Remark
Обозначается действие группы так
Теперь, пусть Г действует на (X,B) и (Y,C), двух Борелевских пространствах.
Морфизмы, которые нас интересуют - эквивариантные функции pi: (X,B)->(Y,C), т.е. мы хотим чтобы функция коммутировала с действием.
\pi(gx)=g \pi(x)
\pi называется гамма-фактором, если \pi - сюръекция.
Морфизмы, которые нас интересуют - эквивариантные функции pi: (X,B)->(Y,C), т.е. мы хотим чтобы функция коммутировала с действием.
\pi(gx)=g \pi(x)
\pi называется гамма-фактором, если \pi - сюръекция.
Картинка, которую полезно держать в голове: вот у нас есть два пространства, можно взять квадрат интервала и интервал.
На верхнем этаже (квадрате интервала) х куда-то переходит под действием элемента группы. При этом на нижнем этаже у нас есть \pi(x) (весь слой с х "проецируется" в одну точку). gx тоже можно "опустить" вниз, при этом мы хотим, чтобы опущенное gx совпадало с тем, как мы "тащим" групповым элементом \pi(x)
(Это я попыталась объяснить, как работает коммутативность групповых элементов и нашей функции)
(Картинка нагло утащена из слайдов Яира Хартмана)
На верхнем этаже (квадрате интервала) х куда-то переходит под действием элемента группы. При этом на нижнем этаже у нас есть \pi(x) (весь слой с х "проецируется" в одну точку). gx тоже можно "опустить" вниз, при этом мы хотим, чтобы опущенное gx совпадало с тем, как мы "тащим" групповым элементом \pi(x)
(Это я попыталась объяснить, как работает коммутативность групповых элементов и нашей функции)
(Картинка нагло утащена из слайдов Яира Хартмана)
Но все это время у нас не было меры!
Давайте её добавим. Возьмём стандартное пространство Бореля, на имеющейся сигма-алгебре построим меру, возможно её дополним, и получим стандартное пространство Лебега (или стандартное пространство вероятностей).
Теперь посмотрим на вот какую конструкцию:
У нас есть стандартное пространство Лебега (X,B,m), у нас есть ещё одно пространство пока что без меры - (Y,C), и изоморфизм между ними. Как бы нам через изоморфизм и имеющуюся меру на Х построить меру на Y?
Давайте изоморфизм обозначим через \pi.
Теперь возьмём измеримое множество в Y, отправим его обратно в Х через \pi^-1 и измерим там! Просто!
Эта (достаточно естественная) конструкция называется push forward
Давайте её добавим. Возьмём стандартное пространство Бореля, на имеющейся сигма-алгебре построим меру, возможно её дополним, и получим стандартное пространство Лебега (или стандартное пространство вероятностей).
Теперь посмотрим на вот какую конструкцию:
У нас есть стандартное пространство Лебега (X,B,m), у нас есть ещё одно пространство пока что без меры - (Y,C), и изоморфизм между ними. Как бы нам через изоморфизм и имеющуюся меру на Х построить меру на Y?
Давайте изоморфизм обозначим через \pi.
Теперь возьмём измеримое множество в Y, отправим его обратно в Х через \pi^-1 и измерим там! Просто!
Эта (достаточно естественная) конструкция называется push forward
Теперь введем понятие атомов. Атомы - это не те, которые в физике, хотя интуитивно похоже.
Атомы - это такие точки пространства, что у них присутствует ненулевая мера (масса).
х є Х, m(X)>0
В идеале мы бы хотели работать в пространствах без атомов, например с единичным интервалом. Но пространства с атомами тоже по-своему интересны, хотя я сейчас о них много рассказать не смогу.
Так вот оказывается, что все стандартные пространства вероятности без атомов изоморфны как измеримые пространства единичному интервалу - то есть у нас повторяется история как с Борелем, только теперь у нас есть мера!
Атомы - это такие точки пространства, что у них присутствует ненулевая мера (масса).
х є Х, m(X)>0
В идеале мы бы хотели работать в пространствах без атомов, например с единичным интервалом. Но пространства с атомами тоже по-своему интересны, хотя я сейчас о них много рассказать не смогу.
Так вот оказывается, что все стандартные пространства вероятности без атомов изоморфны как измеримые пространства единичному интервалу - то есть у нас повторяется история как с Борелем, только теперь у нас есть мера!
Непостоянная постоянная рубрика: Оля рассказывает про астрофизику!
>>Давно я не писала материалы по астрофизике, да и нет у меня сейчас сил на лонгрид про красные гиганты, все отбирает диплом. Но могу рассказать исторически - романтичную историю про пульсирующие звезды.
В конце шестнадцатого века астрономия в основном заключалась в регулярных наблюдениях за небом с помощью глаз и терпения. Телескоп то Галилей изобрел только в 1605 году, а огромное количество удивительных астрономических открытий было совершено еще раньше. Меня например всегда до глубины души поражало что Тихо Браге (и его сестра Мария, о которой преступно редко пишут) создал огромнейший каталог звезд не имея практически никаких инструментов. Но вот недавно я осознала что люди с помощью глаз умудрялись замерять даже изменения в яркости отдельных звезд. Так один лютеранский пастор по имени Давид Фабриций долгое время наблюдал за созвездием Кита и заметил что одна из его звезд постепенно тухнет. К октябрю 1595 она полностью исчезла с неба. Но ладно бы дело закончилось этим, так нет же. Буквально через несколько месяцев звезда вернулась как ни в чем не бывало и достаточно быстро вошла в полную яркость. Таким было открытие первой переменной звезды, и в честь этого "чудесного" возрождения ее назвали Мира(Mira Ceti). К тому же для астрономов того времени это был огромный прорыв в плане мышления - ведь большой авторитет древних времен Аристотель учил что звездное небо вечно и неизменно, а спорить с ним в шестнадцатом веке считалось весьма зазорным.
Очень долгое время предполагалось что такие изменения в яркости Миры порождаются темным пятном на ее поверхности, но на самом деле вся звезда становится ярче или тусклее с определенным периодом. Это связанно с тем что она является красным гигантом, находящимся при смерти в смысле звездной эволюции. Вокруг ее ядра периодически загорается и тухнет гелиевая оболочка что вызывает то нагревание и расширение звезды - а значит и большую яркость, то охлаждение и сужение(это называется механизм термальной пульсации, если вы вдруг хотите поинтересоваться более подробно самостоятельно). Но в случае Миры на самом деле ситуация даже более интересна - ведь на самом деле это двойная система и Фабриций наблюдал только звезду известную сейчас как Мира А, а ее компаньон Мира Б - имеет аккреционный диск и тоже является переменной из за неравномерного падения материи на нее. И более того вся эта система летит с огромной скоростью относительно окружающего ее газа, что тоже довольно таки нетипично
Вот такие удивительные штуки находятся где то там в космосе.
А мы на них смотрим.
>>Давно я не писала материалы по астрофизике, да и нет у меня сейчас сил на лонгрид про красные гиганты, все отбирает диплом. Но могу рассказать исторически - романтичную историю про пульсирующие звезды.
В конце шестнадцатого века астрономия в основном заключалась в регулярных наблюдениях за небом с помощью глаз и терпения. Телескоп то Галилей изобрел только в 1605 году, а огромное количество удивительных астрономических открытий было совершено еще раньше. Меня например всегда до глубины души поражало что Тихо Браге (и его сестра Мария, о которой преступно редко пишут) создал огромнейший каталог звезд не имея практически никаких инструментов. Но вот недавно я осознала что люди с помощью глаз умудрялись замерять даже изменения в яркости отдельных звезд. Так один лютеранский пастор по имени Давид Фабриций долгое время наблюдал за созвездием Кита и заметил что одна из его звезд постепенно тухнет. К октябрю 1595 она полностью исчезла с неба. Но ладно бы дело закончилось этим, так нет же. Буквально через несколько месяцев звезда вернулась как ни в чем не бывало и достаточно быстро вошла в полную яркость. Таким было открытие первой переменной звезды, и в честь этого "чудесного" возрождения ее назвали Мира(Mira Ceti). К тому же для астрономов того времени это был огромный прорыв в плане мышления - ведь большой авторитет древних времен Аристотель учил что звездное небо вечно и неизменно, а спорить с ним в шестнадцатом веке считалось весьма зазорным.
Очень долгое время предполагалось что такие изменения в яркости Миры порождаются темным пятном на ее поверхности, но на самом деле вся звезда становится ярче или тусклее с определенным периодом. Это связанно с тем что она является красным гигантом, находящимся при смерти в смысле звездной эволюции. Вокруг ее ядра периодически загорается и тухнет гелиевая оболочка что вызывает то нагревание и расширение звезды - а значит и большую яркость, то охлаждение и сужение(это называется механизм термальной пульсации, если вы вдруг хотите поинтересоваться более подробно самостоятельно). Но в случае Миры на самом деле ситуация даже более интересна - ведь на самом деле это двойная система и Фабриций наблюдал только звезду известную сейчас как Мира А, а ее компаньон Мира Б - имеет аккреционный диск и тоже является переменной из за неравномерного падения материи на нее. И более того вся эта система летит с огромной скоростью относительно окружающего ее газа, что тоже довольно таки нетипично
Вот такие удивительные штуки находятся где то там в космосе.
А мы на них смотрим.
https://arxiv.org/abs/1909.04896
>>Ergodic systems, being indecomposable are important part of the study of dynamical systems but if a system is not ergodic, it is natural to ask the following question:
Is it possible to split it into ergodic systems in such a way that the study of the former reduces to the study of latter ones? Also, it will be interesting to see if the latter ones inherit some properties of the former one. This document answers this question for measurable maps defined on complete separable metric spaces with Borel probability measure, using the Rokhlin Disintegration Theorem.
>>Ergodic systems, being indecomposable are important part of the study of dynamical systems but if a system is not ergodic, it is natural to ask the following question:
Is it possible to split it into ergodic systems in such a way that the study of the former reduces to the study of latter ones? Also, it will be interesting to see if the latter ones inherit some properties of the former one. This document answers this question for measurable maps defined on complete separable metric spaces with Borel probability measure, using the Rokhlin Disintegration Theorem.
Напишу об одном фундаментальном результате, который связывает операторные алгебры с динамическими системами. С точки зрения алгебраиста, любая область математики - это изучение объектов некоторой категории с точностью до изоморфизма относительно морфизмов данной категории.
Сеттинг:
Одна из основных категорий динамических систем - это, в случае теоретико-мерных динамических систем, пространства с мерой, на которых действуют счётные дискретные группы преобразованиями, сохраняющими меру, а в случае топологических динамических систем - локально компактные хаусдорфовы пространства, на которых действуют счётные дискретные группы гомеоморфизмами. Иначе говоря, объекты - это пары (X, G), где Х - пространство, G - группа. При этом морфизмами (X, G) и (Y, H) в первом (мерном) случае полагаются преобразования f : X -> Y такие что f(G . x) = H. f(x) для почти всякого х \in X, а во втором (непрерывном) - пары f : X -> Y, a : G x X -> H, такие что f(g.x) = a(g,x).f(x). Изоморфизм в данной категории называется эквивалентностью по орбитам (orbit equivalence).
Результат:
Оказывается что в случае когда действия G и Н свободны (free), то есть нет неподвижных точек, задача классификации динамических систем с точностью до эквивалентности по орбитам может быть сведена к задаче классификации ассоциированных операторных алгебр. В операторных алгебрах есть конструкция crossed product, которая по С*(W*)-алгебре А и группе G, которая действует на А, строит С*(W*)-алгебру A⋊G. В литературе есть огромная куча результатов о том как узнавать свойства crossed product по свойствам подлежащей алгебры и группы, в том числе и результаты о классификации. Результат, о котором я хотел рассказать выглядит следующим образом:
Пусть G, H действуют свободно. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
Теоретико-мерный случай:
1) (X, G) эквивалетно по орбитам (Y, H)
2) L^\infty(X)⋊G алгебраически изоморфно L^\infty(Y)⋊H посредством изоморфизма, переводящего L^\infty(X) в L^\infty(Y)
Непрерывный случай:
1) (X, G) эквивалетно по орбитам (Y, H)
2) С_0(Х)⋊G алгебраически изоморфно С_0(Y)⋊H посредством изоморфизма, переводящего С_0(Х) в С_0(Y)
Как бы мог выглядеть типичный результат классификации динамических систем с помощью операторных алгебр? Например есть большой класс операторных алгебр, класс изоморфизма которых полностью определяется К-теорией и некоторыми дополнительными данными (Elliot invariant). Вычисление К-теории crossed product'ов - это юрисдикция Baum-Connes conjecture, в рамках литературы о которой есть множество рецептов того как считать К-теорию. Так что если crossed product динамической системы оказался классифицируемым с помощью инварианта Эллиота (что случается, например для действия Фуксовых групп на гиперболическом пространстве), то в каком-то смысле есть полный алгоритм для того что бы классифицировать вашу динамическую систему с точностью до эквивалентности по орбитам.
Сеттинг:
Одна из основных категорий динамических систем - это, в случае теоретико-мерных динамических систем, пространства с мерой, на которых действуют счётные дискретные группы преобразованиями, сохраняющими меру, а в случае топологических динамических систем - локально компактные хаусдорфовы пространства, на которых действуют счётные дискретные группы гомеоморфизмами. Иначе говоря, объекты - это пары (X, G), где Х - пространство, G - группа. При этом морфизмами (X, G) и (Y, H) в первом (мерном) случае полагаются преобразования f : X -> Y такие что f(G . x) = H. f(x) для почти всякого х \in X, а во втором (непрерывном) - пары f : X -> Y, a : G x X -> H, такие что f(g.x) = a(g,x).f(x). Изоморфизм в данной категории называется эквивалентностью по орбитам (orbit equivalence).
Результат:
Оказывается что в случае когда действия G и Н свободны (free), то есть нет неподвижных точек, задача классификации динамических систем с точностью до эквивалентности по орбитам может быть сведена к задаче классификации ассоциированных операторных алгебр. В операторных алгебрах есть конструкция crossed product, которая по С*(W*)-алгебре А и группе G, которая действует на А, строит С*(W*)-алгебру A⋊G. В литературе есть огромная куча результатов о том как узнавать свойства crossed product по свойствам подлежащей алгебры и группы, в том числе и результаты о классификации. Результат, о котором я хотел рассказать выглядит следующим образом:
Пусть G, H действуют свободно. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
Теоретико-мерный случай:
1) (X, G) эквивалетно по орбитам (Y, H)
2) L^\infty(X)⋊G алгебраически изоморфно L^\infty(Y)⋊H посредством изоморфизма, переводящего L^\infty(X) в L^\infty(Y)
Непрерывный случай:
1) (X, G) эквивалетно по орбитам (Y, H)
2) С_0(Х)⋊G алгебраически изоморфно С_0(Y)⋊H посредством изоморфизма, переводящего С_0(Х) в С_0(Y)
Как бы мог выглядеть типичный результат классификации динамических систем с помощью операторных алгебр? Например есть большой класс операторных алгебр, класс изоморфизма которых полностью определяется К-теорией и некоторыми дополнительными данными (Elliot invariant). Вычисление К-теории crossed product'ов - это юрисдикция Baum-Connes conjecture, в рамках литературы о которой есть множество рецептов того как считать К-теорию. Так что если crossed product динамической системы оказался классифицируемым с помощью инварианта Эллиота (что случается, например для действия Фуксовых групп на гиперболическом пространстве), то в каком-то смысле есть полный алгоритм для того что бы классифицировать вашу динамическую систему с точностью до эквивалентности по орбитам.
Если взять набор образующих и случайным образом выбрать соотношения, то гиперболические группы будут типичными! Всем привет!
Страшно рекомендую всем видеокурс Андрея Малютина из Чебышевки по Геометрической теории групп, он очень доступный (особенно если вы с гтг раньше никогда не встречались; если встречались - поначалу будет немного медленно и слишком разжеванно, но потом жарища!)
(А еще он с Вершиком работает!)
(А еще он с Вершиком работает!)
https://www.youtube.com/watch?v=kso3bYidDYM
Граф Кэли группы Гейзенберга, сделанный из винограда. Потому что.
Граф Кэли группы Гейзенберга, сделанный из винограда. Потому что.
YouTube
Heisenberg group Cayley graph made out of grapes