Про комбинаторику

В этом году на очном кружке экспериментирую с программой. В некоторых классах я выделил одну-две темы, которым посвящаю циклы из нескольких занятий. Такой подход имеет слабые места (с одной стороны, преподавателю приходится жертвовать какими-то условно важными темами, а с другой стороны, есть проблема пропуска учениками занятия из цикла), но зато даёт возможность ученикам самостоятельно в своём темпе выработать личную интуицию в выбранной теме, без зазубривания алгоритмов и формул (хотя и это иногда встречается).

Одной из таких тем для всех классов стала комбинаторика. Например в 7 классе в первом полугодии вокруг комбинаторике было построено 5 занятий, и ещё 2-3 занятия ждёт ребят в конце весны. С ребятами помладше я не рискую так много времени оставаться на одной теме, но свои 3 занятия четвероклассники получили.

Про то, как можно обсуждать с детьми комбинаторику я расскажу на вебинарах Первого сентября, которые начнутся 30 марта. Я затрону такие темы как:
✨дерево вариантов
✨как решать задачи с помощью перебора
✨смысл факториала
✨как учитывать количество повторений
✨правило сложения и умножения
✨число сочетаний
и многое другое...

Рисуем окружности. Начало.
#материалы #геометрия #начальная_школа #средняя_школа

Фундаментальным геометрическим навыком является умение пользоваться чертёжными инструментами. Научиться делать аккуратные чертежи непросто, и особенно на первых порах ребятам нужен дополнительный стимул, с чем отлично справляется чувство прекрасного.

Собственно, именно эту цель и преследует прикрепленный листочек. В данном виде задачи предназначались для самостоятельного решения в 3 и 4 классах, но, как показала практика, даже первоклассники смогли порадоваться красивым рисункам. Важной составляющей этих задач является не только умение пользоваться циркулем, но и чувствовать положение окружности на бумаге.

Далее эксперимент продолжился на учениках 5+ классов. Для ребят постарше этот листочек стал разминкой перед задачами на построения циркулем и линейкой. Каждая из задач ниже начинается с того, что преподаватель чертит на нелинованной бумаге нечто, с чем продолжает работать ученик, опираясь на рисунки из разминки. В качестве помощи, преподаватель может указать на одно из выполненных заданий. Построения выполняются с помощью циркуля и линейки без делений (то есть измерять длину с помощью линейки нельзя).

#1
Преподаватель чертит окружность. Ученику нужно отметить на окружности 6 точек, образующие равносторонний шестиугольник.

#2
Преподаватель чертит окружность. Ученику нужно отметить на окружности 3 точки, образующие равносторонний треугольник.

#3
Преподаватель чертит окружность. Ученику нужно отметить на окружности 4 точки, образующие квадрат.

#4
Преподаватель чертит прямой угол. Ученику надо достроить угол до квадрата.

#5
Преподаватель чертит отрезок. Ученику нужно отметить середину отрезка.

#6
В квадрат из задачи #4 ученику нужно вписать окружность.

#7
Преподаватель чертит угол. Ученику нужно построить биссектрису этого угла.

#8
Преподаватель чертит треугольник (лучше остроугольный). Ученику нужно вписать в треугольник окружность.

- - - - -

🗿 если нужно больше рассказать про геометрию в начальной школе.

Рисуем окружности. Начало.
#материалы #геометрия #начальная_школа #средняя_школа

Фундаментальным геометрическим навыком является умение пользоваться чертёжными инструментами. Научиться делать аккуратные чертежи непросто, и особенно на первых порах ребятам нужен дополнительный стимул, с чем отлично справляется чувство прекрасного.

Собственно, именно эту цель и преследует прикрепленный листочек. В данном виде задачи предназначались для самостоятельного решения в 3 и 4 классах, но, как показала практика, даже первоклассники смогли порадоваться красивым рисункам. Важной составляющей этих задач является не только умение пользоваться циркулем, но и чувствовать положение окружности на бумаге.

Далее эксперимент продолжился на учениках 5+ классов. Для ребят постарше этот листочек стал разминкой перед задачами на построения циркулем и линейкой. Каждая из задач ниже начинается с того, что преподаватель чертит на нелинованной бумаге нечто, с чем продолжает работать ученик, опираясь на рисунки из разминки. В качестве помощи, преподаватель может указать на одно из выполненных заданий. Построения выполняются с помощью циркуля и линейки без делений (то есть измерять длину с помощью линейки нельзя).

#1
Преподаватель чертит окружность. Ученику нужно отметить на окружности 6 точек, образующие равносторонний шестиугольник.

#2
Преподаватель чертит окружность. Ученику нужно отметить на окружности 3 точки, образующие равносторонний треугольник.

#3
Преподаватель чертит окружность. Ученику нужно отметить на окружности 4 точки, образующие квадрат.

#4
Преподаватель чертит прямой угол. Ученику надо достроить угол до квадрата.

#5
Преподаватель чертит отрезок. Ученику нужно отметить середину отрезка.

#6
В квадрат из задачи #4 ученику нужно вписать окружность.

#7
Преподаватель чертит угол. Ученику нужно построить биссектрису этого угла.

#8
Преподаватель чертит треугольник (лучше остроугольный). Ученику нужно вписать в треугольник окружность.

- - - - -

🗿 если нужно больше рассказать про геометрию в начальной школе.

Вчера для одного шустрого четвероклассника пришлось придумывать ещё задачи на построение окружностей, но пока вместо них — смешная картинка.

Рисуем окружности. Продолжение.
#материалы #геометрия #начальная_школа #средняя_школа

Вторая часть задач, направленных на развитие чертёжных навыков и геометрической интуиции. Первая часть задач тут. В этот раз в задачах использована треугольная сетка. Листочек условно нацелен на 3-4 классы, но практика показала, что задачи могут быть по силам ребятам помладше и интересны ребятам постарше.

Рисуем с помощью линейки
#материалы #геометрия #начальная_школа

На вопрос «‎Что можно делать с помощью линейки?» многие (не только дети) уверенно отвечают «Измерять расстояния!», не обращая внимания на гораздо более глубокую идею о проведении прямых, а ведь умение проводить аккуратные прямые далеко не такое простое, особенно в 1-2 классах. Ну а лучшая мотивация в освоении этого искусства — красивые рисунки.

Именно этому использованию линейки и посвящён прикрепляемый листочек. Измерению расстояний между точками будет посвящён следующий пост.

Также предлагаю ссылку на исходник. Все рисунки выполнены в Google Документах, поэтому вы можете скопировать файл к себе на Google Диск и собрать свои рисунки.

Мастер-класс математического клуба
#анонс #младшая_школа

14 мая в рамках математического клуба пройдёт мастер-класс по геометрии для 1-6 классов. На нём мы будем работать с ножницами, циркулём и линейкой и обсудим необычные, но красивые явления. Ученикам 1-2 классов ОБЯЗАТЕЛЬНО понадобится помочь родителей, ученикам 3 класса такая помощь необязательна, но может быть кстати. Мастер-класс пройдёт в онлайн-формате.

Для участия всем классам понадобятся:
1. Распечатки (материалы мы пришлём 7 мая).
2. Простой и цветные карандаши.
3. Ластик.
4. Линейка.
5. Циркуль (стоит заранее потренироваться рисовать циркулём).

Расписание на 14 мая
10:00 — 10:45 1 класс
11:00 — 12:00 2-3 классы
12:30 — 13:30 4-6 классы

Стоимость участия: 1000 рублей. Количество мест ограничено.

Ссылка на регистрацию.

На онлайн-занятие, которое пройдёт 14 мая, ещё осталось несколько свободных мест. А я тем временем окончательно определился с темой! Мастер-класс будет посвящён азам топологии, а именно исследованию такого привычного геометрического объекта как лист бумаги. Будем много складывать, резать и клеить.

Ввиду приближающихся летних каникул родители всё чаще спрашивают, как дети могут самостоятельно или с помощью родителей разнообразить свой досуг математикой. Этой теме будут посвящены следующие посты. С чего начать?

🤯 — с приложений для телефонов и планшетов
⚡️— с настольных игр
🗿— с книжек и рабочих тетрадей

Книжки и рабочие тетради для почти самостоятельной работы
#книжки #начальна_школа #средняя_школа

Предлагаемый ниже список составлялся из расчёта на то, что материалы должны подходить для самостоятельного или почти самостоятельного использования, а для этого они должны быть, с одной стороны, наглядными, а с другой нести какую-то идею, способную замотивировать ученика доделать задание. Для учеников 1-3 классов такой мотивацией, в первую очередь, является получение красивого рисунка или чего-то в этом духе, ребята постарше уже готовы превозмогать, и для этого возраста мотивацией становится хорошее изложение материала.

Большинство из этих книг можно приобрести в Москве в книжной лавке МЦНМО. Несмотря на скромный размер магазина, личное знакомство с этой лавкой может оставить неизгладимое впечатление на школьниках и их родителях, поэтому посещение оной рекомендуется хотя бы в рамках культурного досуга.

Так же в список не вошёл журнал "Квантик" с его замечательными альманахами, но не упомянуть его я не могу. Если вы не слышали про этот журнал и не были осенью на фестивале Квантик, можете ознакомиться со старыми номерами на сайте издания.

✨Е.Г. Козлова "Сказки и подсказки. Задачи для математического кружка"✨
Легендарная книга, выдержавшая уже 14 редакций. Важная особенность этой книги — наличие для каждой задачи подсказки, которая позволяет самостоятельно дойти до решения. Отличные задачи разного уровня и выверенные подсказки делают эту книгу доступной для самых юных математиков.

✨А. В. Спивак "1001 и 1 задача"✨
Ещё одна классическая книжка. Автор сборника — преподаватель Малого МехМата. Основной упор в этом сборнике делается на арифметические задачи. Как и в "Сказках и подсказках" есть указания к решению, а к наиболее трудным задачам даны подробные решения. Автором целевая аудитория определена как 5-7 классы, тем не менее с определённым уровнем мотивации пользу от книги может получить даже третьеклассник.

Для абсолютных фанатов математики на youtube есть множество записей лекций Александра Васильевича, просмотр которых можно совмещать с разборов задач из предлагаемой книги.

✨Серия «Школьные математические кружки»✨
Серия брошюр, адресованных в первую очередь преподавателям математики. Редакторы серии — организаторы множества олимпиад и авторы бесчётного количества задач. Книги как правило разбиты на занятия, кроме небольшой введения в тему и задач, в книгах есть подсказки и решения. Некоторые из этих книг отлично подойдут для самостоятельного изучения теми, кто закончил третий класс.
В контексте самостоятельного изучения особенно хочу выделить книжки:
П. В. Чулков "Арифметические задачи"
И. В. Раскина "Логика для всех. От пиратов до мудрецов"
И.В.Раскина, Д.Э.Шноль "Логические задачи"

✨А. П. Бегун, А. А. Солынин, А. П. Погода "Санкт-Петербургская математическая олимпиада начальной школы"✨
Сборники задач (для каждого класса своя книга) с Санкт-Петербурбургской олимпиады для начальной школы. Формат сборника (задачи собранны по годам, красивые переходы между задачами или красочные пояснения как, например в "Сказках и подсказках", отсутствуют) и высокая сложность (одну из задач я разбирал тут https://news.1rj.ru/str/mathfromnowhere/154) далают эти книги интересными в первую очередь для преподавателей или для ребят с очень высокой мотивацией (или строгими родителями).

✨Женя Кац "Необычная математика после уроков"✨
Серия рабочих тетрадей (для 5-6, 7, 8 и 9 лет) автора большого количества брошюр, рабочих тетрадей и пособий и организатора кружка Мышематика. Эта серия полная противоположность предыдущему пункту — много ярких иллюстраций, относительно невысокая сложность задач и возможность (даже необходимость рисовать) делают эту серию отличной идеей для самостоятельных занятий. Кроме этих книг, могу посоветовать ещё "Математику с ножницами".

✨Н. Б. Истомина, З. Б. Редько "Наглядная геометрия"✨
Отличная серия книг (для 1, 2, 3, 4 и 5 классов), которая особенно близка мне ввиду геометрической направленности, идеально выдерживает баланс между увлекательностью и серьёзностью изложения. Вообще геометрии в начальной школе уделяется преступно мало внимания, что можно легко исправить летом с помощью предлагаемых книг.

✨А. М. Галатенко , В. В. Панкратьева "Математическое приключение"✨
Замечательный комикс, вплетающий задачи в увлекательный фантастический сюжет. Несмотря на то, что задачи не удивят опытных олимпиадников, книга может доставить удовольствие всем интересеющимся математикой.

✨Анна Вельтман "Математика это красиво"✨
Графические тетради просто запредельной красоты и лёгкости. Книги могут подарить не один час увлекательных исследований, познакомить с большим количество самых разных изумительных математических явлений и просто развлечь, причём как первоклассника, так и взрослого человека. Единственный минус этих книг — закончившийся тираж, но вторую часть ещё можно встретить в оффлайн-магазинах. А может быть издательство наконец-то решится на переиздание например, если множество людей им об этом напишет.

Настольные игры для математиков и около
#игры #начальна_школа #средняя_школа

Идея использования разных настольных игр на занятиях лежит на поверхности, особенно учитывая широкий выбор. Но в этом случае возникает несколько вопросов:

❓Будет ли ученикам интересно играть?❓
Заставить учеников решать неинтересные задачи гораздо проще, чем заставить играть в неинтересную игру. Красивые иллюстрации могут сделать игру привлекательной на первое время, но на долго оформления не хватит. Поэтому игра должна быть достаточно глубокой, но при этом с понятными правилами.

❓Уместна ли игра на данном занятии?❓
Игра должна быть нацелена на определённый навык (или навыки). Игра в ассоциации может быть полезна на уроке русского языка (можно, например, ограничить игроков частями речи или наличием или отсутствием определённых букв), но на математике скорее будет пустой тратой времени. Держа в голове цель, преподаватель может подсказывать, упрощать или усложнять правила — всё на благо образовательного процесса.

❓Как научить играть в эту игру?❓
Ученики приходят на урок, чтобы учиться, поэтому важно заранее разобраться с правилами игры и продумать подводящие упражнения. Например для того, чтобы научиться играть в SET в 1-2 классах я отвожу минимум два урока.

Последовательно отвечая на эти вопросы, можно понять, насколько полезна будет игра в той или иной ситуации. Подборка разбита на три части. В первой части собраны игры, направленные на отработку арифметических навыков, вторая состоит их геометрических головоломок, а третья посвящена логическим и комбинаторным играм.

1️⃣Арифметические игры
Цель арифметических игр — отточить арифметику, причём наравне с умением считать без ошибок здорово развивать скорость счёта и память. Такие игры имеют низки порог входа, что, с одной стороны, хорошо, но, с другой, их не хватает надолго. Игры ниже отлично подойдут для того, чтобы скоротать 5-10 минут, но не более. Тем не менее, регулярное обращение к этим играм служит отличной мотивацией для улучшения арифметических навыков.

✨Турбосчёт, Клювосчёт✨
Игры делающие упор на работу с визуальной информацией, а именно посчёт предметов. Клювосчёт имеет чуть более запутанные правила.

✨Семь на девять, Семь на девять multi✨
Отличные соревновательные игры на отработку сложения, вычитания и умножения. Вариант с сложением/вычитанием кажется может быть немного сложнее освоить из-за фокуса на последней цифре результата вычислений.

✨Игры от Смарт кенгуру✨
Организаторы конкурса "Смарт кенгуру" (в 2021 году от международного конкурса отделилась группа преподавателей, которые организовали свой Кенгуру с игрой для дошколят и первоклассников) сделали несколько замечательных игр, подкупивших меня лаконичностью (видно, что авторы игр — преподаватели) и доступностью (как в плане правил, так и цены). Полный список игр можно (нужно!) найти на сайте книжной лавки конкурса, а я выделю игру "Весёлая арифметика", напоминающую "Семь на девять".

Знакомо что-то из этого списка?
🗿— да, 🤯 — нет.

Геометрические головоломки
#игры #начальна_школа #средняя_школа

Продолжаю серию постов, посвящённых настольным играм и головоломкам. В этот раз речь пойдёт о геометрических головоломках. Ввиду специфичности требуемых навыков определиться с целевой аудиторией этих игр очень сложно, почти также сложно как и переоценить удовольствие, которое могут доставить эти головоломки. Также оставляю ссылку на пост про музей головоломок.

2️⃣Геометрические головоломки

✨Сложи узор, Кубики для всех, Уникуб✨
Под этими названиями скрываются игры авторства Л.А. и Б.П. Никитиных. Все три игры строятся на общей механике: из данного набора кубиков или деталей надо сложить заданную фигуру. К каждой игре идёт комплект заданий, а ещё больше заданий можно найти в специальных альбомах и в книгах других авторов (например, "Сложи узор" Жени Кац). Ввиду наглядности игры доступны даже для дошколят. Рекомендую ознакомиться с сайтом издательства Ступенька творчества.

✨Смарт архитектор✨
Красочный изометрический конструктор от Смарт Кенгуру (о них я писал выше). Ввиду отсутствия конечной цели, отлично располагает к медитативной неспешной деятельности для самых юных математиков.

✨Танграм, Катамино (a. k. a. Пентамино), Гексарион✨
Это разного рода мозаики, отличающиеся друг от друга формой деталей и сложностью. В отличии от предыдущих игр, эти требуют умения систематического перебора и определённого упорства, что повышает порог вхождения. Помочь разобраться с этими играми можно рассмотрев каждую деталь отдельно и то, как детали соотносятся между собой. Пример такой подготовки можно найти в материалах Малого Мехмата. Так же есть различные вариации этих игр, например Под углом от Лас Играс.

✨Синий Куб✨
Идейное продолжение Кубиков для всех, но в этот раз деталей больше, они сами больше, да и задания на голову сложнее. Ввиду своей сложности, игра не подходит для детей.

✨Квадригами✨
Головоломка на складывание листа бумаги. Отлично развивает мелкую моторику, есть задания и для тех, кто только начал ходить в школу, так и для их родителей. Единственный минус — импульсивный игрок рискует испортить листочек с задание до того, как успеет решить.

Знакомо что-то из этого списка?
🗿— почти всё, ⚡️— 50/50, 🤯 — нет.

Комбинаторные и логические игры
#игры #начальна_школа #средняя_школа

Продолжаю серию постов (часть 1, часть 2) рассказом про комбинаторные игры. У таких игр есть ряд преимуществ, идеально вписывающих игры в формат занятия:

❗️Наглядность. Условия игр прозрачны, а полученные комбинации легко проверяются. Что делает игры простыми для понимания, а значит более интересными (подробнее про механику головоломок).

❗️Глубина. Несмотря на низкий порог входа совершенствоваться в этих играх можно бесконечно: продумывать разные стратегии перебора, запоминать комбинации, улучшать навыки концентрации.

❗️Высокая социальная составляющая. Большинство таких игр подойдёт даже для одного игрока, но играть вместе гораздо интереснее! Причём как в команде (в этом случае успех зависит не столько от личных качеств, сколько от умения договариваться), так и в соревновательном формате.

Учитывая выше сказанное, для таких игр легко выстраивается траектория обучения.

✨Swish, Combo, Combo Boom✨
Игра с прозрачными карточками, на примере которых можно научиться различать поворот от переворота. Оригинальную версию игры от Thinkfun сейчас уже не найти в продаже, да и не надо — Лас Играс сделали отличную реплику (Combo) и версию попроще (Combo Boom). Игра развивает визуальное восприятие, пространственное воображение и комбинаторное мышление. !!! если надо рассказать про эту игру подробнее.

✨SET✨
Ещё одна карточная игра на подбор комбинаций. В моём старом посте я рассказал про игру и серию подготовительных упражнений. Идейным продолжением этой игры можно назвать игру Ётта, которая совмещает механику набора комбинаций с игрой Эрудит.

✨Взломай Код✨
Соревновательная игра, строящаяся вокруг умения анализировать ситуацию, чем-то отдалённо напоминающая игру Быки и коровы. У игроков есть по секретному коду, каждый ход игроки отвечают на вопросы про свой код. Цель игры — отгадать число соперников до того, как они отгадают ваше число. Перед тем, как провести первую соревновательную партию, здорово вместе разобрать карточки с вопросами и их синергию между собой.

Знакомо что-то из этого списка?
🗿— почти всё, ⚡️— 50/50, 🤯 — нет.

Олимпиада Систематика (1-9 классы)
#олимпиады #начальная_школа #средняя_школа

15 мая стартовал отборочный тур олимпиады Систематика по математике для 1-9 классов. Поучаствовать можно до 31 мая. Первый тур этой олимпиады не представляет из себя ничего необычного — хорошие задачи, доступные не только опытным олимпиадникам, и привычный формат онлайн-олимпиады. Самое интересное — во втором туре, который пройдёт 25 июня.

Зарегистрироваться и принять участие можно на сайте олимпиады.

Сегодня состоялись последние занятия кружка в этом учебном году, а для группы 7 класса и вовсе последнее занятие. С кем-то из ребят мы познакомились совсем недавно, а с кем-то знакомы 6 лет. Именно эта группа помогла мне сформировать понимание, как может меняться ритм кружка в зависимости от возраста, характера и настроения участников (свои впечатления описывал, например, тут). Бесконечно благодарен им за отзывчивость и терпение (шутка ли выдержать полтора месяца комбинаторики!).

Ребята, если вы читаете эти строчки, желаю вам найти занятие, в котором сможете реализовывать себя, никогда не переставать учиться новому и не бояться изменений!

Добрый день!

Близится начало учебного года и самое время начать регистрации на кружки.

🕐 Кружок в неформатное время

В прошлом году было несколько вопросов от тех, кто сейчас находится в другом полушарии и поэтому не может заниматься в обычное для Москвы время. Если вы живёте в другом часовом поясе, но хотите присоединиться к кружку, заполните эту форму. Группы будут открываться по мере появления заявок.


⚡️Онлайн-кружок "Математический клуб" и очный кружок на м. Университет

Продолжающим занятия в кружках ссылка на регистрацию придёт в ближайшее время, а общая регистрация начнётся 14 августа.