Теорема Нагеля. Точка Нагеля данного треугольника является центром вписанной окружности треугольника, середины сторон которого являются вершинами данного треугольника.

Напишите в комментариях красивые доказательства.

Из трех расстояний от точки Фейербаха до середин сторон треугольника одно равно сумме двух других.

В описанном многоугольнике на каждой стороне отметили отрезок с концами в ее середине и точке касания со вписанной окружностью. Можно ли окрасить отмеченные отрезки в красный и синий цвет так, чтобы сумма длин красных отрезков равнялась бы сумме длин синих?

Анимация к задаче В.А. Сендерова (сделана Леонидом Ивановым, @animageo)

Корпус "Спорт" на территории образовательного центра "Сириус"

В американском формате сегодняшней даты 11.23 записаны первые четыре числа Фибоначчи: 1, 1, 2, 3 (каждое следующее равно сумме двух предыдущих), поэтому сегодня празднуют день Фибоначчи!

Интересный ролик про филлотаксис и числа Фибоначчи:
https://youtu.be/_GkxCIW46to?si=49g-SX8uUQ-FJyUO

Этюды про филлотаксис https://book.etudes.ru/articles/phyllotaxis/ и исчезающую клетку
https://etudes.ru/models/fibonacci-numbers-missing-square-puzzle/

Приятное неравенство, доступное 7 классу.

В треугольнике ABC угол B равен 60 градусов, M - середина AC. Докажите, что AB + AC > 2 BM.

Задача С.И. Токарева с Турнира Городов.

Через середины E и F диагоналей AC и BD четырехугольника ABCD провели прямые, параллельные BD и AC соответственно, которые пересекли CD и AB в точках Y и X. Тогда прямые XY и BC параллельны.

Задачи с Матпраздника

В дополнение к предыдущему посту, предлагаю две своих задачи, которые были на Матпраздниках прошлых лет.
Так как задачи оказались удачными, они были включены в новое издание нашего учебника.

Задача Произволова В.В., Маркелова С.В., Канель-Белова А.Я.

Может ли случиться, что шесть попарно непересекающихся параллелепипедов расположены в пространстве так, что из некоторой им не принадлежащей точки пространства не видно ни одной из их вершин? (Параллелепипеды непрозрачны.)

Задача Д.А. Терешина.

На основании AD трапеции ABCD взяли точку X, а на боковых сторонах AB и CD точки F и E так, что FX параллельно BD и XE параллельно CA. Пусть FE пересекает BD и AC в точках P и Q. Тогда FQ = PE.

На плоскости дано несколько попарно непересекающихся выпуклых многоугольников. Докажите, что для любого направления один из них можно выдвинуть (сколь угодно далеко) вдоль этого направления, не задевая остальных многоугольников. А если двигать каждый многоугольник разрешается лишь только в направлениях, перпендикулярных его сторонам?

1 декабря - день математика, в честь дня рождения Н.И. Лобачевского.

Интересная статья А. Акопяна по геометрии Лобачевского:

https://www.mathnet.ru/links/89ac5c0e2f5535a223f5c90a36f3a3cb/mp367.pdf

P.S. В Казани есть очень интересный музей Лобачевского

В четырехугольнике ABCD равны углы A, B и D. Докажите, что точка C лежит на прямой Эйлера треугольника ABD.

Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все его стороны отодвинуть на единицу во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному. Докажите, что в этот многоугольник можно вписать окружность.

// Такую задачу со старой ММО напомнил коллега Андреев. Ранее на близкие темы: https://news.1rj.ru/str/geometrykanal/1823