Основное свойство дроби как метод решения уравнений

Сперва вспомним старый анекдот. В бар заходит довольно большое количество математиков — n человек. Первый из них просит налить пинту пива, второй просит налить полпинты, третий — четверть пинты… Тут бармен и говорит: «Стоп-стоп, ребята. Вот вам на всех 2 – 2¹⁻ⁿ пинты и делите как хотите».

При решении некоторых уравнений полезно иметь в виду приём домножения обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную. Это действие стоит попробовать в том случае, если в его результате при помощи алгебраических формул некое чудовище превратится в красавицу.

Пример 1. Решить систему уравнений:
y = x + 1,
(y + x)(y² + x²) (y⁴ + x⁴) = 255x⁸.

Решение. Домножим второе уравнение на выражение (y – x), равное 1 в силу первого уравнения. После трёхкратного применения формулы разности квадратов получим:
y⁸ – x⁸ = 255x⁸.
Отсюда найдём: y = 2x или y = –2x.
С учётом первого уравнения получим решение:
(x; y) ∈ {(1; 2); (–⅓; ⅔)}.


Пример 2. Решить уравнение:
(1 + x + … + x⁷)(1 + x + … + x⁵) =
= (1 + x + … + x⁶)².

Решение. Домножим обе части равенства на (1 – x)² и применим к каждому множителю формулу сокращённого умножения (или, если угодно, формулу суммы геометрической прогрессии), получим:
(1 – x⁸) (1 – x⁶) = (1 – x⁷)².
Тут важно сразу отметить, что это уравнение не равносильно исходному, а отличается от него наличием лишнего корня x = 1, приобретённого в результате умножения обеих частей равенства на множитель (1 – x).
Последнее уравнение сводится к равенству
x⁶(1 – x)² = 0, имеющему корни 0 и 1. Но корень 1 — посторонний, ответ: x ∈ {0}.


Пример 3. Решить уравнение:
4 cos x cos 2x cos 3x = cos 6x.

Решение. Домножим обе части уравнения на sin x, сразу заметив, что корни уравнения sin x = 0 не являются корнями данного уравнения. Это означает, что из ответа, который мы получим, их придётся исключить.
После двукратного применения формулы синуса двойного угла уравнение примет вид:
sin 4x cos 3x = sin x cos 6x.
Применив формулу произведения синуса и косинуса, придём к уравнению
sin 7x + sin x = sin 7x – sin 5x, или
sin x = sin (–5x).
Отсюда получим совокупность решений:
x = πn/3,
x = π/4 + πn/2.
Из первой серии решений осталось исключить корни уравнения sin x = 0, т.е. значения x = πk, k∈ℤ.
Окончательно получим:
x ∈ {± π/3 + πn; π/4 + πn/2 | n∈ℤ}.

Пример. Разложить на множители многочлен x ⁸ + x⁴ + 1.

Решение этого примера проще всего провести методом выделения полного квадрата:
x ⁸ + x⁴ + 1 = (x⁴ + 1)² – x⁴ =
= (x⁴ – x² + 1)(x⁴ + x² + 1) =
= ((x² + 1)² – 3x²) ((x² + 1)² – x²) =
= (x² – √3x + 1) (x² + √3x + 1)×
×(x² – x + 1) (x² + x + 1).

Leonid Koganov выполнил это разложение с помощью комплексных чисел, сведя задачку к вычислению корня 12-й степени из 1 с последующим исключением «лишних» корней и попарным перемножением множителей, содержащих сопряжённые корни.

Задача Валерия Казакова. ABCD — квадрат. Точка М расположена внутри квадрата и удалена от вершины А на расстояние 2, от В — на 1, от С — на √2. Найти площадь квадрата.

Решения задачи по ссылке.

Открыта запись на летние онлайн-курсы по  математике!
Мы предлагаем 20 часов онлайн-занятий с учителем математики Пятьдесят седьмой школы. На протяжении двух недель вы получите максимум практики и обратной связи, разберете задания 13-19 ЕГЭ по профильной математике, методы решений и ловушки, освоите нестандартные подходы к выполнению заданий.
💡 Кому подойдут эти курсы?
▪ Ученикам, окончившим 10 класс
▪ Тем, кто хочет научиться решать 13-19 задачи без страха
▪ Ученикам, которые готовы трудиться и стремиться к результату

👨‍🏫 Преподаватель: Буфеев Сергей Валентинович, учитель высшей квалификационной категории, старший эксперт ЕГЭ, преподаватель МГТУ имени Н.Э. Баумана,  член методической комиссии олимпиады МГТУ "Шаг в будущее", победитель конкурсов лучших учителей Москвы и РФ, преподавателем ресурсного центра по подготовке к ЕГЭ.
02.06 - 13.06 - Онлайн-курс "Параметры"
Код для записи  2273825
Ссылка https://www.mos.ru/pgu2/activity/card/523596

16.06 -27.06 - Онлайн-курс "Сложные задачи ЕГЭ"
Код для записи 2273877
Ссылка https://www.mos.ru/pgu2/activity/card/523658
📢 Успейте записаться! Количество мест ограничено.

Кто изображён на картине?

Почему нельзя причесать ежа?

Представьте, что вы попытаетесь уложить волосы на поверхности шара. Оказывается, как бы вы ни пытались его причёсывать, хоть круговыми движениями, хоть радиальными, — где-то всё равно образуется вихор или проплешина. Этот эффект — не недостаток парикмахера, а свойство пространства! Его описывает теорема о волосатом шаре (Hairy Ball Theorem) — одна из самых любопытных идей топологии.
Теорема была доказана в 1912 г. голландцем Лёйтзеном Брауэром — тем самым, кто создал знаменитую теорему о неподвижной точке.
В чем суть теоремы о волосатом шаре?
Любое непрерывное векторное поле на сфере обязательно имеет хотя бы одну точку, где вектор равен нулю.
Если представлять себе каждый волосок в виде стрелки, указывающей направление, то как бы вы ни расчёсывали их, всегда найдется хотя бы одна точка, где стрелка будет торчать вертикально (как макушка) или закручиваться в вихор.
Почему так происходит?
Сферу нельзя «причесать» из-за её топологических свойств. Если бы такое было возможно, это нарушило бы условия степени отображения — инструмента, который связывает направление векторов с глобальными характеристиками поверхности. Проще говоря, сфера слишком «симметрична» и «замкнута», чтобы все векторы на ней могли быть согласованы.
А вот на торе (бублике) всё иначе! Его характеристика Эйлера равна 0, поэтому «причесать» его можно без вихрей. Там векторы можно направить по кругу вокруг дырки, и никаких проблем не возникнет. И, таким образом, теоретически возможно создать заведомо неаппетитный волосатый бублик, на котором все волоски будут приглажены вдоль его поверхности.
Ну, скажете, волосатый бублик никому не нужен. Хорошо, но тот же тор играет важнейшую роль и в таком амбициозном проекте, как создание термоядерного реактора. Для запуска термоядерной реакции необходимо удержать раскаленную плазму, температура которой превышает температуру на поверхности Солнца. Сферическая или цилиндрическая система магнитного удержания плазмы топологически эквивалентна «волосатому шару». А это значит, что в ней обязательно найдутся «слабые места», где магнитное поле будет ослаблено, что приведёт к утечке плазмы и срыву реакции. Ни один материальный сосуд не способен держать нагретую плазму, и в квазистационарной схеме этот «сосуд» делают из магнитного поля. Существуют две конструкции такого реактора: советский токамак и американский стелларатор, оба топологически торы.
Теорема о волосатом шаре — не просто абстракция, она объясняет многие реальные явления.
Например, в метеорологии: на Земле всегда есть точка, где ветер не дует (полный штиль) или образует вихрь. Такая точка будет центром циклона или антициклона: ветер будет закручиваться вокруг этой точки.
В гидродинамике: в потоках воды или воздуха завихрения возникают не случайно — их существование топологически обосновано.
В робототехнике: при планировании движения дронов или роботов учитывают, что в некоторых системах неизбежны «особые точки», где направление движения становится неопределённым.
Теорема также имеет значение для компьютерного моделирования (в том числе разработки видеоигр), в котором распространённой задачей является вычисление ненулевого вектора, ортогонального заданному; теорема о волосатом шаре подразумевает, что не существует единой непрерывной функции, которая выполняет эту задачу.
Учёный-материаловед Ф. Стеллаччи из МТИ использовал теорему о волосатом шаре, чтобы заставить наночастицы слипаться друг с другом, формируя длинные цепочечные структуры. Группа учёных под его руководством покрывала наночастицы золота волосками из молекулярной серы. Согласно теореме, волоски, в одном или нескольких местах торчат вертикально, и эти точки являются нестабильными дефектами на поверхности частиц. Это даёт возможность легко заменить их химическими веществами, которые ведут себя, как маленькие ручки, которыми эти частицы держатся друг за друга; они могут быть использованы для формирования нанопроволоки в электронных устройствах.
Ещё по теме: видео о причёсывании ежа от Vital Math.

Гаусс vs Парето: какой закон управляет нашей жизнью?

В мире вероятностей два распределения спорят за влияние на реальность:
нормальное (Гауссово) и Парето (80/20).
Они — как два разных взгляда на устройство мира:
один про баланс, другой — про дисбаланс.

Гаусс: мир равных возможностей, где всё как у всех, нет героев, но нет и провалов.
Нормальное распределение — это кривая с пиком в центре и симметричными «хвостами». Оно возникает, когда много независимых факторов складываются в общий результат.
Примеры. Рост людей: большинство близки к среднему, а великаны и карлики — редкость. Биологические параметры: давление, вес, скорость реакции. Ошибки измерений: при многократном взвешивании погрешности распределяются вокруг истинного значения.
Распределение Гаусса описывает равновесие и отклонение от него. Здесь всё сбалансированно, отклонения в обе стороны симметричны и тем реже, чем они сильнее.

Парето: мир, где выживает сильнейший. Власть меньшинства. Мир стартапов, науки и социальных сетей, где влияние одной звезды может быть силнее действия тысячи других человек. Мир неравномерен, и это его естественное состояние.
Закон Парето (степенное распределение) — асимметричный, с «тяжёлым хвостом».
Здесь: 20% усилий дают 80% результата; 20% людей владеют 80% всех ресурсов; 20% людей выпивают 80% пива; 20% слов несут 80% смысла. Также этот закон встречается в распределении популярности книг, песен, сайтов, «вирусности» постов, в ошибках в коде, в распределении расходов на здравоохранение и т.п. Идея 20/80 стала универсальной метафорой, условным обозначением принципа сильной асимметрии, когда многое сосредоточено в малом, но реальное отношение, конечно, может быть и другим.
Закон Парето описывает дисбаланс, неравенство и «чёрных лебедей» — событий, которые редко происходят, но всё переворачивают (термин Нассима Толеба, автора экономических бестселлеров).

Гаусс возникает из-за сложения факторов (например, рост = гены + питание + спорт; это отражает Центральную предельную теорему).
Парето — из-за мультипликативных процессов (богатство = капитал × инвестиции × удача), когда механизм роста является кумулятивным, т.е. накапливает преимущество. Например, кто уже богат, может быстрее разбогатеть; кто уже популярен, чаще становится ещё популярнее.

Но бывают ситуации, когда всё запутано, и Гаусс и Парето спорят. Например,
• Финансы: Ежедневные колебания цен часто близки к нормальному распределению, но кризисы (например, обвалы рынков, пузыри) описываются «хвостами» Парето.
• Социология: Доходы большинства людей могут быть условно «нормальными», но сверхбогатые формируют «хвост» Парето.
• Интернет-трафик: Большинство посещений сосредоточено на небольшом числе сайтов (Парето), но активность внутри сайта может быть нормально распределена.
• Природные катаклизмы: землетрясения малой магнитуды встречаются часто (Гаусс); мегаземлетрясения редки, но разрушительны (Парето).
• Успеваемость студентов: если курс построен ровно — получится Гаусс. Но если есть бонусы и лидерство — появится Парето.
• Продажи книг: если книги примерно одинаково популярны — Гаусс. Но в реальности — один «Гарри Поттер» делает кассу.
• Вклад сотрудников в проект: в чётко организованной команде — ближе к норме; в креативной среде — один гений может всё изменить.

Мир не выбирает между «равенством» и «неравенством» — он использует оба сценария. Гаусс и Парето — два ключа к разным дверям реальности. Первый работает в мире стабильности и усреднённости, второй — в мире неравенства и катастроф. Мир не всегда «средний» — иногда он «хвостатый». Гауссово распределение отражает баланс и стабильность, а Парето — концентрацию и изменчивость. Понимание этого помогает видеть целостную картину.

А в вашей жизни кто играет большую роль: Гаусс (предсказуемость) или Парето (стремительный рост ценой риска)?
И как вы себе представляете идеальное общество — какое оно: справедливое (Гаусс) или эффективное (Парето)?
Пишите в комментариях!

В дополнение к предыдущему посту, чтобы не быть неправильно понятым, будто бы все другие распределения не играют значимой роли. Прежде всего, Гаусс и Парето — не конкуренты, а, скорее, союзники; это два ключевых инструмента в богатой палитре теории вероятностей, но есть ещё десятки других, которые дополняют их. Само их выделение и противопоставление оправдано лишь с определённой точки зрения.
Другие распределения лучше отражают свой какой-то кусочек реальности. Например, время ожидания (между кликами в интернете или радиоактивный распад) хорошо описывается экспоненциальным распределением. А число успехов при фиксированном количестве попыток или число опечаток на странице — биномиальным распределением. И т.д.
В реальности мы часто наблюдаем гибриды или переходы от одного к другому. Например: распределение доходов или размеры городов может быть логнормальным в середине, и Парето в хвосте. Времена между поломками могут быть экспоненциальны, но также с «тяжёлым хвостом», если есть сбои-катастрофы. Мир данных — как калейдоскоп: повернёшь под другим углом — увидишь новую закономерность. Гаусс, Парето и другие распределения — это линзы, через которые мы рассматриваем реальность. Чем больше линз — тем полнее картина! Как говорил статистик Джордж Бокс: «Все модели неправильны, но некоторые полезны».

В поисках справедливости — 10

Задача. В старинной индейской игре два игрока одновременно показывают один или два пальца. Если сумма чисел, показанная пальцами, чётна, то первый игрок выигрывает соответствующее число очков у второго — второй платит первому сумму, равную числу поднятых пальцев. Если же сумма нечётна, то, наоборот, второй выигрывает у первого сумму, соответствующую числу выкинутых пальцев.
Является ли эта игра честной?

Решение задачи по ссылке.

В поисках справедливости — 11

Задача. Вам предлагается такая игра. В шапку кладутся три карточки. На одной с обеих сторон изображён крестик; на другой — с одной стороны крестик, с другой нолик; на третьей карточке — с обеих сторон нолик. Ваш противник вынимает одну карточку так, чтобы всем была видна только одна сторона. Теперь вам предлагается угадать, что изображено на другой стороне, сделав с противником равные ставки.

Подписчик Wave прислал интересную задачу и опрос на тему приведённого квадратного трёхчлена, изменив условие в известной задаче на бесконечность:

Какова вероятность, что квадратное уравнение x²+px+q = 0 имеет действительные корни, если коэффициенты p и q — вещественные случайные (в ℝ)?

Там же в чате Alex нашёл приближённое численное значение этой вероятности для распределений Гаусса (0.589) и Коши (0.663).
Однако обычно, если не указано иное, при вычислении геометрической вероятности имеют в виду равномерное распределение случайной величины. Но само равномерное распределение подразумевает, по определению, распределение в какой-то ограниченной области.
При этом задача не выглядит бессмысленной, и интуитивно кажется, что должен существовать какой-то способ расширения понятия на бесконечный случай. Как, к примеру, кажется разумным, что если вся плоскость представляет собой бесконечную шахматную доску, то вероятность попадания случайной точки на чёрную клетку (при равномерном распределении) должна равняться ½.

Как вам такой способ рассуждения? Вычислим эту вероятность для величины, равномерно распределённой в квадрате –А≤p≤A, –А≤q≤A, а затем возьмём предел этой вероятности при А→∞.
Найдём площадь внутри параболы 4q=p² в указанном квадрате — в отношении к площади всего квадрата она соответствует вероятности отсутствия вещественных корней.
При А>1 пределы интегрирования функции q = А – p²/4 будут равны: –2√А и 2√А. А значение определённого интеграла: 8А√А/3. Отсюда искомая вероятность Р(А) = 2/(3√А).
Видим, что при неограниченном увеличении А эта вероятность стремится к нулю. Таким образом, приходим к выводу, что квадратное уравнение x²+px+q = 0 почти всегда (с вероятностью, равной 1) имеет вещественные корни.

Верно ли это рассуждение? Нет, к сожалению, оно ошибочно. В пределе при А→∞ квадрат превращается в плоскость, при этом рассмотрение площадей теряет смысл, поскольку наши фигуры неизмеримы. Кроме того, если бы мы брали не квадрат, а какую-то другую фигуру, то, очевидно, и отношение площадей получилось бы иным.

На рисунке представлено разбиение квадрата на 21 квадрат, среди которых нет равных. Число внутри каждого квадрата означает длину его стороны. Соответственно, длина стороны большого квадрата равна (складывая длины сторон крайних квадратов) 50 + 35 + 27 = 50 + 29 + 33 = 33 + 37 + 42 = 27 + 19 + 24 + 42 = 112.

Существует ли куб, который можно разбить на конечное число попарно различных кубов с целочисленными значениями длин рёбер?