Кто изображён на картине?

Почему нельзя причесать ежа?

Представьте, что вы попытаетесь уложить волосы на поверхности шара. Оказывается, как бы вы ни пытались его причёсывать, хоть круговыми движениями, хоть радиальными, — где-то всё равно образуется вихор или проплешина. Этот эффект — не недостаток парикмахера, а свойство пространства! Его описывает теорема о волосатом шаре (Hairy Ball Theorem) — одна из самых любопытных идей топологии.
Теорема была доказана в 1912 г. голландцем Лёйтзеном Брауэром — тем самым, кто создал знаменитую теорему о неподвижной точке.
В чем суть теоремы о волосатом шаре?
Любое непрерывное векторное поле на сфере обязательно имеет хотя бы одну точку, где вектор равен нулю.
Если представлять себе каждый волосок в виде стрелки, указывающей направление, то как бы вы ни расчёсывали их, всегда найдется хотя бы одна точка, где стрелка будет торчать вертикально (как макушка) или закручиваться в вихор.
Почему так происходит?
Сферу нельзя «причесать» из-за её топологических свойств. Если бы такое было возможно, это нарушило бы условия степени отображения — инструмента, который связывает направление векторов с глобальными характеристиками поверхности. Проще говоря, сфера слишком «симметрична» и «замкнута», чтобы все векторы на ней могли быть согласованы.
А вот на торе (бублике) всё иначе! Его характеристика Эйлера равна 0, поэтому «причесать» его можно без вихрей. Там векторы можно направить по кругу вокруг дырки, и никаких проблем не возникнет. И, таким образом, теоретически возможно создать заведомо неаппетитный волосатый бублик, на котором все волоски будут приглажены вдоль его поверхности.
Ну, скажете, волосатый бублик никому не нужен. Хорошо, но тот же тор играет важнейшую роль и в таком амбициозном проекте, как создание термоядерного реактора. Для запуска термоядерной реакции необходимо удержать раскаленную плазму, температура которой превышает температуру на поверхности Солнца. Сферическая или цилиндрическая система магнитного удержания плазмы топологически эквивалентна «волосатому шару». А это значит, что в ней обязательно найдутся «слабые места», где магнитное поле будет ослаблено, что приведёт к утечке плазмы и срыву реакции. Ни один материальный сосуд не способен держать нагретую плазму, и в квазистационарной схеме этот «сосуд» делают из магнитного поля. Существуют две конструкции такого реактора: советский токамак и американский стелларатор, оба топологически торы.
Теорема о волосатом шаре — не просто абстракция, она объясняет многие реальные явления.
Например, в метеорологии: на Земле всегда есть точка, где ветер не дует (полный штиль) или образует вихрь. Такая точка будет центром циклона или антициклона: ветер будет закручиваться вокруг этой точки.
В гидродинамике: в потоках воды или воздуха завихрения возникают не случайно — их существование топологически обосновано.
В робототехнике: при планировании движения дронов или роботов учитывают, что в некоторых системах неизбежны «особые точки», где направление движения становится неопределённым.
Теорема также имеет значение для компьютерного моделирования (в том числе разработки видеоигр), в котором распространённой задачей является вычисление ненулевого вектора, ортогонального заданному; теорема о волосатом шаре подразумевает, что не существует единой непрерывной функции, которая выполняет эту задачу.
Учёный-материаловед Ф. Стеллаччи из МТИ использовал теорему о волосатом шаре, чтобы заставить наночастицы слипаться друг с другом, формируя длинные цепочечные структуры. Группа учёных под его руководством покрывала наночастицы золота волосками из молекулярной серы. Согласно теореме, волоски, в одном или нескольких местах торчат вертикально, и эти точки являются нестабильными дефектами на поверхности частиц. Это даёт возможность легко заменить их химическими веществами, которые ведут себя, как маленькие ручки, которыми эти частицы держатся друг за друга; они могут быть использованы для формирования нанопроволоки в электронных устройствах.
Ещё по теме: видео о причёсывании ежа от Vital Math.

Гаусс vs Парето: какой закон управляет нашей жизнью?

В мире вероятностей два распределения спорят за влияние на реальность:
нормальное (Гауссово) и Парето (80/20).
Они — как два разных взгляда на устройство мира:
один про баланс, другой — про дисбаланс.

Гаусс: мир равных возможностей, где всё как у всех, нет героев, но нет и провалов.
Нормальное распределение — это кривая с пиком в центре и симметричными «хвостами». Оно возникает, когда много независимых факторов складываются в общий результат.
Примеры. Рост людей: большинство близки к среднему, а великаны и карлики — редкость. Биологические параметры: давление, вес, скорость реакции. Ошибки измерений: при многократном взвешивании погрешности распределяются вокруг истинного значения.
Распределение Гаусса описывает равновесие и отклонение от него. Здесь всё сбалансированно, отклонения в обе стороны симметричны и тем реже, чем они сильнее.

Парето: мир, где выживает сильнейший. Власть меньшинства. Мир стартапов, науки и социальных сетей, где влияние одной звезды может быть силнее действия тысячи других человек. Мир неравномерен, и это его естественное состояние.
Закон Парето (степенное распределение) — асимметричный, с «тяжёлым хвостом».
Здесь: 20% усилий дают 80% результата; 20% людей владеют 80% всех ресурсов; 20% людей выпивают 80% пива; 20% слов несут 80% смысла. Также этот закон встречается в распределении популярности книг, песен, сайтов, «вирусности» постов, в ошибках в коде, в распределении расходов на здравоохранение и т.п. Идея 20/80 стала универсальной метафорой, условным обозначением принципа сильной асимметрии, когда многое сосредоточено в малом, но реальное отношение, конечно, может быть и другим.
Закон Парето описывает дисбаланс, неравенство и «чёрных лебедей» — событий, которые редко происходят, но всё переворачивают (термин Нассима Толеба, автора экономических бестселлеров).

Гаусс возникает из-за сложения факторов (например, рост = гены + питание + спорт; это отражает Центральную предельную теорему).
Парето — из-за мультипликативных процессов (богатство = капитал × инвестиции × удача), когда механизм роста является кумулятивным, т.е. накапливает преимущество. Например, кто уже богат, может быстрее разбогатеть; кто уже популярен, чаще становится ещё популярнее.

Но бывают ситуации, когда всё запутано, и Гаусс и Парето спорят. Например,
• Финансы: Ежедневные колебания цен часто близки к нормальному распределению, но кризисы (например, обвалы рынков, пузыри) описываются «хвостами» Парето.
• Социология: Доходы большинства людей могут быть условно «нормальными», но сверхбогатые формируют «хвост» Парето.
• Интернет-трафик: Большинство посещений сосредоточено на небольшом числе сайтов (Парето), но активность внутри сайта может быть нормально распределена.
• Природные катаклизмы: землетрясения малой магнитуды встречаются часто (Гаусс); мегаземлетрясения редки, но разрушительны (Парето).
• Успеваемость студентов: если курс построен ровно — получится Гаусс. Но если есть бонусы и лидерство — появится Парето.
• Продажи книг: если книги примерно одинаково популярны — Гаусс. Но в реальности — один «Гарри Поттер» делает кассу.
• Вклад сотрудников в проект: в чётко организованной команде — ближе к норме; в креативной среде — один гений может всё изменить.

Мир не выбирает между «равенством» и «неравенством» — он использует оба сценария. Гаусс и Парето — два ключа к разным дверям реальности. Первый работает в мире стабильности и усреднённости, второй — в мире неравенства и катастроф. Мир не всегда «средний» — иногда он «хвостатый». Гауссово распределение отражает баланс и стабильность, а Парето — концентрацию и изменчивость. Понимание этого помогает видеть целостную картину.

А в вашей жизни кто играет большую роль: Гаусс (предсказуемость) или Парето (стремительный рост ценой риска)?
И как вы себе представляете идеальное общество — какое оно: справедливое (Гаусс) или эффективное (Парето)?
Пишите в комментариях!

В дополнение к предыдущему посту, чтобы не быть неправильно понятым, будто бы все другие распределения не играют значимой роли. Прежде всего, Гаусс и Парето — не конкуренты, а, скорее, союзники; это два ключевых инструмента в богатой палитре теории вероятностей, но есть ещё десятки других, которые дополняют их. Само их выделение и противопоставление оправдано лишь с определённой точки зрения.
Другие распределения лучше отражают свой какой-то кусочек реальности. Например, время ожидания (между кликами в интернете или радиоактивный распад) хорошо описывается экспоненциальным распределением. А число успехов при фиксированном количестве попыток или число опечаток на странице — биномиальным распределением. И т.д.
В реальности мы часто наблюдаем гибриды или переходы от одного к другому. Например: распределение доходов или размеры городов может быть логнормальным в середине, и Парето в хвосте. Времена между поломками могут быть экспоненциальны, но также с «тяжёлым хвостом», если есть сбои-катастрофы. Мир данных — как калейдоскоп: повернёшь под другим углом — увидишь новую закономерность. Гаусс, Парето и другие распределения — это линзы, через которые мы рассматриваем реальность. Чем больше линз — тем полнее картина! Как говорил статистик Джордж Бокс: «Все модели неправильны, но некоторые полезны».

В поисках справедливости — 10

Задача. В старинной индейской игре два игрока одновременно показывают один или два пальца. Если сумма чисел, показанная пальцами, чётна, то первый игрок выигрывает соответствующее число очков у второго — второй платит первому сумму, равную числу поднятых пальцев. Если же сумма нечётна, то, наоборот, второй выигрывает у первого сумму, соответствующую числу выкинутых пальцев.
Является ли эта игра честной?

Решение задачи по ссылке.

В поисках справедливости — 11

Задача. Вам предлагается такая игра. В шапку кладутся три карточки. На одной с обеих сторон изображён крестик; на другой — с одной стороны крестик, с другой нолик; на третьей карточке — с обеих сторон нолик. Ваш противник вынимает одну карточку так, чтобы всем была видна только одна сторона. Теперь вам предлагается угадать, что изображено на другой стороне, сделав с противником равные ставки.

Подписчик Wave прислал интересную задачу и опрос на тему приведённого квадратного трёхчлена, изменив условие в известной задаче на бесконечность:

Какова вероятность, что квадратное уравнение x²+px+q = 0 имеет действительные корни, если коэффициенты p и q — вещественные случайные (в ℝ)?

Там же в чате Alex нашёл приближённое численное значение этой вероятности для распределений Гаусса (0.589) и Коши (0.663).
Однако обычно, если не указано иное, при вычислении геометрической вероятности имеют в виду равномерное распределение случайной величины. Но само равномерное распределение подразумевает, по определению, распределение в какой-то ограниченной области.
При этом задача не выглядит бессмысленной, и интуитивно кажется, что должен существовать какой-то способ расширения понятия на бесконечный случай. Как, к примеру, кажется разумным, что если вся плоскость представляет собой бесконечную шахматную доску, то вероятность попадания случайной точки на чёрную клетку (при равномерном распределении) должна равняться ½.

Как вам такой способ рассуждения? Вычислим эту вероятность для величины, равномерно распределённой в квадрате –А≤p≤A, –А≤q≤A, а затем возьмём предел этой вероятности при А→∞.
Найдём площадь внутри параболы 4q=p² в указанном квадрате — в отношении к площади всего квадрата она соответствует вероятности отсутствия вещественных корней.
При А>1 пределы интегрирования функции q = А – p²/4 будут равны: –2√А и 2√А. А значение определённого интеграла: 8А√А/3. Отсюда искомая вероятность Р(А) = 2/(3√А).
Видим, что при неограниченном увеличении А эта вероятность стремится к нулю. Таким образом, приходим к выводу, что квадратное уравнение x²+px+q = 0 почти всегда (с вероятностью, равной 1) имеет вещественные корни.

Верно ли это рассуждение? Нет, к сожалению, оно ошибочно. В пределе при А→∞ квадрат превращается в плоскость, при этом рассмотрение площадей теряет смысл, поскольку наши фигуры неизмеримы. Кроме того, если бы мы брали не квадрат, а какую-то другую фигуру, то, очевидно, и отношение площадей получилось бы иным.

На рисунке представлено разбиение квадрата на 21 квадрат, среди которых нет равных. Число внутри каждого квадрата означает длину его стороны. Соответственно, длина стороны большого квадрата равна (складывая длины сторон крайних квадратов) 50 + 35 + 27 = 50 + 29 + 33 = 33 + 37 + 42 = 27 + 19 + 24 + 42 = 112.

Существует ли куб, который можно разбить на конечное число попарно различных кубов с целочисленными значениями длин рёбер?

Кубирование куба, то есть разбиение куба на конечное число попарно неравных между собой кубов, невозможно.
Доказательство. Допустим, что искомое разбиение куба существует.
Рассмотрим одну из граней куба, очевидно, не уменьшая общность, можно выбрать нижнюю грань.
На нижней грани стоят неравновеликие кубы, своими нижними рёбрами разбивающие грань на неравновеликие квадраты.
Найдём самый маленький квадрат разбиения нижней грани. Очевидно, что этот квадрат не может примыкать к ребру куба, будучи ограничен сторонами бо́льших квадратов, следовательно, он должен располагаться где-то внутри грани.
Теперь рассмотрим верхнюю грань этого малого кубика. Поскольку по предположению это самый маленький кубик на нижней грани куба, он окружен более высокими кубами. Поэтому на его верхнюю грань не заступает ни один соседний куб. Следовательно, стоящие на этой грани кубики меньшего размера снова разбивают верхнюю грань этого кубика на неравновеликие квадраты, причём самый малый квадрат разбиения верхней грани рассматриваемого кубика снова не может принадлежать ребру кубика и находится внутри грани.
Продолжая этот процесс рассуждения, получаем бесконечную последовательность кубов, каждый из которых меньше предыдущего и примыкает к его верхней грани. Это противоречит начальному предположению.
Такое рассуждение называют методом бесконечного спуска.

Как законы электротехники помогли решить задачу квадрирования квадрата

В 1903 г. Макс Ден задал вопрос: «Можно ли разрезать квадрат на конечное число меньших квадратов, все разных размеров?». Долгое время задача считалась нерешаемой — до 1939 г., когда первые примеры такого разбиения всё же были найдены (четырьмя студентами Тринити-колледжа Кембриджского университета). Удивительным образом, эта задача оказалась тесно связанной с теорией графов, комбинаторикой и... правилами Кирхгофа из физики.
Они предложили представлять квадраты разбиения как элементы электрической цепи: линейный размер квадрата — сопротивление резистора; горизонтальные границы между квадратами — узлы цепи; вертикальные границы — контуры.
Как это работает? Каждый квадрат «втекает» током в свои границы.
По первому правилу Кирхгофа: сумма токов, втекающих в узел, равна сумме вытекающих. В терминах квадратов это означает, что сумма длин сторон, сходящихся в узле, должна быть одинаковой.
По второму правилу Кирхгофа: сумма падений напряжений в замкнутом контуре равна нулю. Для квадратов это условие сохранения размеров при обходе контура.
Таким образом, задача сводится к решению системы линейных уравнений, где неизвестные — длины сторон квадратов. Решение этой системы даёт искомое разбиение.
В 1978 г. было найдено минимальное разбиение из 21 квадрата (его размеры — корни системы из 26 уравнений!). Кстати, его нашёл студент-архитектор из Нидерландов — не математик.
Задача о квадрировании квадрата — яркий пример того, как идеи из одной области науки (электротехники) могут неожиданно решить проблему в другой (геометрии). Она напоминает: математика — это не набор изолированных тем, а единый организм, где всё взаимосвязано. Кажущиеся абстракции могут оказаться ключом к решению практических проблем — даже если для этого нужно представить квадраты резисторами!

Прочитать о квадрировании квадрата с помощью электрических цепей можно в книгах [Возможность разбиения на 21 квадрат на тот момент ещё не была известна!]:
Яглом И.М. «Как разрезать квадрат», 1968;
Гарднер М. «Математические головоломки и развлечения», 1971.

Задача И.Ф. Шарыгина. Из реалий 90-х.
Многочисленные бомжи, появившиеся в наших городах, чтобы покурить, собирают окурки. Из трёх окурков бомжи наловчились делать одну самокрутку. Сколько самокруток сможет выкурить бомж, собравший 24 окурка?

Предлагается такое решение задачи. Наш герой сделает и выкурит 8 самокруток. После этого у него будет 8 окурков: из 6 окурков он сделает и выкурит ещё 2 самокрутки, и у него останется 4 окурка. Из трёх окурков он сделает и выкурит ещё одну самокрутку. (Для математической строгости стоит упомянуть, что относительно последовательности действий результат инвариантен: на каждом шаге создания и выкуривания одной самокрутки количество окурков уменьшается на 2.) И вот наконец у него осталось 2 окурка…
А теперь самое интересное: одолжив у другого бомжа один окурок, он сделает ещё одну самокрутку и, выкурив её, вернёт долг! Таким образом, всего он сможет выкурить 8+2+1+1=12 самокруток.

Считаете ли вы это решение математически корректным?

На рисунке изображён квадрат. Найдите сумму площадей зелёных треугольников.

Решение задачи по ссылке.

В июне стартует онлайн-курс по теории вероятностей от автора «Кроссворда Тьюринга» Вани Яковлева. Это двухмесячный курс для тех, кто хочет разобраться в теорвере с нуля на глубоком уровне — через решение практических задач. Подробности в посте ниже.