Я подключила комментарии!
Теперь к последующим постам можно будет задавать уточняющие вопросы!
Теперь к последующим постам можно будет задавать уточняющие вопросы!
Remark
А стандартное пространство Бореля - это замечательный зверь, (X, B), так что на Х существует польская топология, такая что В - Борелевская сигма-алгебра. Без определения что такое сигма-алгебра (пусть это будет черный короб), но чтобы была какая-то интуиция…
Давайте теперь введем в постановку задачи группу.
Группы у нас всюду будут счетные дискретные, но теория работает и для локально компактных со второй аксиомой счетности с небольшими поправками.
Действием группы на стандартном пространстве Бореля будем называть гомоморфизм групп a: Г -> Aut(X,B), где Aut - это группа автоморфизмов пространства (отображений само в себя).
В других словах, для любого g є Г является автоморфизмом Аg: X->X, если Ag•h = Ag•Ah
Группы у нас всюду будут счетные дискретные, но теория работает и для локально компактных со второй аксиомой счетности с небольшими поправками.
Действием группы на стандартном пространстве Бореля будем называть гомоморфизм групп a: Г -> Aut(X,B), где Aut - это группа автоморфизмов пространства (отображений само в себя).
В других словах, для любого g є Г является автоморфизмом Аg: X->X, если Ag•h = Ag•Ah
Прерываюсь для того чтобы сообщить всем, что ЛШСМ - одна из лучших вещей, которые случились в моей жизни и вам оно надо, если вы школьник или студент младших курсов!
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://mccme.ru/dubna/2021/
Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда планируется в этом году с 19 по 30 июля в Дубне (в очном формате). Начинается прием заявок от школьников 10 и 11 классов и студентов I и II курсов.
Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда планируется в этом году с 19 по 30 июля в Дубне (в очном формате). Начинается прием заявок от школьников 10 и 11 классов и студентов I и II курсов.
Remark
Обозначается действие группы так
Теперь, пусть Г действует на (X,B) и (Y,C), двух Борелевских пространствах.
Морфизмы, которые нас интересуют - эквивариантные функции pi: (X,B)->(Y,C), т.е. мы хотим чтобы функция коммутировала с действием.
\pi(gx)=g \pi(x)
\pi называется гамма-фактором, если \pi - сюръекция.
Морфизмы, которые нас интересуют - эквивариантные функции pi: (X,B)->(Y,C), т.е. мы хотим чтобы функция коммутировала с действием.
\pi(gx)=g \pi(x)
\pi называется гамма-фактором, если \pi - сюръекция.
Картинка, которую полезно держать в голове: вот у нас есть два пространства, можно взять квадрат интервала и интервал.
На верхнем этаже (квадрате интервала) х куда-то переходит под действием элемента группы. При этом на нижнем этаже у нас есть \pi(x) (весь слой с х "проецируется" в одну точку). gx тоже можно "опустить" вниз, при этом мы хотим, чтобы опущенное gx совпадало с тем, как мы "тащим" групповым элементом \pi(x)
(Это я попыталась объяснить, как работает коммутативность групповых элементов и нашей функции)
(Картинка нагло утащена из слайдов Яира Хартмана)
На верхнем этаже (квадрате интервала) х куда-то переходит под действием элемента группы. При этом на нижнем этаже у нас есть \pi(x) (весь слой с х "проецируется" в одну точку). gx тоже можно "опустить" вниз, при этом мы хотим, чтобы опущенное gx совпадало с тем, как мы "тащим" групповым элементом \pi(x)
(Это я попыталась объяснить, как работает коммутативность групповых элементов и нашей функции)
(Картинка нагло утащена из слайдов Яира Хартмана)
Но все это время у нас не было меры!
Давайте её добавим. Возьмём стандартное пространство Бореля, на имеющейся сигма-алгебре построим меру, возможно её дополним, и получим стандартное пространство Лебега (или стандартное пространство вероятностей).
Теперь посмотрим на вот какую конструкцию:
У нас есть стандартное пространство Лебега (X,B,m), у нас есть ещё одно пространство пока что без меры - (Y,C), и изоморфизм между ними. Как бы нам через изоморфизм и имеющуюся меру на Х построить меру на Y?
Давайте изоморфизм обозначим через \pi.
Теперь возьмём измеримое множество в Y, отправим его обратно в Х через \pi^-1 и измерим там! Просто!
Эта (достаточно естественная) конструкция называется push forward
Давайте её добавим. Возьмём стандартное пространство Бореля, на имеющейся сигма-алгебре построим меру, возможно её дополним, и получим стандартное пространство Лебега (или стандартное пространство вероятностей).
Теперь посмотрим на вот какую конструкцию:
У нас есть стандартное пространство Лебега (X,B,m), у нас есть ещё одно пространство пока что без меры - (Y,C), и изоморфизм между ними. Как бы нам через изоморфизм и имеющуюся меру на Х построить меру на Y?
Давайте изоморфизм обозначим через \pi.
Теперь возьмём измеримое множество в Y, отправим его обратно в Х через \pi^-1 и измерим там! Просто!
Эта (достаточно естественная) конструкция называется push forward
Теперь введем понятие атомов. Атомы - это не те, которые в физике, хотя интуитивно похоже.
Атомы - это такие точки пространства, что у них присутствует ненулевая мера (масса).
х є Х, m(X)>0
В идеале мы бы хотели работать в пространствах без атомов, например с единичным интервалом. Но пространства с атомами тоже по-своему интересны, хотя я сейчас о них много рассказать не смогу.
Так вот оказывается, что все стандартные пространства вероятности без атомов изоморфны как измеримые пространства единичному интервалу - то есть у нас повторяется история как с Борелем, только теперь у нас есть мера!
Атомы - это такие точки пространства, что у них присутствует ненулевая мера (масса).
х є Х, m(X)>0
В идеале мы бы хотели работать в пространствах без атомов, например с единичным интервалом. Но пространства с атомами тоже по-своему интересны, хотя я сейчас о них много рассказать не смогу.
Так вот оказывается, что все стандартные пространства вероятности без атомов изоморфны как измеримые пространства единичному интервалу - то есть у нас повторяется история как с Борелем, только теперь у нас есть мера!
Непостоянная постоянная рубрика: Оля рассказывает про астрофизику!
>>Давно я не писала материалы по астрофизике, да и нет у меня сейчас сил на лонгрид про красные гиганты, все отбирает диплом. Но могу рассказать исторически - романтичную историю про пульсирующие звезды.
В конце шестнадцатого века астрономия в основном заключалась в регулярных наблюдениях за небом с помощью глаз и терпения. Телескоп то Галилей изобрел только в 1605 году, а огромное количество удивительных астрономических открытий было совершено еще раньше. Меня например всегда до глубины души поражало что Тихо Браге (и его сестра Мария, о которой преступно редко пишут) создал огромнейший каталог звезд не имея практически никаких инструментов. Но вот недавно я осознала что люди с помощью глаз умудрялись замерять даже изменения в яркости отдельных звезд. Так один лютеранский пастор по имени Давид Фабриций долгое время наблюдал за созвездием Кита и заметил что одна из его звезд постепенно тухнет. К октябрю 1595 она полностью исчезла с неба. Но ладно бы дело закончилось этим, так нет же. Буквально через несколько месяцев звезда вернулась как ни в чем не бывало и достаточно быстро вошла в полную яркость. Таким было открытие первой переменной звезды, и в честь этого "чудесного" возрождения ее назвали Мира(Mira Ceti). К тому же для астрономов того времени это был огромный прорыв в плане мышления - ведь большой авторитет древних времен Аристотель учил что звездное небо вечно и неизменно, а спорить с ним в шестнадцатом веке считалось весьма зазорным.
Очень долгое время предполагалось что такие изменения в яркости Миры порождаются темным пятном на ее поверхности, но на самом деле вся звезда становится ярче или тусклее с определенным периодом. Это связанно с тем что она является красным гигантом, находящимся при смерти в смысле звездной эволюции. Вокруг ее ядра периодически загорается и тухнет гелиевая оболочка что вызывает то нагревание и расширение звезды - а значит и большую яркость, то охлаждение и сужение(это называется механизм термальной пульсации, если вы вдруг хотите поинтересоваться более подробно самостоятельно). Но в случае Миры на самом деле ситуация даже более интересна - ведь на самом деле это двойная система и Фабриций наблюдал только звезду известную сейчас как Мира А, а ее компаньон Мира Б - имеет аккреционный диск и тоже является переменной из за неравномерного падения материи на нее. И более того вся эта система летит с огромной скоростью относительно окружающего ее газа, что тоже довольно таки нетипично
Вот такие удивительные штуки находятся где то там в космосе.
А мы на них смотрим.
>>Давно я не писала материалы по астрофизике, да и нет у меня сейчас сил на лонгрид про красные гиганты, все отбирает диплом. Но могу рассказать исторически - романтичную историю про пульсирующие звезды.
В конце шестнадцатого века астрономия в основном заключалась в регулярных наблюдениях за небом с помощью глаз и терпения. Телескоп то Галилей изобрел только в 1605 году, а огромное количество удивительных астрономических открытий было совершено еще раньше. Меня например всегда до глубины души поражало что Тихо Браге (и его сестра Мария, о которой преступно редко пишут) создал огромнейший каталог звезд не имея практически никаких инструментов. Но вот недавно я осознала что люди с помощью глаз умудрялись замерять даже изменения в яркости отдельных звезд. Так один лютеранский пастор по имени Давид Фабриций долгое время наблюдал за созвездием Кита и заметил что одна из его звезд постепенно тухнет. К октябрю 1595 она полностью исчезла с неба. Но ладно бы дело закончилось этим, так нет же. Буквально через несколько месяцев звезда вернулась как ни в чем не бывало и достаточно быстро вошла в полную яркость. Таким было открытие первой переменной звезды, и в честь этого "чудесного" возрождения ее назвали Мира(Mira Ceti). К тому же для астрономов того времени это был огромный прорыв в плане мышления - ведь большой авторитет древних времен Аристотель учил что звездное небо вечно и неизменно, а спорить с ним в шестнадцатом веке считалось весьма зазорным.
Очень долгое время предполагалось что такие изменения в яркости Миры порождаются темным пятном на ее поверхности, но на самом деле вся звезда становится ярче или тусклее с определенным периодом. Это связанно с тем что она является красным гигантом, находящимся при смерти в смысле звездной эволюции. Вокруг ее ядра периодически загорается и тухнет гелиевая оболочка что вызывает то нагревание и расширение звезды - а значит и большую яркость, то охлаждение и сужение(это называется механизм термальной пульсации, если вы вдруг хотите поинтересоваться более подробно самостоятельно). Но в случае Миры на самом деле ситуация даже более интересна - ведь на самом деле это двойная система и Фабриций наблюдал только звезду известную сейчас как Мира А, а ее компаньон Мира Б - имеет аккреционный диск и тоже является переменной из за неравномерного падения материи на нее. И более того вся эта система летит с огромной скоростью относительно окружающего ее газа, что тоже довольно таки нетипично
Вот такие удивительные штуки находятся где то там в космосе.
А мы на них смотрим.