15 апреля 1707 г. родился Леонард Эйлер. Один из величайших математиков в истории. Имя Эйлера упоминается во всех разделах современной математики: теории чисел, топологии, алгебраической геометрии, комбинаторике, теории графов, анализе, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и динамических систем, гидродинамике, механике, теории упругости и проч. Он автор многих понятий, которые по тем или иным причинам связывают с именами других учёных; вот лишь два примера: дзета-функция Римана, гипергеометрический ряд Гаусса — это изобретения Эйлера.
С именем Эйлера связано первое использование обозначения f(x) для функции, буквы i для выражения мнимой единицы, греческой буквы Σ для записи суммы, греческой буквы Δ для обозначения конечных разностей, строчных букв для обозначения сторон треугольника при представлении углов заглавными буквами. Он дал текущее определение константы e, основания натурального логарифма, ныне известного как число Эйлера. Благодаря ему стало общеупотребимым обозначение числа π.
Эйлер считается едва ли не самым плодовитым математиком. По различным оценкам ему принадлежит более 800 названий научных работ, статей, книг, при этом прижизненных публикаций около 500; издание и переиздание его опубликованных и неопубликованных работ растянулось на столетия и далеко до своего завершения; полное собрание сочинений рассчитано более чем на 70 томов. Его рукописи хранятся в Библиотеке РАН в Санкт-Петербурге.
Покоится учёный в Лазаревском некрополе Александро-Невской Лавры СПб.

Знаменитая формула Эйлера для выпуклых многогранников:
В – Р + Г = 2,
где В — количество вершин многогранника, Р — количество его рёбер, а Г — граней.
Напомним возможную идею доказательства.
Будем склеивать наш многогранник из отдельных граней, на каждом шаге приклеивая (по смежным рёбрам) очередную грань к уже склеенным. Сначала возьмём одну из граней в качестве первой. У неё число вершин равно числу рёбер (В – Р = 0), число граней сейчас равно единице, так что на первом шаге имеем В – Р + Г = 1.
Теперь приклеим вторую грань по смежному ребру. Заметим, что число добавленных вершин на единицу меньше числа добавленных рёбер, поэтому разность В – Р уменьшилась на 1; однако число граней увеличилось на 1, так что после второго шага величина В – Р + Г снова равна 1.
На третьем шаге приклеиваем третью грань по смежным рёбрам. Ситуация повторяется: число добавленных вершин на единицу меньше числа добавленных рёбер (разность В – Р уменьшилась на 1), число Г увеличилось на 1, и потому В – Р + Г опять равно 1. Так будет продолжаться вплоть до последнего шага приклеивания последней грани многогранника. Последняя грань не добавит ни новых вершин, ни новых рёбер, но увеличит число Г на единицу. В итоге получим В – Р + Г = 2, что и требовалось.

Идея другого изящного доказательства состоит в построении стереографической проекции многогранника. Можно наглядно представить себе многогранник резиновым, причём одну грань у него вынули (открыли крышку). А затем развернули его на плоскости. Не умаляя общности, можно считать, что деформированные ребра, лежащие в плоскости, являются отрезками. При этом число вершин, рёбер и граней не изменится, если считать, что внешняя для полученного планарного графа часть плоскости соответствует удалённой грани.
Подсчитаем теперь сумму углов всех полученных многоугольников (считая и удалённую грань) двумя способами.
Сумма углов n-угольника равна π(n – 2). Сумма членов вида πn равна общему числу всех граней, т.е. 2Р, ведь каждое из Р рёбер принадлежит двум граням. А так как у нас всего Г слагаемых, получаем π (2Р – 2Г).
С другой стороны, легко видеть, что эта сумма равна 2π(В – 2). Приравнивая результаты и сокращая на 2π, получаем формулу Эйлера.

Используя формулу Эйлера В – Р + Г = 2, можно решить многие задачи.


Задача 1. В стране 30 озёр, соединённых между собой 40 каналами так, что от каждого озера можно доплыть до любого другого. Сколько в этой стране островов?
Ответ: 11.

Задача 2. Внутри квадрата отметили n точек и соединили их непересекающимися отрезками друг с другом и вершинами квадрата так, что квадрат разбился на треугольники. Сколько провели отрезков и сколько получилось треугольников?
Ответ: 3n+1 отрезков, 2n+2 треугольников.

Задача 3. Три соседа имеют три общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому колодцу?

Решение задачи по ссылке.

Задача 4. В многограннике чёрные грани — правильные пятиугольники, а белые — правильные шестиугольники. В каждой вершине сходится по три грани. Сколько в этом многограннике чёрных граней?

Ответ: 12.

Решение задачи по ссылке.

Задача 5. Теорема. Докажите, что существует ровно 5 типов правильных многогранников.

Решение задачи по ссылке.

Найдите значение выражения.

Основное свойство дроби как метод решения уравнений

Сперва вспомним старый анекдот. В бар заходит довольно большое количество математиков — n человек. Первый из них просит налить пинту пива, второй просит налить полпинты, третий — четверть пинты… Тут бармен и говорит: «Стоп-стоп, ребята. Вот вам на всех 2 – 2¹⁻ⁿ пинты и делите как хотите».

При решении некоторых уравнений полезно иметь в виду приём домножения обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную. Это действие стоит попробовать в том случае, если в его результате при помощи алгебраических формул некое чудовище превратится в красавицу.

Пример 1. Решить систему уравнений:
y = x + 1,
(y + x)(y² + x²) (y⁴ + x⁴) = 255x⁸.

Решение. Домножим второе уравнение на выражение (y – x), равное 1 в силу первого уравнения. После трёхкратного применения формулы разности квадратов получим:
y⁸ – x⁸ = 255x⁸.
Отсюда найдём: y = 2x или y = –2x.
С учётом первого уравнения получим решение:
(x; y) ∈ {(1; 2); (–⅓; ⅔)}.


Пример 2. Решить уравнение:
(1 + x + … + x⁷)(1 + x + … + x⁵) =
= (1 + x + … + x⁶)².

Решение. Домножим обе части равенства на (1 – x)² и применим к каждому множителю формулу сокращённого умножения (или, если угодно, формулу суммы геометрической прогрессии), получим:
(1 – x⁸) (1 – x⁶) = (1 – x⁷)².
Тут важно сразу отметить, что это уравнение не равносильно исходному, а отличается от него наличием лишнего корня x = 1, приобретённого в результате умножения обеих частей равенства на множитель (1 – x).
Последнее уравнение сводится к равенству
x⁶(1 – x)² = 0, имеющему корни 0 и 1. Но корень 1 — посторонний, ответ: x ∈ {0}.


Пример 3. Решить уравнение:
4 cos x cos 2x cos 3x = cos 6x.

Решение. Домножим обе части уравнения на sin x, сразу заметив, что корни уравнения sin x = 0 не являются корнями данного уравнения. Это означает, что из ответа, который мы получим, их придётся исключить.
После двукратного применения формулы синуса двойного угла уравнение примет вид:
sin 4x cos 3x = sin x cos 6x.
Применив формулу произведения синуса и косинуса, придём к уравнению
sin 7x + sin x = sin 7x – sin 5x, или
sin x = sin (–5x).
Отсюда получим совокупность решений:
x = πn/3,
x = π/4 + πn/2.
Из первой серии решений осталось исключить корни уравнения sin x = 0, т.е. значения x = πk, k∈ℤ.
Окончательно получим:
x ∈ {± π/3 + πn; π/4 + πn/2 | n∈ℤ}.

Пример. Разложить на множители многочлен x ⁸ + x⁴ + 1.

Решение этого примера проще всего провести методом выделения полного квадрата:
x ⁸ + x⁴ + 1 = (x⁴ + 1)² – x⁴ =
= (x⁴ – x² + 1)(x⁴ + x² + 1) =
= ((x² + 1)² – 3x²) ((x² + 1)² – x²) =
= (x² – √3x + 1) (x² + √3x + 1)×
×(x² – x + 1) (x² + x + 1).

Leonid Koganov выполнил это разложение с помощью комплексных чисел, сведя задачку к вычислению корня 12-й степени из 1 с последующим исключением «лишних» корней и попарным перемножением множителей, содержащих сопряжённые корни.

Задача Валерия Казакова. ABCD — квадрат. Точка М расположена внутри квадрата и удалена от вершины А на расстояние 2, от В — на 1, от С — на √2. Найти площадь квадрата.

Решения задачи по ссылке.

Открыта запись на летние онлайн-курсы по  математике!
Мы предлагаем 20 часов онлайн-занятий с учителем математики Пятьдесят седьмой школы. На протяжении двух недель вы получите максимум практики и обратной связи, разберете задания 13-19 ЕГЭ по профильной математике, методы решений и ловушки, освоите нестандартные подходы к выполнению заданий.
💡 Кому подойдут эти курсы?
▪ Ученикам, окончившим 10 класс
▪ Тем, кто хочет научиться решать 13-19 задачи без страха
▪ Ученикам, которые готовы трудиться и стремиться к результату

👨‍🏫 Преподаватель: Буфеев Сергей Валентинович, учитель высшей квалификационной категории, старший эксперт ЕГЭ, преподаватель МГТУ имени Н.Э. Баумана,  член методической комиссии олимпиады МГТУ "Шаг в будущее", победитель конкурсов лучших учителей Москвы и РФ, преподавателем ресурсного центра по подготовке к ЕГЭ.
02.06 - 13.06 - Онлайн-курс "Параметры"
Код для записи  2273825
Ссылка https://www.mos.ru/pgu2/activity/card/523596

16.06 -27.06 - Онлайн-курс "Сложные задачи ЕГЭ"
Код для записи 2273877
Ссылка https://www.mos.ru/pgu2/activity/card/523658
📢 Успейте записаться! Количество мест ограничено.

Кто изображён на картине?

Почему нельзя причесать ежа?

Представьте, что вы попытаетесь уложить волосы на поверхности шара. Оказывается, как бы вы ни пытались его причёсывать, хоть круговыми движениями, хоть радиальными, — где-то всё равно образуется вихор или проплешина. Этот эффект — не недостаток парикмахера, а свойство пространства! Его описывает теорема о волосатом шаре (Hairy Ball Theorem) — одна из самых любопытных идей топологии.
Теорема была доказана в 1912 г. голландцем Лёйтзеном Брауэром — тем самым, кто создал знаменитую теорему о неподвижной точке.
В чем суть теоремы о волосатом шаре?
Любое непрерывное векторное поле на сфере обязательно имеет хотя бы одну точку, где вектор равен нулю.
Если представлять себе каждый волосок в виде стрелки, указывающей направление, то как бы вы ни расчёсывали их, всегда найдется хотя бы одна точка, где стрелка будет торчать вертикально (как макушка) или закручиваться в вихор.
Почему так происходит?
Сферу нельзя «причесать» из-за её топологических свойств. Если бы такое было возможно, это нарушило бы условия степени отображения — инструмента, который связывает направление векторов с глобальными характеристиками поверхности. Проще говоря, сфера слишком «симметрична» и «замкнута», чтобы все векторы на ней могли быть согласованы.
А вот на торе (бублике) всё иначе! Его характеристика Эйлера равна 0, поэтому «причесать» его можно без вихрей. Там векторы можно направить по кругу вокруг дырки, и никаких проблем не возникнет. И, таким образом, теоретически возможно создать заведомо неаппетитный волосатый бублик, на котором все волоски будут приглажены вдоль его поверхности.
Ну, скажете, волосатый бублик никому не нужен. Хорошо, но тот же тор играет важнейшую роль и в таком амбициозном проекте, как создание термоядерного реактора. Для запуска термоядерной реакции необходимо удержать раскаленную плазму, температура которой превышает температуру на поверхности Солнца. Сферическая или цилиндрическая система магнитного удержания плазмы топологически эквивалентна «волосатому шару». А это значит, что в ней обязательно найдутся «слабые места», где магнитное поле будет ослаблено, что приведёт к утечке плазмы и срыву реакции. Ни один материальный сосуд не способен держать нагретую плазму, и в квазистационарной схеме этот «сосуд» делают из магнитного поля. Существуют две конструкции такого реактора: советский токамак и американский стелларатор, оба топологически торы.
Теорема о волосатом шаре — не просто абстракция, она объясняет многие реальные явления.
Например, в метеорологии: на Земле всегда есть точка, где ветер не дует (полный штиль) или образует вихрь. Такая точка будет центром циклона или антициклона: ветер будет закручиваться вокруг этой точки.
В гидродинамике: в потоках воды или воздуха завихрения возникают не случайно — их существование топологически обосновано.
В робототехнике: при планировании движения дронов или роботов учитывают, что в некоторых системах неизбежны «особые точки», где направление движения становится неопределённым.
Теорема также имеет значение для компьютерного моделирования (в том числе разработки видеоигр), в котором распространённой задачей является вычисление ненулевого вектора, ортогонального заданному; теорема о волосатом шаре подразумевает, что не существует единой непрерывной функции, которая выполняет эту задачу.
Учёный-материаловед Ф. Стеллаччи из МТИ использовал теорему о волосатом шаре, чтобы заставить наночастицы слипаться друг с другом, формируя длинные цепочечные структуры. Группа учёных под его руководством покрывала наночастицы золота волосками из молекулярной серы. Согласно теореме, волоски, в одном или нескольких местах торчат вертикально, и эти точки являются нестабильными дефектами на поверхности частиц. Это даёт возможность легко заменить их химическими веществами, которые ведут себя, как маленькие ручки, которыми эти частицы держатся друг за друга; они могут быть использованы для формирования нанопроволоки в электронных устройствах.
Ещё по теме: видео о причёсывании ежа от Vital Math.