Напишу об одном фундаментальном результате, который связывает операторные алгебры с динамическими системами. С точки зрения алгебраиста, любая область математики - это изучение объектов некоторой категории с точностью до изоморфизма относительно морфизмов данной категории.
Сеттинг:
Одна из основных категорий динамических систем - это, в случае теоретико-мерных динамических систем, пространства с мерой, на которых действуют счётные дискретные группы преобразованиями, сохраняющими меру, а в случае топологических динамических систем - локально компактные хаусдорфовы пространства, на которых действуют счётные дискретные группы гомеоморфизмами. Иначе говоря, объекты - это пары (X, G), где Х - пространство, G - группа. При этом морфизмами (X, G) и (Y, H) в первом (мерном) случае полагаются преобразования f : X -> Y такие что f(G . x) = H. f(x) для почти всякого х \in X, а во втором (непрерывном) - пары f : X -> Y, a : G x X -> H, такие что f(g.x) = a(g,x).f(x). Изоморфизм в данной категории называется эквивалентностью по орбитам (orbit equivalence).
Результат:
Оказывается что в случае когда действия G и Н свободны (free), то есть нет неподвижных точек, задача классификации динамических систем с точностью до эквивалентности по орбитам может быть сведена к задаче классификации ассоциированных операторных алгебр. В операторных алгебрах есть конструкция crossed product, которая по С*(W*)-алгебре А и группе G, которая действует на А, строит С*(W*)-алгебру A⋊G. В литературе есть огромная куча результатов о том как узнавать свойства crossed product по свойствам подлежащей алгебры и группы, в том числе и результаты о классификации. Результат, о котором я хотел рассказать выглядит следующим образом:
Пусть G, H действуют свободно. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
Теоретико-мерный случай:
1) (X, G) эквивалетно по орбитам (Y, H)
2) L^\infty(X)⋊G алгебраически изоморфно L^\infty(Y)⋊H посредством изоморфизма, переводящего L^\infty(X) в L^\infty(Y)
Непрерывный случай:
1) (X, G) эквивалетно по орбитам (Y, H)
2) С_0(Х)⋊G алгебраически изоморфно С_0(Y)⋊H посредством изоморфизма, переводящего С_0(Х) в С_0(Y)
Как бы мог выглядеть типичный результат классификации динамических систем с помощью операторных алгебр? Например есть большой класс операторных алгебр, класс изоморфизма которых полностью определяется К-теорией и некоторыми дополнительными данными (Elliot invariant). Вычисление К-теории crossed product'ов - это юрисдикция Baum-Connes conjecture, в рамках литературы о которой есть множество рецептов того как считать К-теорию. Так что если crossed product динамической системы оказался классифицируемым с помощью инварианта Эллиота (что случается, например для действия Фуксовых групп на гиперболическом пространстве), то в каком-то смысле есть полный алгоритм для того что бы классифицировать вашу динамическую систему с точностью до эквивалентности по орбитам.
Сеттинг:
Одна из основных категорий динамических систем - это, в случае теоретико-мерных динамических систем, пространства с мерой, на которых действуют счётные дискретные группы преобразованиями, сохраняющими меру, а в случае топологических динамических систем - локально компактные хаусдорфовы пространства, на которых действуют счётные дискретные группы гомеоморфизмами. Иначе говоря, объекты - это пары (X, G), где Х - пространство, G - группа. При этом морфизмами (X, G) и (Y, H) в первом (мерном) случае полагаются преобразования f : X -> Y такие что f(G . x) = H. f(x) для почти всякого х \in X, а во втором (непрерывном) - пары f : X -> Y, a : G x X -> H, такие что f(g.x) = a(g,x).f(x). Изоморфизм в данной категории называется эквивалентностью по орбитам (orbit equivalence).
Результат:
Оказывается что в случае когда действия G и Н свободны (free), то есть нет неподвижных точек, задача классификации динамических систем с точностью до эквивалентности по орбитам может быть сведена к задаче классификации ассоциированных операторных алгебр. В операторных алгебрах есть конструкция crossed product, которая по С*(W*)-алгебре А и группе G, которая действует на А, строит С*(W*)-алгебру A⋊G. В литературе есть огромная куча результатов о том как узнавать свойства crossed product по свойствам подлежащей алгебры и группы, в том числе и результаты о классификации. Результат, о котором я хотел рассказать выглядит следующим образом:
Пусть G, H действуют свободно. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
Теоретико-мерный случай:
1) (X, G) эквивалетно по орбитам (Y, H)
2) L^\infty(X)⋊G алгебраически изоморфно L^\infty(Y)⋊H посредством изоморфизма, переводящего L^\infty(X) в L^\infty(Y)
Непрерывный случай:
1) (X, G) эквивалетно по орбитам (Y, H)
2) С_0(Х)⋊G алгебраически изоморфно С_0(Y)⋊H посредством изоморфизма, переводящего С_0(Х) в С_0(Y)
Как бы мог выглядеть типичный результат классификации динамических систем с помощью операторных алгебр? Например есть большой класс операторных алгебр, класс изоморфизма которых полностью определяется К-теорией и некоторыми дополнительными данными (Elliot invariant). Вычисление К-теории crossed product'ов - это юрисдикция Baum-Connes conjecture, в рамках литературы о которой есть множество рецептов того как считать К-теорию. Так что если crossed product динамической системы оказался классифицируемым с помощью инварианта Эллиота (что случается, например для действия Фуксовых групп на гиперболическом пространстве), то в каком-то смысле есть полный алгоритм для того что бы классифицировать вашу динамическую систему с точностью до эквивалентности по орбитам.
Если взять набор образующих и случайным образом выбрать соотношения, то гиперболические группы будут типичными! Всем привет!
Страшно рекомендую всем видеокурс Андрея Малютина из Чебышевки по Геометрической теории групп, он очень доступный (особенно если вы с гтг раньше никогда не встречались; если встречались - поначалу будет немного медленно и слишком разжеванно, но потом жарища!)
(А еще он с Вершиком работает!)
(А еще он с Вершиком работает!)
https://www.youtube.com/watch?v=kso3bYidDYM
Граф Кэли группы Гейзенберга, сделанный из винограда. Потому что.
Граф Кэли группы Гейзенберга, сделанный из винограда. Потому что.
YouTube
Heisenberg group Cayley graph made out of grapes
Любопытный факт: если взять связное компактное многообразие, то фундаментальная группа будет квазиизометрична универсальной накрывающей.
Про квазиизометрию удобно думать как про преобразование, которое хорошо сохраняет глобальную структуру, но игнорирует локальную: например, если отойти далеко-далеко от Z, то начнет казаться, что она R.
Про квазиизометрию удобно думать как про преобразование, которое хорошо сохраняет глобальную структуру, но игнорирует локальную: например, если отойти далеко-далеко от Z, то начнет казаться, что она R.
Forwarded from Жалкие низкочастотники
Тут на днях сети принесли colab с TPU где можно немножко позапускать полноценную GPT-J-6B (это такая народная open source версия GPT-3). Среда заваривается минут 15 в общей сложности, но потом обработка одного промпта происходит достаточно быстро, секунд за 10.
Попробовал заставить её генерировать анекдоты про математиков в баре, делюсь с вами результатами (почти без черри-пикинга):
A mathematician walks into a bar. A mathematician and a philosopher stand by the bar, in conversation, and a bartender is doing his rounds. The mathematician says to the philosopher, “You know that art and philosophy are branches of mathematics, don’t you?” The philosopher says, “Yes, I knew you’d eventually ask that question.”
A 0 of mathematicians walk into a bar, and they are immediately thrown out because "0 is used for zero" or some other way of saying "0 is a number".
An infinite number of mathematicians walk into a bar, and just one gets his research published. Who is that?
An negative number of mathematicians walk into a bar, and say "I'm actually going to be less than zero".
A transcendental number of mathematicians walk into a bar,
and hear one mathematician say, "Look, I've found the best beer in town."
This mathematician says, "And look, I've found the best steak in town."
A quaternion number of mathematicians walk into a bar,
A pair of discrete logarithms, A prime gap,
A clash of protocols, A geometrical proof,
A product of exiles, A cosmic lie,
A shape-changing goblet, A parallelogram of regular solids,
An obstruction course, A normal subgroup,
An impulse of bits, An irrational number of settings
...
Попробовал заставить её генерировать анекдоты про математиков в баре, делюсь с вами результатами (почти без черри-пикинга):
A mathematician walks into a bar. A mathematician and a philosopher stand by the bar, in conversation, and a bartender is doing his rounds. The mathematician says to the philosopher, “You know that art and philosophy are branches of mathematics, don’t you?” The philosopher says, “Yes, I knew you’d eventually ask that question.”
A 0 of mathematicians walk into a bar, and they are immediately thrown out because "0 is used for zero" or some other way of saying "0 is a number".
An infinite number of mathematicians walk into a bar, and just one gets his research published. Who is that?
An negative number of mathematicians walk into a bar, and say "I'm actually going to be less than zero".
A transcendental number of mathematicians walk into a bar,
and hear one mathematician say, "Look, I've found the best beer in town."
This mathematician says, "And look, I've found the best steak in town."
A quaternion number of mathematicians walk into a bar,
A pair of discrete logarithms, A prime gap,
A clash of protocols, A geometrical proof,
A product of exiles, A cosmic lie,
A shape-changing goblet, A parallelogram of regular solids,
An obstruction course, A normal subgroup,
An impulse of bits, An irrational number of settings
...
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://www.popmech.ru/design/239351-kak-vyglyadit-matematika-realnye-voploshcheniya-abstraktnykh-formul/
в качестве картинок по выходным
см. также http://www.segerman.org/
в качестве картинок по выходным
см. также http://www.segerman.org/
www.techinsider.ru
Высокое искусство математики в 3D: как Генри Сегерман придает числам физическую форму
Художник превратил абстрактные математические концепции в реальные завораживающие объекты.
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://elementy.ru/kartinka_dnya/1411/Rekordnyy_mnogougolnik_Kheesha
в качестве картинок на эти выходные
в качестве картинок на эти выходные
«Элементы»
Рекордный многоугольник Хееша • Картинка дня
Квадрат легко окружить его копиями в один, два, да и вообще в любое число слоев — до бесконечности. То же самое с правильным треугольником. А вот с правильным пятиугольником так не выйдет: его даже одним слоем из таких же пятиугольников окружить нельзя. Оказывается…
Пора заводить твиттер, столько прикольных штук пропускаю!
Например: https://ncatlab.org/johnbaez/show/Entropy+as+a+functor
Например: https://ncatlab.org/johnbaez/show/Entropy+as+a+functor