🔥2🥰2👍1
#геом_разминка #medium #9
Задача. Дан равнобедренный треугольник 𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐵 = 𝐵𝐶) и его описанная окружность Ω. На той дуге 𝐴𝐶 окружности Ω, что не содержит точки 𝐵 взята произвольная точка 𝐷. Окружность 𝜔 касается окружности Ω в точке 𝐷 и отрезка 𝐴𝐶. Пусть 𝑂 — центр 𝜔. Докажите, что 360° > ∠𝐴𝐵𝐶 + 2∠𝐴𝑂𝐶.
Задача. Дан равнобедренный треугольник 𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐵 = 𝐵𝐶) и его описанная окружность Ω. На той дуге 𝐴𝐶 окружности Ω, что не содержит точки 𝐵 взята произвольная точка 𝐷. Окружность 𝜔 касается окружности Ω в точке 𝐷 и отрезка 𝐴𝐶. Пусть 𝑂 — центр 𝜔. Докажите, что 360° > ∠𝐴𝐵𝐶 + 2∠𝐴𝑂𝐶.
❤🔥10❤5🔥2👌1
#на_ночь_глядя
Сегодня прошла математическая регата 11 классов⛵️
В первом туре участникам была предложена интересная задачка авторства Катрионы Агг (в девичестве Ширер) — учителя 👩🏫 математики из Эссекса. О ней мы уже рассказывали вам выше.
Задача. Пять квадратов расположены так, как показано на рисунке. Площади четырёх из них даны. Найдите площадь пятого, самого большого.
Публикуем также подборку задачек от Катрионы, качество получше сможете найти в комментариях к посту 👇
Сегодня прошла математическая регата 11 классов
В первом туре участникам была предложена интересная задачка авторства Катрионы Агг (в девичестве Ширер) — учителя 👩🏫 математики из Эссекса. О ней мы уже рассказывали вам выше.
Задача. Пять квадратов расположены так, как показано на рисунке. Площади четырёх из них даны. Найдите площадь пятого, самого большого.
Публикуем также подборку задачек от Катрионы, качество получше сможете найти в комментариях к посту 👇
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤5🔥5❤🔥3💘1
#геом_разминка #medium #8
Еще одна забавная задачка со вчерашней регаты 🌊⛵️
Задача. Точка, лежащая внутри равнобедренной трапеции, отношение оснований которой меньше чем 2:1, соединена отрезками со всеми вершинами. Докажите, что из этих четырех отрезков можно сложить границу четырёхугольника, вписанного в эту трапецию (на каждой стороне трапеции лежит по одной вершине четырехугольника).
Еще одна забавная задачка со вчерашней регаты 🌊⛵️
Задача. Точка, лежащая внутри равнобедренной трапеции, отношение оснований которой меньше чем 2:1, соединена отрезками со всеми вершинами. Докажите, что из этих четырех отрезков можно сложить границу четырёхугольника, вписанного в эту трапецию (на каждой стороне трапеции лежит по одной вершине четырехугольника).
🔥11❤6❤🔥2👏1
#на_ночь_глядя
Если записать сегодняшнюю дату на американский манер, как 11.23 📅, то можно разглядеть 👀, что она составлена из четырех первых членов последовательности Фибоначчи (1, 1, 2, 3, ...). Поэтому именно сегодня отмечают день Фибоначчи, с которым мы вас и поздравляем! 🥳 В качестве подарка 🎁 мы приготовили для вас задачку:
Задача. Найдите все натуральные числа 𝑥, для которых существует целое число 𝑦 такое, что 𝑥² + 𝑦² + 𝑥 делится на 𝑥𝑦.
Причем здесь Фибоначчи? Пишите ваши версии в комментах👇
Если записать сегодняшнюю дату на американский манер, как 11.23 📅, то можно разглядеть 👀, что она составлена из четырех первых членов последовательности Фибоначчи (1, 1, 2, 3, ...). Поэтому именно сегодня отмечают день Фибоначчи, с которым мы вас и поздравляем! 🥳 В качестве подарка 🎁 мы приготовили для вас задачку:
Задача. Найдите все натуральные числа 𝑥, для которых существует целое число 𝑦 такое, что 𝑥² + 𝑦² + 𝑥 делится на 𝑥𝑦.
Причем здесь Фибоначчи? Пишите ваши версии в комментах👇
❤🔥16❤13🥰4🔥2😍1
#геом_разминка #easy #8
Продолжаем радовать вас задачами субботней регаты. Всем хорошего начала рабочей недели 😊
Задача. Два равных правильных шестиугольника со стороной 10 имеют общий центр. Докажите, что площадь их общей части не меньше, чем 225.
Продолжаем радовать вас задачами субботней регаты. Всем хорошего начала рабочей недели 😊
Задача. Два равных правильных шестиугольника со стороной 10 имеют общий центр. Докажите, что площадь их общей части не меньше, чем 225.
❤🔥12❤5🔥5👍1🕊1
#геом_разминка #medium #9
Задача. Во вписанном четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 прямые 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝐸. Точка 𝑃 лежит внутри 𝐴𝐵𝐶𝐷 и удовлетворяет соотношениям ∠𝐵𝐴𝑃 = ∠𝑃𝐶𝐵 и ∠𝐶𝐵𝑃 = ∠𝑃𝐷𝐶. Докажите, что 𝑃𝐸 ⊥ 𝐵𝐶.
Удачи участникам колма на турнире 🍀
Задача. Во вписанном четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 прямые 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝐸. Точка 𝑃 лежит внутри 𝐴𝐵𝐶𝐷 и удовлетворяет соотношениям ∠𝐵𝐴𝑃 = ∠𝑃𝐶𝐵 и ∠𝐶𝐵𝑃 = ∠𝑃𝐷𝐶. Докажите, что 𝑃𝐸 ⊥ 𝐵𝐶.
Удачи участникам колма на турнире 🍀
❤18❤🔥2🔥1
❤10🔥4❤🔥2🥰2😭2
#колм
На турнире Колмогорова прошла командная олимпиада. У сеньоров было две любопытные геомки
Задача. В окружности, описанной около неравнобедренного остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶, взят диаметр 𝑈𝑉, проходящий через ортоцентр 𝐻 этого треугольника. Пусть 𝐴𝐷 — высота этого треугольника, а 𝑆 — ортоцентр треугольника 𝐷𝑈𝑉. Докажите, что середина отрезка 𝐴𝑆 лежит на прямой 𝐵𝐶.
Задача. Дан описанный четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷. Прямые 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝐸, а прямые 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 — в точке 𝐹. Внешние биссектрисы углов 𝐴 и 𝐶 и прямая 𝐸𝐹 образуют треугольник ∆₁. Внешние биссектрисы углов 𝐵 и 𝐷 и прямая 𝐸𝐹 образуют треугольник ∆₂. Докажите, что описанные окружности треугольников ∆₁ и ∆₂ касаются.
На турнире Колмогорова прошла командная олимпиада. У сеньоров было две любопытные геомки
Задача. В окружности, описанной около неравнобедренного остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶, взят диаметр 𝑈𝑉, проходящий через ортоцентр 𝐻 этого треугольника. Пусть 𝐴𝐷 — высота этого треугольника, а 𝑆 — ортоцентр треугольника 𝐷𝑈𝑉. Докажите, что середина отрезка 𝐴𝑆 лежит на прямой 𝐵𝐶.
Задача. Дан описанный четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷. Прямые 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝐸, а прямые 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 — в точке 𝐹. Внешние биссектрисы углов 𝐴 и 𝐶 и прямая 𝐸𝐹 образуют треугольник ∆₁. Внешние биссектрисы углов 𝐵 и 𝐷 и прямая 𝐸𝐹 образуют треугольник ∆₂. Докажите, что описанные окружности треугольников ∆₁ и ∆₂ касаются.
❤8🔥5❤🔥4😁1
❤3🔥3❤🔥1
#колм
Сегодня прошел первый тур боев ⚔ Кубка Колмогорова. Делимся юниорскими геомками:
Задача. На прямой 𝐵𝐶 в треугольнике 𝐴𝐵𝐶 отметили точки 𝐾 и 𝐿 так, что 𝐾𝑀 = 𝑀𝐿, где 𝑀 — середина 𝐵𝐶, а на прямых 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 отмечены точки 𝑋 и 𝑌 соответственно так, что 𝑋𝑌 ‖ 𝐵𝐶. Окружности (𝐾𝐵𝑋) и (𝐿𝐶𝑌) вторично пересекают (𝐴𝐵𝐶) в точках 𝐵₁ и 𝐶₁ соотвественно. 𝑇 — точка пересечения прямых 𝐵𝐶₁ и 𝐶𝐵₁. Докажите, что ∠𝑇𝐴𝐵 = ∠𝑀𝐴𝐶.
Задача. В неравнобедренном остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 через ортоцентр 𝐻 проведена прямая, перпендикулярная биссектрисе угла 𝐴, пересекающая стороны 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝐷 и 𝐸 соответственно. Пусть 𝑋 — вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников 𝐵𝐷𝐻 и 𝐻𝐸𝐶. Докажите, что описанная окружность треугольника 𝐴𝐻𝑋 касается биссектрисы угла 𝐵𝐴𝐶.
Итоги тура можно, как обычно, обсудить в комментах 👇
Сегодня прошел первый тур боев ⚔ Кубка Колмогорова. Делимся юниорскими геомками:
Задача. На прямой 𝐵𝐶 в треугольнике 𝐴𝐵𝐶 отметили точки 𝐾 и 𝐿 так, что 𝐾𝑀 = 𝑀𝐿, где 𝑀 — середина 𝐵𝐶, а на прямых 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 отмечены точки 𝑋 и 𝑌 соответственно так, что 𝑋𝑌 ‖ 𝐵𝐶. Окружности (𝐾𝐵𝑋) и (𝐿𝐶𝑌) вторично пересекают (𝐴𝐵𝐶) в точках 𝐵₁ и 𝐶₁ соотвественно. 𝑇 — точка пересечения прямых 𝐵𝐶₁ и 𝐶𝐵₁. Докажите, что ∠𝑇𝐴𝐵 = ∠𝑀𝐴𝐶.
Задача. В неравнобедренном остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 через ортоцентр 𝐻 проведена прямая, перпендикулярная биссектрисе угла 𝐴, пересекающая стороны 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝐷 и 𝐸 соответственно. Пусть 𝑋 — вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников 𝐵𝐷𝐻 и 𝐻𝐸𝐶. Докажите, что описанная окружность треугольника 𝐴𝐻𝑋 касается биссектрисы угла 𝐵𝐴𝐶.
Итоги тура можно, как обычно, обсудить в комментах 👇
❤6🔥2🥰2
#геом_разминка #medium #9
Задача. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶. Точки 𝐸 и 𝐹 являются основаниями его высот, проведенных из точек 𝐵 и 𝐶 соответственно. Касательная в точке 𝐴 к окружности (𝐴𝐵𝐶), пересекает 𝐵𝐶 в точке 𝑃. Прямая, параллельная 𝐵𝐶 и проходящая через точку 𝐴, пересекает 𝐸𝐹 в точке 𝑄. Докажите, что 𝑃𝑄 перпендикулярна медиане, проведенной из точки 𝐴 треугольника 𝐴𝐵𝐶.
Задача. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶. Точки 𝐸 и 𝐹 являются основаниями его высот, проведенных из точек 𝐵 и 𝐶 соответственно. Касательная в точке 𝐴 к окружности (𝐴𝐵𝐶), пересекает 𝐵𝐶 в точке 𝑃. Прямая, параллельная 𝐵𝐶 и проходящая через точку 𝐴, пересекает 𝐸𝐹 в точке 𝑄. Докажите, что 𝑃𝑄 перпендикулярна медиане, проведенной из точки 𝐴 треугольника 𝐴𝐵𝐶.
❤6👍6❤🔥3
❤3❤🔥2🔥2