#геом_разминка #medium #9
Задача. Во вписанном четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 прямые 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝐸. Точка 𝑃 лежит внутри 𝐴𝐵𝐶𝐷 и удовлетворяет соотношениям ∠𝐵𝐴𝑃 = ∠𝑃𝐶𝐵 и ∠𝐶𝐵𝑃 = ∠𝑃𝐷𝐶. Докажите, что 𝑃𝐸 ⊥ 𝐵𝐶.
Удачи участникам колма на турнире 🍀
Задача. Во вписанном четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 прямые 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝐸. Точка 𝑃 лежит внутри 𝐴𝐵𝐶𝐷 и удовлетворяет соотношениям ∠𝐵𝐴𝑃 = ∠𝑃𝐶𝐵 и ∠𝐶𝐵𝑃 = ∠𝑃𝐷𝐶. Докажите, что 𝑃𝐸 ⊥ 𝐵𝐶.
Удачи участникам колма на турнире 🍀
❤18❤🔥2🔥1
❤10🔥4❤🔥2🥰2😭2
#колм
На турнире Колмогорова прошла командная олимпиада. У сеньоров было две любопытные геомки
Задача. В окружности, описанной около неравнобедренного остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶, взят диаметр 𝑈𝑉, проходящий через ортоцентр 𝐻 этого треугольника. Пусть 𝐴𝐷 — высота этого треугольника, а 𝑆 — ортоцентр треугольника 𝐷𝑈𝑉. Докажите, что середина отрезка 𝐴𝑆 лежит на прямой 𝐵𝐶.
Задача. Дан описанный четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷. Прямые 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝐸, а прямые 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 — в точке 𝐹. Внешние биссектрисы углов 𝐴 и 𝐶 и прямая 𝐸𝐹 образуют треугольник ∆₁. Внешние биссектрисы углов 𝐵 и 𝐷 и прямая 𝐸𝐹 образуют треугольник ∆₂. Докажите, что описанные окружности треугольников ∆₁ и ∆₂ касаются.
На турнире Колмогорова прошла командная олимпиада. У сеньоров было две любопытные геомки
Задача. В окружности, описанной около неравнобедренного остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶, взят диаметр 𝑈𝑉, проходящий через ортоцентр 𝐻 этого треугольника. Пусть 𝐴𝐷 — высота этого треугольника, а 𝑆 — ортоцентр треугольника 𝐷𝑈𝑉. Докажите, что середина отрезка 𝐴𝑆 лежит на прямой 𝐵𝐶.
Задача. Дан описанный четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷. Прямые 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝐸, а прямые 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 — в точке 𝐹. Внешние биссектрисы углов 𝐴 и 𝐶 и прямая 𝐸𝐹 образуют треугольник ∆₁. Внешние биссектрисы углов 𝐵 и 𝐷 и прямая 𝐸𝐹 образуют треугольник ∆₂. Докажите, что описанные окружности треугольников ∆₁ и ∆₂ касаются.
❤8🔥5❤🔥4😁1
❤3🔥3❤🔥1
#колм
Сегодня прошел первый тур боев ⚔ Кубка Колмогорова. Делимся юниорскими геомками:
Задача. На прямой 𝐵𝐶 в треугольнике 𝐴𝐵𝐶 отметили точки 𝐾 и 𝐿 так, что 𝐾𝑀 = 𝑀𝐿, где 𝑀 — середина 𝐵𝐶, а на прямых 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 отмечены точки 𝑋 и 𝑌 соответственно так, что 𝑋𝑌 ‖ 𝐵𝐶. Окружности (𝐾𝐵𝑋) и (𝐿𝐶𝑌) вторично пересекают (𝐴𝐵𝐶) в точках 𝐵₁ и 𝐶₁ соотвественно. 𝑇 — точка пересечения прямых 𝐵𝐶₁ и 𝐶𝐵₁. Докажите, что ∠𝑇𝐴𝐵 = ∠𝑀𝐴𝐶.
Задача. В неравнобедренном остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 через ортоцентр 𝐻 проведена прямая, перпендикулярная биссектрисе угла 𝐴, пересекающая стороны 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝐷 и 𝐸 соответственно. Пусть 𝑋 — вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников 𝐵𝐷𝐻 и 𝐻𝐸𝐶. Докажите, что описанная окружность треугольника 𝐴𝐻𝑋 касается биссектрисы угла 𝐵𝐴𝐶.
Итоги тура можно, как обычно, обсудить в комментах 👇
Сегодня прошел первый тур боев ⚔ Кубка Колмогорова. Делимся юниорскими геомками:
Задача. На прямой 𝐵𝐶 в треугольнике 𝐴𝐵𝐶 отметили точки 𝐾 и 𝐿 так, что 𝐾𝑀 = 𝑀𝐿, где 𝑀 — середина 𝐵𝐶, а на прямых 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 отмечены точки 𝑋 и 𝑌 соответственно так, что 𝑋𝑌 ‖ 𝐵𝐶. Окружности (𝐾𝐵𝑋) и (𝐿𝐶𝑌) вторично пересекают (𝐴𝐵𝐶) в точках 𝐵₁ и 𝐶₁ соотвественно. 𝑇 — точка пересечения прямых 𝐵𝐶₁ и 𝐶𝐵₁. Докажите, что ∠𝑇𝐴𝐵 = ∠𝑀𝐴𝐶.
Задача. В неравнобедренном остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 через ортоцентр 𝐻 проведена прямая, перпендикулярная биссектрисе угла 𝐴, пересекающая стороны 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝐷 и 𝐸 соответственно. Пусть 𝑋 — вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников 𝐵𝐷𝐻 и 𝐻𝐸𝐶. Докажите, что описанная окружность треугольника 𝐴𝐻𝑋 касается биссектрисы угла 𝐵𝐴𝐶.
Итоги тура можно, как обычно, обсудить в комментах 👇
❤6🔥2🥰2
#геом_разминка #medium #9
Задача. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶. Точки 𝐸 и 𝐹 являются основаниями его высот, проведенных из точек 𝐵 и 𝐶 соответственно. Касательная в точке 𝐴 к окружности (𝐴𝐵𝐶), пересекает 𝐵𝐶 в точке 𝑃. Прямая, параллельная 𝐵𝐶 и проходящая через точку 𝐴, пересекает 𝐸𝐹 в точке 𝑄. Докажите, что 𝑃𝑄 перпендикулярна медиане, проведенной из точки 𝐴 треугольника 𝐴𝐵𝐶.
Задача. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶. Точки 𝐸 и 𝐹 являются основаниями его высот, проведенных из точек 𝐵 и 𝐶 соответственно. Касательная в точке 𝐴 к окружности (𝐴𝐵𝐶), пересекает 𝐵𝐶 в точке 𝑃. Прямая, параллельная 𝐵𝐶 и проходящая через точку 𝐴, пересекает 𝐸𝐹 в точке 𝑄. Докажите, что 𝑃𝑄 перпендикулярна медиане, проведенной из точки 𝐴 треугольника 𝐴𝐵𝐶.
❤6👍6❤🔥3
❤3❤🔥2🔥2
#колм
Публикуем задачи второго тура:
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — равнобедренный треугольник с основанием 𝐵𝐶, и пусть 𝐷 — середина стороны 𝐴𝐶, а Γ — описанная окружность треугольника 𝐴𝐵𝐷. Касательная к Γ в точке 𝐴 пересекает прямую 𝐵𝐶 в точке 𝐸. Пусть 𝑂 — центр описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐸. Докажите, что середина отрезка 𝐴𝑂 лежит на Γ.
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точки 𝑂 и 𝐻 — центр описанной окружности и точка пересечения высот соответственно. Касательные в точках 𝐵 и 𝐶 к описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶 пересекают прямые 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵 в точках 𝐸 и 𝐹 соответственно. Прямые 𝐵𝑂 и 𝐶𝐻 пересекаются в точке 𝑃, а прямые 𝐶𝑂 и 𝐵𝐻 пересекаются в точке 𝑄. Оказалось, что 𝐸𝐹 ⊥ 𝐵𝐶. Докажите, что 𝑂𝑃 = 𝑂𝑄.
Одну из задач сегодняшнего тура внимательные ‼️ подписчики нашего канала уже решали. Ждем от вас ссылки на наш пост в обсуждении) Какая из картинок 🖼 вам больше нравится? Старая или новая?
Публикуем задачи второго тура:
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — равнобедренный треугольник с основанием 𝐵𝐶, и пусть 𝐷 — середина стороны 𝐴𝐶, а Γ — описанная окружность треугольника 𝐴𝐵𝐷. Касательная к Γ в точке 𝐴 пересекает прямую 𝐵𝐶 в точке 𝐸. Пусть 𝑂 — центр описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐸. Докажите, что середина отрезка 𝐴𝑂 лежит на Γ.
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точки 𝑂 и 𝐻 — центр описанной окружности и точка пересечения высот соответственно. Касательные в точках 𝐵 и 𝐶 к описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶 пересекают прямые 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵 в точках 𝐸 и 𝐹 соответственно. Прямые 𝐵𝑂 и 𝐶𝐻 пересекаются в точке 𝑃, а прямые 𝐶𝑂 и 𝐵𝐻 пересекаются в точке 𝑄. Оказалось, что 𝐸𝐹 ⊥ 𝐵𝐶. Докажите, что 𝑂𝑃 = 𝑂𝑄.
Одну из задач сегодняшнего тура внимательные ‼️ подписчики нашего канала уже решали. Ждем от вас ссылки на наш пост в обсуждении) Какая из картинок 🖼 вам больше нравится? Старая или новая?
❤4❤🔥2😁2👍1🤡1
❤🔥4❤2🔥1
#колм
Сегодня нам приглянулись задачи сеньоров. В юниор-лиге вновь дали баян 🪗, который уже давно кочует 🐫 из одного листика на гомотетию в другой.
Задача. На сторонах 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 и 𝐴𝐶 остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 отметили точки 𝑃, 𝑄 и 𝑅 соответственно так, что 𝑃𝐵𝑄𝑅 — ромб. Касательные, проведенные к описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶 в точках 𝐴 и 𝐶, пересекаются в точке 𝑇. На отрезках 𝐴𝑇 и 𝑇𝐶 выбраны точки 𝐾 и 𝐿 соответственно так, что ∠𝐴𝑃𝐾 = ∠𝐴𝑄𝑃 и ∠𝐶𝑄𝐿 = ∠𝐶𝑃𝑄. Докажите, что прямые 𝐾𝐿 и 𝑃𝑄 симметричны относительно прямой 𝐴𝐶.
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶. Выбирается произвольная касательная 𝑙 к его описанной окружности, которая пересекает прямые 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵 в точках 𝐷, 𝐸 и 𝐹 соответственно. Прямые 𝐴𝐷, 𝐵𝐸 и 𝐶𝐹 отразили относительно биссектрис углов 𝐴, 𝐵 и 𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 соответственно, и они образовали треугольник. Докажите, что его площадь не зависит от выбора касательной 𝑙.
Присоединяйтесь к обсуждению и делитесь вашими впечатлениями о прошедшем туре
Сегодня нам приглянулись задачи сеньоров. В юниор-лиге вновь дали баян 🪗, который уже давно кочует 🐫 из одного листика на гомотетию в другой.
Задача. На сторонах 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 и 𝐴𝐶 остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 отметили точки 𝑃, 𝑄 и 𝑅 соответственно так, что 𝑃𝐵𝑄𝑅 — ромб. Касательные, проведенные к описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶 в точках 𝐴 и 𝐶, пересекаются в точке 𝑇. На отрезках 𝐴𝑇 и 𝑇𝐶 выбраны точки 𝐾 и 𝐿 соответственно так, что ∠𝐴𝑃𝐾 = ∠𝐴𝑄𝑃 и ∠𝐶𝑄𝐿 = ∠𝐶𝑃𝑄. Докажите, что прямые 𝐾𝐿 и 𝑃𝑄 симметричны относительно прямой 𝐴𝐶.
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶. Выбирается произвольная касательная 𝑙 к его описанной окружности, которая пересекает прямые 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵 в точках 𝐷, 𝐸 и 𝐹 соответственно. Прямые 𝐴𝐷, 𝐵𝐸 и 𝐶𝐹 отразили относительно биссектрис углов 𝐴, 𝐵 и 𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 соответственно, и они образовали треугольник. Докажите, что его площадь не зависит от выбора касательной 𝑙.
Присоединяйтесь к обсуждению и делитесь вашими впечатлениями о прошедшем туре
❤6❤🔥3🔥2