Експоненційний розподіл

Процес вивчення статистики починається з теорії ймовірності. Часто, як от на фізфаці, він там і закінчується, що є дуже сумно, але сьогодні не про те. Після освоєння комбінаторики для власне підрахунку чисельників та знаменників у основній формулі для ймовірності (заснованій на інтерпретації частотників), починається розмова про розподіли. Сьогодні про них.

Інтуїція про неперервні розподіли чудово береться з дискретних, бо, спойлер, часто перші і виводяться з других. Нормальний розподіл це граничний випадок біноміального, в той час як експоненційний — геометричного. Перехід від дискретного до неперервного досягається, оце так несподіванка, неперервним переходом, який краще один раз побачити ніж читати написаний мною спросоння параграф, над яким я не думав вечір до того.

Геометричний розподіл описує кількість невдач перед одним успіхом. Нехай ймовірність успіху під час кожної спроби стала і рівна й, тоді ймовірність невдачі п=1-й. Відповідно, ймовірність події "н невдач перед першим успіхом" рівна п^н*й.

Як бачимо, ймовірність, що успіх настане все пізніше, спадає з кількістю спроб геометрично (=спойлер: експоненційно з часом), що чудово відображено у назві (шкода не у житті). Розглянемо, наприклад, очікування маршрутки. Зробимо нереалістичне для Києва і істинне для Мюнхену припущення про те, що вони ходять з однаковим інтервалом, який випливає з однакової швидкості руху та нехтовно малим часом на зупинках. Тоді, якщо за 5 хв в середньому мимо проїжджає один транспортний засіб, то ймовірність його побачити в 2 хв проміжок рівна приблизно 2/5=.4. Але це обчислення гарно працює лише для суттєво малих проміжків часу, хоча якщо наші припущення ідеально виконуються, то для проміжків довільної ширини до 5 хв.

Тепер дискретизуємо час очікування громадського транспорту на проміжки dt. З попереднього параграфу можна отримати, що якщо темп надходження (1 на 5 хв) рівний r, то ймовірність успіху (посадки на маршрутку, так собі успіх) в кожен проміжок dt рівний rdt. Це і є наше й, ймовірність успіху. Номер спроби ж задається як н=t/dt, де t це момент розгляду. Підставимо це у формулу геометричного розподілу:

P(t<Т<t+dt)=(1-rdt)^(t/dt)*rdt

Замінимо dt всюди у правій частині крім останнього множника на t/н:

P(t<Т<t+dt)=(1-rt/н)^н*rdt

А так як ми дискретизуємо час як дикі та шалені, н буде дуже великим, а ефективно безкінечним. Тому застосовуючи другу чудову границю маємо:

P(t<Т<t+dt)=е^(-rt)rdt

Впізнали? Згодні? Так це ж формула експоненційного розподілу з попереднього посту! Після ділення на надокучливе, проте концепційно критичне, dt, ви отримуєте густину розподілу.

Пильне око могло помітити глибокий зв'язок ще з самого початку, бо п^н=е^(-ln(1/п)н), а так як п=1-rdt, то й маємо п^н=е^(-rt).

Проте є цікавіше питання: чи можемо ми таким набором припущень описувати процеси на кшталт виходу книжки з друку? Мені здається, що інтуїтивне пояснення наступне: щомиті кількість людей, які говорять про технологію, змінюється, і в певний момент воно стає меншим за певну критичну кількість. Властивості комплексних мереж, які я забув, кажуть нам про те, що після цього падіння згадка про технологію стрімко вщухне, а з тим і її застосування. Колеса не вщухли, бо вони постійно потрапляють на око, в той час як стільці на сідниці. А от ці ваші доґікоїни, завдяки тим же властивостями комплексних мереж, часто отримують згадку від мережевих централізованих вузлів (як от ЗМІ), і через це "згадка" поширюється дуже швидко і достатньо, аби перевищити той умовний критичний рівень.

На цьому мабуть все, коли я знову доберусь до лекцій з комплексних мереж — скоректую. Всім гарного залишку дня, а мені — початку.

#теорім

Гарна думка

О, хороший пост, це нагадування для всіх хто вважає себе "русскоговорящим украинцем". Ти можеш скільки завгодно бути патріотом України, бути проти РФ, та хоч вішати москалів, проте в головах навіть російських ліберах ти - частина "русскаго міра". З їх голів ти не виб'єш те що "всюди де є російська мова - російські землі" (що звісно не так, якщо шо). Мова - це сильний маркер, і жодні твої заяви не поміняють думку багатомільйонних москалів. Тому або переходь на Українську, або готуйся до чергового гіркіна у себе в місті.

Ах, це було питання з атомки, яке я найкраще заботав, і яке потім випало мені на іспиті.

Тим часом, звуки тривожного надзвонювання в австрійське консульство. Скажіть мелодію, а то я неосвічений.

Аж ось і повна версія нашазамилась.

Отак ще трохи і аніме тут витісниться класичною музикою. Хтозна що є більшим безумством.

I come from the land of no high or snow
From the endless ride where rain squalls blow

Сьогодні у нас середньовічні кавери. Раджу звернути увагу на слова, це божественно. Не знаю як ви, а я на слова увагу звертаю дуже рідко, а от зараз — чудова нагода.

А ось так, до речі, я сприймаю довільну неслов'янську чи неросійську пісню. Слова для мене асимілюються з мелодією і перетворюються на кришталево чисті емоції. І часто навіть не вслухаючись I can relate, що згодом підтверджується вже прочитанням тексту.

О, другий семестр другого курсу бі лайк.

Вишиванка давно перестала бути для українців звичайною одежею. Через неї країна, та кожен її регіон окремо, транслює свій культурний код. Вона є неспростовним елементом національної єдності українців, незалежно від їх поглядів та уподобань.

Більш того, вона єднає нас з предками. Адже вишиванки та технологія їх виготовлення віддавна передавалися з покоління у покоління.
Вона прокладає вишитий шлях до нового кращого майбуття!

Цінуємо наше багатоманіття та незборимі традиції!
З Днем Вишиванки!

Сергій Тамарін🇺🇦