Я подключила комментарии!
Теперь к последующим постам можно будет задавать уточняющие вопросы!
Теперь к последующим постам можно будет задавать уточняющие вопросы!
Remark
А стандартное пространство Бореля - это замечательный зверь, (X, B), так что на Х существует польская топология, такая что В - Борелевская сигма-алгебра. Без определения что такое сигма-алгебра (пусть это будет черный короб), но чтобы была какая-то интуиция…
Давайте теперь введем в постановку задачи группу.
Группы у нас всюду будут счетные дискретные, но теория работает и для локально компактных со второй аксиомой счетности с небольшими поправками.
Действием группы на стандартном пространстве Бореля будем называть гомоморфизм групп a: Г -> Aut(X,B), где Aut - это группа автоморфизмов пространства (отображений само в себя).
В других словах, для любого g є Г является автоморфизмом Аg: X->X, если Ag•h = Ag•Ah
Группы у нас всюду будут счетные дискретные, но теория работает и для локально компактных со второй аксиомой счетности с небольшими поправками.
Действием группы на стандартном пространстве Бореля будем называть гомоморфизм групп a: Г -> Aut(X,B), где Aut - это группа автоморфизмов пространства (отображений само в себя).
В других словах, для любого g є Г является автоморфизмом Аg: X->X, если Ag•h = Ag•Ah
Прерываюсь для того чтобы сообщить всем, что ЛШСМ - одна из лучших вещей, которые случились в моей жизни и вам оно надо, если вы школьник или студент младших курсов!
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://mccme.ru/dubna/2021/
Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда планируется в этом году с 19 по 30 июля в Дубне (в очном формате). Начинается прием заявок от школьников 10 и 11 классов и студентов I и II курсов.
Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда планируется в этом году с 19 по 30 июля в Дубне (в очном формате). Начинается прием заявок от школьников 10 и 11 классов и студентов I и II курсов.
Remark
Обозначается действие группы так
Теперь, пусть Г действует на (X,B) и (Y,C), двух Борелевских пространствах.
Морфизмы, которые нас интересуют - эквивариантные функции pi: (X,B)->(Y,C), т.е. мы хотим чтобы функция коммутировала с действием.
\pi(gx)=g \pi(x)
\pi называется гамма-фактором, если \pi - сюръекция.
Морфизмы, которые нас интересуют - эквивариантные функции pi: (X,B)->(Y,C), т.е. мы хотим чтобы функция коммутировала с действием.
\pi(gx)=g \pi(x)
\pi называется гамма-фактором, если \pi - сюръекция.
Картинка, которую полезно держать в голове: вот у нас есть два пространства, можно взять квадрат интервала и интервал.
На верхнем этаже (квадрате интервала) х куда-то переходит под действием элемента группы. При этом на нижнем этаже у нас есть \pi(x) (весь слой с х "проецируется" в одну точку). gx тоже можно "опустить" вниз, при этом мы хотим, чтобы опущенное gx совпадало с тем, как мы "тащим" групповым элементом \pi(x)
(Это я попыталась объяснить, как работает коммутативность групповых элементов и нашей функции)
(Картинка нагло утащена из слайдов Яира Хартмана)
На верхнем этаже (квадрате интервала) х куда-то переходит под действием элемента группы. При этом на нижнем этаже у нас есть \pi(x) (весь слой с х "проецируется" в одну точку). gx тоже можно "опустить" вниз, при этом мы хотим, чтобы опущенное gx совпадало с тем, как мы "тащим" групповым элементом \pi(x)
(Это я попыталась объяснить, как работает коммутативность групповых элементов и нашей функции)
(Картинка нагло утащена из слайдов Яира Хартмана)
Но все это время у нас не было меры!
Давайте её добавим. Возьмём стандартное пространство Бореля, на имеющейся сигма-алгебре построим меру, возможно её дополним, и получим стандартное пространство Лебега (или стандартное пространство вероятностей).
Теперь посмотрим на вот какую конструкцию:
У нас есть стандартное пространство Лебега (X,B,m), у нас есть ещё одно пространство пока что без меры - (Y,C), и изоморфизм между ними. Как бы нам через изоморфизм и имеющуюся меру на Х построить меру на Y?
Давайте изоморфизм обозначим через \pi.
Теперь возьмём измеримое множество в Y, отправим его обратно в Х через \pi^-1 и измерим там! Просто!
Эта (достаточно естественная) конструкция называется push forward
Давайте её добавим. Возьмём стандартное пространство Бореля, на имеющейся сигма-алгебре построим меру, возможно её дополним, и получим стандартное пространство Лебега (или стандартное пространство вероятностей).
Теперь посмотрим на вот какую конструкцию:
У нас есть стандартное пространство Лебега (X,B,m), у нас есть ещё одно пространство пока что без меры - (Y,C), и изоморфизм между ними. Как бы нам через изоморфизм и имеющуюся меру на Х построить меру на Y?
Давайте изоморфизм обозначим через \pi.
Теперь возьмём измеримое множество в Y, отправим его обратно в Х через \pi^-1 и измерим там! Просто!
Эта (достаточно естественная) конструкция называется push forward
Теперь введем понятие атомов. Атомы - это не те, которые в физике, хотя интуитивно похоже.
Атомы - это такие точки пространства, что у них присутствует ненулевая мера (масса).
х є Х, m(X)>0
В идеале мы бы хотели работать в пространствах без атомов, например с единичным интервалом. Но пространства с атомами тоже по-своему интересны, хотя я сейчас о них много рассказать не смогу.
Так вот оказывается, что все стандартные пространства вероятности без атомов изоморфны как измеримые пространства единичному интервалу - то есть у нас повторяется история как с Борелем, только теперь у нас есть мера!
Атомы - это такие точки пространства, что у них присутствует ненулевая мера (масса).
х є Х, m(X)>0
В идеале мы бы хотели работать в пространствах без атомов, например с единичным интервалом. Но пространства с атомами тоже по-своему интересны, хотя я сейчас о них много рассказать не смогу.
Так вот оказывается, что все стандартные пространства вероятности без атомов изоморфны как измеримые пространства единичному интервалу - то есть у нас повторяется история как с Борелем, только теперь у нас есть мера!
Непостоянная постоянная рубрика: Оля рассказывает про астрофизику!
>>Давно я не писала материалы по астрофизике, да и нет у меня сейчас сил на лонгрид про красные гиганты, все отбирает диплом. Но могу рассказать исторически - романтичную историю про пульсирующие звезды.
В конце шестнадцатого века астрономия в основном заключалась в регулярных наблюдениях за небом с помощью глаз и терпения. Телескоп то Галилей изобрел только в 1605 году, а огромное количество удивительных астрономических открытий было совершено еще раньше. Меня например всегда до глубины души поражало что Тихо Браге (и его сестра Мария, о которой преступно редко пишут) создал огромнейший каталог звезд не имея практически никаких инструментов. Но вот недавно я осознала что люди с помощью глаз умудрялись замерять даже изменения в яркости отдельных звезд. Так один лютеранский пастор по имени Давид Фабриций долгое время наблюдал за созвездием Кита и заметил что одна из его звезд постепенно тухнет. К октябрю 1595 она полностью исчезла с неба. Но ладно бы дело закончилось этим, так нет же. Буквально через несколько месяцев звезда вернулась как ни в чем не бывало и достаточно быстро вошла в полную яркость. Таким было открытие первой переменной звезды, и в честь этого "чудесного" возрождения ее назвали Мира(Mira Ceti). К тому же для астрономов того времени это был огромный прорыв в плане мышления - ведь большой авторитет древних времен Аристотель учил что звездное небо вечно и неизменно, а спорить с ним в шестнадцатом веке считалось весьма зазорным.
Очень долгое время предполагалось что такие изменения в яркости Миры порождаются темным пятном на ее поверхности, но на самом деле вся звезда становится ярче или тусклее с определенным периодом. Это связанно с тем что она является красным гигантом, находящимся при смерти в смысле звездной эволюции. Вокруг ее ядра периодически загорается и тухнет гелиевая оболочка что вызывает то нагревание и расширение звезды - а значит и большую яркость, то охлаждение и сужение(это называется механизм термальной пульсации, если вы вдруг хотите поинтересоваться более подробно самостоятельно). Но в случае Миры на самом деле ситуация даже более интересна - ведь на самом деле это двойная система и Фабриций наблюдал только звезду известную сейчас как Мира А, а ее компаньон Мира Б - имеет аккреционный диск и тоже является переменной из за неравномерного падения материи на нее. И более того вся эта система летит с огромной скоростью относительно окружающего ее газа, что тоже довольно таки нетипично
Вот такие удивительные штуки находятся где то там в космосе.
А мы на них смотрим.
>>Давно я не писала материалы по астрофизике, да и нет у меня сейчас сил на лонгрид про красные гиганты, все отбирает диплом. Но могу рассказать исторически - романтичную историю про пульсирующие звезды.
В конце шестнадцатого века астрономия в основном заключалась в регулярных наблюдениях за небом с помощью глаз и терпения. Телескоп то Галилей изобрел только в 1605 году, а огромное количество удивительных астрономических открытий было совершено еще раньше. Меня например всегда до глубины души поражало что Тихо Браге (и его сестра Мария, о которой преступно редко пишут) создал огромнейший каталог звезд не имея практически никаких инструментов. Но вот недавно я осознала что люди с помощью глаз умудрялись замерять даже изменения в яркости отдельных звезд. Так один лютеранский пастор по имени Давид Фабриций долгое время наблюдал за созвездием Кита и заметил что одна из его звезд постепенно тухнет. К октябрю 1595 она полностью исчезла с неба. Но ладно бы дело закончилось этим, так нет же. Буквально через несколько месяцев звезда вернулась как ни в чем не бывало и достаточно быстро вошла в полную яркость. Таким было открытие первой переменной звезды, и в честь этого "чудесного" возрождения ее назвали Мира(Mira Ceti). К тому же для астрономов того времени это был огромный прорыв в плане мышления - ведь большой авторитет древних времен Аристотель учил что звездное небо вечно и неизменно, а спорить с ним в шестнадцатом веке считалось весьма зазорным.
Очень долгое время предполагалось что такие изменения в яркости Миры порождаются темным пятном на ее поверхности, но на самом деле вся звезда становится ярче или тусклее с определенным периодом. Это связанно с тем что она является красным гигантом, находящимся при смерти в смысле звездной эволюции. Вокруг ее ядра периодически загорается и тухнет гелиевая оболочка что вызывает то нагревание и расширение звезды - а значит и большую яркость, то охлаждение и сужение(это называется механизм термальной пульсации, если вы вдруг хотите поинтересоваться более подробно самостоятельно). Но в случае Миры на самом деле ситуация даже более интересна - ведь на самом деле это двойная система и Фабриций наблюдал только звезду известную сейчас как Мира А, а ее компаньон Мира Б - имеет аккреционный диск и тоже является переменной из за неравномерного падения материи на нее. И более того вся эта система летит с огромной скоростью относительно окружающего ее газа, что тоже довольно таки нетипично
Вот такие удивительные штуки находятся где то там в космосе.
А мы на них смотрим.
https://arxiv.org/abs/1909.04896
>>Ergodic systems, being indecomposable are important part of the study of dynamical systems but if a system is not ergodic, it is natural to ask the following question:
Is it possible to split it into ergodic systems in such a way that the study of the former reduces to the study of latter ones? Also, it will be interesting to see if the latter ones inherit some properties of the former one. This document answers this question for measurable maps defined on complete separable metric spaces with Borel probability measure, using the Rokhlin Disintegration Theorem.
>>Ergodic systems, being indecomposable are important part of the study of dynamical systems but if a system is not ergodic, it is natural to ask the following question:
Is it possible to split it into ergodic systems in such a way that the study of the former reduces to the study of latter ones? Also, it will be interesting to see if the latter ones inherit some properties of the former one. This document answers this question for measurable maps defined on complete separable metric spaces with Borel probability measure, using the Rokhlin Disintegration Theorem.