Задача Произволова В.В., Маркелова С.В., Канель-Белова А.Я.

Может ли случиться, что шесть попарно непересекающихся параллелепипедов расположены в пространстве так, что из некоторой им не принадлежащей точки пространства не видно ни одной из их вершин? (Параллелепипеды непрозрачны.)

Задача Д.А. Терешина.

На основании AD трапеции ABCD взяли точку X, а на боковых сторонах AB и CD точки F и E так, что FX параллельно BD и XE параллельно CA. Пусть FE пересекает BD и AC в точках P и Q. Тогда FQ = PE.

На плоскости дано несколько попарно непересекающихся выпуклых многоугольников. Докажите, что для любого направления один из них можно выдвинуть (сколь угодно далеко) вдоль этого направления, не задевая остальных многоугольников. А если двигать каждый многоугольник разрешается лишь только в направлениях, перпендикулярных его сторонам?

1 декабря - день математика, в честь дня рождения Н.И. Лобачевского.

Интересная статья А. Акопяна по геометрии Лобачевского:

https://www.mathnet.ru/links/89ac5c0e2f5535a223f5c90a36f3a3cb/mp367.pdf

P.S. В Казани есть очень интересный музей Лобачевского

В четырехугольнике ABCD равны углы A, B и D. Докажите, что точка C лежит на прямой Эйлера треугольника ABD.

Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все его стороны отодвинуть на единицу во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному. Докажите, что в этот многоугольник можно вписать окружность.

// Такую задачу со старой ММО напомнил коллега Андреев. Ранее на близкие темы: https://news.1rj.ru/str/geometrykanal/1823

💥💥💥 Есть возможность присоединиться к групповым занятиям одного из самых лучших препов по олимпиадной геометрии для 7, 8, 9, 10-11 классов.

🌟Фёдор Нилов

🎓член жюри олимпиады Шарыгина, Турнира городов, победитель конкурса "Молодая математика России", автор научных статей, патентов, олимпиадных задач, телеграм канала @geometry_nilov, опыт преподавания в ведущих матшколах России (57, Л2Ш) и просто один из любимейших препов наших детей.

📐На занятиях мы разбираем множество красивых задач, интересных методов и их приложений.

⏰Занятия 1 раз в неделю онлайн

7 класс - пн, 18:00
8 класс - чт, 18:00
9 класс - пт, 18:00
10-11 класс - вт, 18:00

Продолжительность  1,5 часа

💰Стоимость одного занятия - 1500 руб

Для записи пишите @FNilman

Дан правильный семиугольник A_1A_2....A_7. Тогда в треугольнике A_1A_3A_4 основания биссектрис образуют равнобедренный треугольник (XY = XZ).

Неравнобедренные треугольники, основания биссектрис которых образуют равнобедренный треугольник, называются треугольниками Шарыгина. Интересно, что их бесконечное число, при этом больший угол лежит в маленьком диапазоне 102,6 до 104,5 градусов.

Есть ли другие замечательные центры треугольника, для которых их чевианный треугольник является равнобедренным, а сам треугольник равнобедренным не является?

P.S. Уже стартовал заочный тур олимпиады Шарыгина:

https://geomolymp.ru/olympiads/1-olimpiada-2025-2026.html

Задача И.И. Богданова.

В треугольнике ABC I - центр вписанной окружности, а A', B', C' - точки ее касания со сторонами BC, CA, AB. Докажите, что внутренняя касательная ко вписанным окружностям четырехугольников BA'IC' и CA'IB', отличная от IA', проходит через точку A.

Задача Д.В. Швецова

Дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AC. Пусть A_1 и C_1 - основания биссектрис, I - точка пересечения биссектрис, M - середина отрезка A_1C_1. Докажите, что прямая IM перпендикулярна AC.