Forwarded from Геометрия с Ниловым
Доказательство теоремы Паскаля при помощи инверсии и теоремы о трех колпаках.
Рассмотрим красную пунктирную окружность с центром в X, синюю пунктирую окружность с центром в Y, зеленую пунктирную окружность с центром в Z, перпендикулярные описанной окружности ABCDEF. Рассмотрим произвольную фиолетовую окружность через C и F. При инверсии относительно красной пунктирной окружности она перейдет в сиреневую через A и D. При инверсии относительно синей пунктирной окружности сиреневая перейдет в оранжевую через B и E. Заметим, что при инверсии относительно зеленой пунктирной окружности оранжевая перейдет обратно в фиолетовую (образ должен проходить через C и F и образовывать такой же (ориентированный) угол с описанной окружностью ABCDEF). Осталось заметить, что центр инверсии, переводящий одну окружность в другую, является их центром гомотетии, поэтому точки X,Y,Z лежат на одной прямой по теореме о трех колпаках.
Рассмотрим красную пунктирную окружность с центром в X, синюю пунктирую окружность с центром в Y, зеленую пунктирную окружность с центром в Z, перпендикулярные описанной окружности ABCDEF. Рассмотрим произвольную фиолетовую окружность через C и F. При инверсии относительно красной пунктирной окружности она перейдет в сиреневую через A и D. При инверсии относительно синей пунктирной окружности сиреневая перейдет в оранжевую через B и E. Заметим, что при инверсии относительно зеленой пунктирной окружности оранжевая перейдет обратно в фиолетовую (образ должен проходить через C и F и образовывать такой же (ориентированный) угол с описанной окружностью ABCDEF). Осталось заметить, что центр инверсии, переводящий одну окружность в другую, является их центром гомотетии, поэтому точки X,Y,Z лежат на одной прямой по теореме о трех колпаках.
🔥8❤7🤓4🤩1
Семинар для учителей математики про среднюю линию
РЦ школы 179 приглашает учителей на семинар «Магия средней линии».
Когда: 24 ноября в 17:00 —18:00
Преподаватель: Швецов Дмитрий Викторович, учитель школы «Летово»
Онлайн-трансляция будет здесь: https://telemost.yandex.ru/j/66537752719681
РЦ школы 179 приглашает учителей на семинар «Магия средней линии».
Когда: 24 ноября в 17:00 —18:00
Преподаватель: Швецов Дмитрий Викторович, учитель школы «Летово»
Онлайн-трансляция будет здесь: https://telemost.yandex.ru/j/66537752719681
🥰6❤3💯2😱1
Forwarded from Задача дня (Юсуф Нагуманов)
Начинаю постить свои задачи с олимпиады НИУ ВШЭ. Эта задача предлагалась в 9 классе под 6 номером.
Дан прямоугольник ABCD, в котором выбрана точка P. Докажите, что существует окружность, касающаяся окружностей на AP, BP, CP, DP как на диаметрах, тогда и только тогда, когда AP = BP или AP = DP.
Дан прямоугольник ABCD, в котором выбрана точка P. Докажите, что существует окружность, касающаяся окружностей на AP, BP, CP, DP как на диаметрах, тогда и только тогда, когда AP = BP или AP = DP.
❤6👎6🔥6😐2🤓2
На основании прямого кругового конуса построен цилиндр. Докажите, что при пересечении этого цилиндра плоскостью, касающейся конуса, получается эллипс, площадь которого равна боковой поверхности конуса.
(Квант №8 за 1980 год, Б. Алейников)
#несолиднаягеометрия
(Квант №8 за 1980 год, Б. Алейников)
#несолиднаягеометрия
❤10
Математический кружок, вторник 25 ноября
сегодня в 15:30 по Москве, ссылка на ktrt-seminars.com
Докладчик: Долбилин Николай Петрович
«От многогранника к развертке и обратно»
Аннотация: Будут обсуждены две нерешенные проблемы в теории многогранников.
Одна из них, т.н. проблема Дюрера о существовании у всякого выпуклого многогранника реберной связной развертки. Здесь имеется ряд результатов и предположений. В частности, будет сформулирована «Анти-Дюрер» гипотеза.
Другая проблема связана со знаменитой теоремой А.Д.Александрова о необходимых и достаточных условиях того, чтобы данная развертка была разверткой выпуклого многогранника, причем единственного с точностью до конгруэнтности. Проблема состоит в том, как по заданной развертке восстановить этот многогранник. Это очень трудная, по мнению самого А.Д.Александрова, проблема. Будет рассказано о нескольких результатах в этом направлении, в частности, о том, как восстановить многогранник по развертке, в которой не больше 5 вершин положительной кривизны. Этот результат получен совместно с М.И.Штогриным.
сегодня в 15:30 по Москве, ссылка на ktrt-seminars.com
Докладчик: Долбилин Николай Петрович
«От многогранника к развертке и обратно»
Аннотация: Будут обсуждены две нерешенные проблемы в теории многогранников.
Одна из них, т.н. проблема Дюрера о существовании у всякого выпуклого многогранника реберной связной развертки. Здесь имеется ряд результатов и предположений. В частности, будет сформулирована «Анти-Дюрер» гипотеза.
Другая проблема связана со знаменитой теоремой А.Д.Александрова о необходимых и достаточных условиях того, чтобы данная развертка была разверткой выпуклого многогранника, причем единственного с точностью до конгруэнтности. Проблема состоит в том, как по заданной развертке восстановить этот многогранник. Это очень трудная, по мнению самого А.Д.Александрова, проблема. Будет рассказано о нескольких результатах в этом направлении, в частности, о том, как восстановить многогранник по развертке, в которой не больше 5 вершин положительной кривизны. Этот результат получен совместно с М.И.Штогриным.
👍3❤2💯1
Задача 6 с командной олимпиады Сеньоров (и 8 задача для Юниров) c идущего сейчас турнира Колмогорова. Условия всех задач комола есть тут.
Дан описанный выпуклый четырёхугольник ABCD. Прямые AB и CD пересекаются в точке E, а прямые AD и BC в точке F. Внешние биссектрисы углов A и C и
прямая EF образуют треугольник △_1. Внешние биссектрисы углов B и D и прямая EF образуют треугольник △_2. Докажите, что описанные окружности треугольников △_1 и △_2 касаются.
Дан описанный выпуклый четырёхугольник ABCD. Прямые AB и CD пересекаются в точке E, а прямые AD и BC в точке F. Внешние биссектрисы углов A и C и
прямая EF образуют треугольник △_1. Внешние биссектрисы углов B и D и прямая EF образуют треугольник △_2. Докажите, что описанные окружности треугольников △_1 и △_2 касаются.
❤15👍4
Forwarded from Геометрия от Волчкевича
Задачи с Матпраздника
В дополнение к предыдущему посту, предлагаю две своих задачи, которые были на Матпраздниках прошлых лет.
Так как задачи оказались удачными, они были включены в новое издание нашего учебника.
В дополнение к предыдущему посту, предлагаю две своих задачи, которые были на Матпраздниках прошлых лет.
Так как задачи оказались удачными, они были включены в новое издание нашего учебника.
❤1
Forwarded from Геометрия с Ниловым
Задача Произволова В.В., Маркелова С.В., Канель-Белова А.Я.
Может ли случиться, что шесть попарно непересекающихся параллелепипедов расположены в пространстве так, что из некоторой им не принадлежащей точки пространства не видно ни одной из их вершин? (Параллелепипеды непрозрачны.)
Может ли случиться, что шесть попарно непересекающихся параллелепипедов расположены в пространстве так, что из некоторой им не принадлежащей точки пространства не видно ни одной из их вершин? (Параллелепипеды непрозрачны.)
❤10🔥2🥰1
Forwarded from Записки юного геометра на пенсии (Щербатов Ярослав)
zaoch.pdf
52 KB
Сегодня 1 декабря, а это значит, что начался заочный тур олимпиады имени И.Ф.Шарыгина!
На сайте уже появился вариант! По-моему он довольно хороший. Приятного времяпровождения!
На сайте уже появился вариант! По-моему он довольно хороший. Приятного времяпровождения!
👍7❤1
Forwarded from Геометрия с Ниловым
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
Задача Д.А. Терешина.
На основании AD трапеции ABCD взяли точку X, а на боковых сторонах AB и CD точки F и E так, что FX параллельно BD и XE параллельно CA. Пусть FE пересекает BD и AC в точках P и Q. Тогда FQ = PE.
На основании AD трапеции ABCD взяли точку X, а на боковых сторонах AB и CD точки F и E так, что FX параллельно BD и XE параллельно CA. Пусть FE пересекает BD и AC в точках P и Q. Тогда FQ = PE.
❤15
Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все его стороны отодвинуть на единицу во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному. Докажите, что в этот многоугольник можно вписать окружность.
// Такую задачу со старой ММО напомнил коллега Андреев. Ранее на близкие темы: https://news.1rj.ru/str/geometrykanal/1823
// Такую задачу со старой ММО напомнил коллега Андреев. Ранее на близкие темы: https://news.1rj.ru/str/geometrykanal/1823
❤12🔥2
Forwarded from Геометрия с Ниловым
В четырехугольнике ABCD равны углы A, B и D. Докажите, что точка C лежит на прямой Эйлера треугольника ABD.
❤15👍7
Forwarded from Быстрые задачки по математике (Alexey Sgibnev)
Высота AH треугольника ABC равна его медиане BM. Найдите угол CBM.
Anonymous Quiz
5%
15˚
56%
30˚
9%
45˚
15%
60˚
4%
75˚
11%
среди ответов выше нет верного
🔥7❤4👍1
На той же олимпиаде ЮМШ в 9 классе был предложен такой геометрический сюжет.
Дан неравнобедренный треугольник ABC без тупых углов, с центром вписанной окружности I и точкой
M, делящей отрезок BC пополам.
1.1. Докажите, что прямая IM не может быть параллельна никакой стороне треугольника ABC.
1.2. Пусть прямая IM пересекает прямые AB и AC в точках C1 и B1, соответственно. Обозначим
через I_b центр вневписанной окружности треугольника ABC, касающейся отрезка AC. Докажите, что
I_bB1 параллельно BC. (Т. Праведников, Н. Галимуллин)
Вывод.
1.3. Пусть ∠A = 90. Точка P выбрана так, что MP = MI и IP параллельно BC. Докажите, что IP ⩽ B1C1.
1.4. Обозначим через N середину дуги BAC описанной окружности треугольника ABC. Докажите,
что центр описанной окружности треугольника NB1C1 лежит на прямой AI. (Т. Праведников, Н. Галимуллин)
Дан неравнобедренный треугольник ABC без тупых углов, с центром вписанной окружности I и точкой
M, делящей отрезок BC пополам.
1.1. Докажите, что прямая IM не может быть параллельна никакой стороне треугольника ABC.
1.2. Пусть прямая IM пересекает прямые AB и AC в точках C1 и B1, соответственно. Обозначим
через I_b центр вневписанной окружности треугольника ABC, касающейся отрезка AC. Докажите, что
I_bB1 параллельно BC. (Т. Праведников, Н. Галимуллин)
Вывод.
1.3. Пусть ∠A = 90. Точка P выбрана так, что MP = MI и IP параллельно BC. Докажите, что IP ⩽ B1C1.
1.4. Обозначим через N середину дуги BAC описанной окружности треугольника ABC. Докажите,
что центр описанной окружности треугольника NB1C1 лежит на прямой AI. (Т. Праведников, Н. Галимуллин)
👍11❤2
Геометрия-канал
На той же олимпиаде ЮМШ в 9 классе был предложен такой геометрический сюжет. Дан неравнобедренный треугольник ABC без тупых углов, с центром вписанной окружности I и точкой M, делящей отрезок BC пополам. 1.1. Докажите, что прямая IM не может быть параллельна…
В 10 классе был такой геометрический сюжет.
Дан остроугольный неравнобедренный треугольник ABC и на его биссектрисах BE и CF, которые
пересекаются в точке I, выбрали такие точки B_1 и C_1, соответственно, что ∠BAB_1 = ∠CAC_1 = 90.
1.1. Оказалось, что ∠A = 60. Докажите, что прямая, соединяющая центры описанных окружностей
треугольников ABC_1 и ACB_1, проходит через I.
1.2. Докажите, что B_1C_1 ⩾ AB + AC − BC.
Вывод
1.3. Описанные окружности треугольников AB_1F и AC_1E повторно пересекаются в точке S. Докажите,
что описанная окружность треугольника AIS проходит через основание перпендикуляра из I на BC.
1.4. Точка X выбрана на отрезке B_1C_1 так, что AX ⊥ BC. Докажите, что вневписанные окружности
треугольников AXB_1 и AXC_1, касающиеся отрезка AX, имеют равные радиусы.
Дан остроугольный неравнобедренный треугольник ABC и на его биссектрисах BE и CF, которые
пересекаются в точке I, выбрали такие точки B_1 и C_1, соответственно, что ∠BAB_1 = ∠CAC_1 = 90.
1.1. Оказалось, что ∠A = 60. Докажите, что прямая, соединяющая центры описанных окружностей
треугольников ABC_1 и ACB_1, проходит через I.
1.2. Докажите, что B_1C_1 ⩾ AB + AC − BC.
Вывод
1.3. Описанные окружности треугольников AB_1F и AC_1E повторно пересекаются в точке S. Докажите,
что описанная окружность треугольника AIS проходит через основание перпендикуляра из I на BC.
1.4. Точка X выбрана на отрезке B_1C_1 так, что AX ⊥ BC. Докажите, что вневписанные окружности
треугольников AXB_1 и AXC_1, касающиеся отрезка AX, имеют равные радиусы.
❤11