https://arxiv.org/abs/1909.04896
>>Ergodic systems, being indecomposable are important part of the study of dynamical systems but if a system is not ergodic, it is natural to ask the following question:
Is it possible to split it into ergodic systems in such a way that the study of the former reduces to the study of latter ones? Also, it will be interesting to see if the latter ones inherit some properties of the former one. This document answers this question for measurable maps defined on complete separable metric spaces with Borel probability measure, using the Rokhlin Disintegration Theorem.
>>Ergodic systems, being indecomposable are important part of the study of dynamical systems but if a system is not ergodic, it is natural to ask the following question:
Is it possible to split it into ergodic systems in such a way that the study of the former reduces to the study of latter ones? Also, it will be interesting to see if the latter ones inherit some properties of the former one. This document answers this question for measurable maps defined on complete separable metric spaces with Borel probability measure, using the Rokhlin Disintegration Theorem.
Напишу об одном фундаментальном результате, который связывает операторные алгебры с динамическими системами. С точки зрения алгебраиста, любая область математики - это изучение объектов некоторой категории с точностью до изоморфизма относительно морфизмов данной категории.
Сеттинг:
Одна из основных категорий динамических систем - это, в случае теоретико-мерных динамических систем, пространства с мерой, на которых действуют счётные дискретные группы преобразованиями, сохраняющими меру, а в случае топологических динамических систем - локально компактные хаусдорфовы пространства, на которых действуют счётные дискретные группы гомеоморфизмами. Иначе говоря, объекты - это пары (X, G), где Х - пространство, G - группа. При этом морфизмами (X, G) и (Y, H) в первом (мерном) случае полагаются преобразования f : X -> Y такие что f(G . x) = H. f(x) для почти всякого х \in X, а во втором (непрерывном) - пары f : X -> Y, a : G x X -> H, такие что f(g.x) = a(g,x).f(x). Изоморфизм в данной категории называется эквивалентностью по орбитам (orbit equivalence).
Результат:
Оказывается что в случае когда действия G и Н свободны (free), то есть нет неподвижных точек, задача классификации динамических систем с точностью до эквивалентности по орбитам может быть сведена к задаче классификации ассоциированных операторных алгебр. В операторных алгебрах есть конструкция crossed product, которая по С*(W*)-алгебре А и группе G, которая действует на А, строит С*(W*)-алгебру A⋊G. В литературе есть огромная куча результатов о том как узнавать свойства crossed product по свойствам подлежащей алгебры и группы, в том числе и результаты о классификации. Результат, о котором я хотел рассказать выглядит следующим образом:
Пусть G, H действуют свободно. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
Теоретико-мерный случай:
1) (X, G) эквивалетно по орбитам (Y, H)
2) L^\infty(X)⋊G алгебраически изоморфно L^\infty(Y)⋊H посредством изоморфизма, переводящего L^\infty(X) в L^\infty(Y)
Непрерывный случай:
1) (X, G) эквивалетно по орбитам (Y, H)
2) С_0(Х)⋊G алгебраически изоморфно С_0(Y)⋊H посредством изоморфизма, переводящего С_0(Х) в С_0(Y)
Как бы мог выглядеть типичный результат классификации динамических систем с помощью операторных алгебр? Например есть большой класс операторных алгебр, класс изоморфизма которых полностью определяется К-теорией и некоторыми дополнительными данными (Elliot invariant). Вычисление К-теории crossed product'ов - это юрисдикция Baum-Connes conjecture, в рамках литературы о которой есть множество рецептов того как считать К-теорию. Так что если crossed product динамической системы оказался классифицируемым с помощью инварианта Эллиота (что случается, например для действия Фуксовых групп на гиперболическом пространстве), то в каком-то смысле есть полный алгоритм для того что бы классифицировать вашу динамическую систему с точностью до эквивалентности по орбитам.
Сеттинг:
Одна из основных категорий динамических систем - это, в случае теоретико-мерных динамических систем, пространства с мерой, на которых действуют счётные дискретные группы преобразованиями, сохраняющими меру, а в случае топологических динамических систем - локально компактные хаусдорфовы пространства, на которых действуют счётные дискретные группы гомеоморфизмами. Иначе говоря, объекты - это пары (X, G), где Х - пространство, G - группа. При этом морфизмами (X, G) и (Y, H) в первом (мерном) случае полагаются преобразования f : X -> Y такие что f(G . x) = H. f(x) для почти всякого х \in X, а во втором (непрерывном) - пары f : X -> Y, a : G x X -> H, такие что f(g.x) = a(g,x).f(x). Изоморфизм в данной категории называется эквивалентностью по орбитам (orbit equivalence).
Результат:
Оказывается что в случае когда действия G и Н свободны (free), то есть нет неподвижных точек, задача классификации динамических систем с точностью до эквивалентности по орбитам может быть сведена к задаче классификации ассоциированных операторных алгебр. В операторных алгебрах есть конструкция crossed product, которая по С*(W*)-алгебре А и группе G, которая действует на А, строит С*(W*)-алгебру A⋊G. В литературе есть огромная куча результатов о том как узнавать свойства crossed product по свойствам подлежащей алгебры и группы, в том числе и результаты о классификации. Результат, о котором я хотел рассказать выглядит следующим образом:
Пусть G, H действуют свободно. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
Теоретико-мерный случай:
1) (X, G) эквивалетно по орбитам (Y, H)
2) L^\infty(X)⋊G алгебраически изоморфно L^\infty(Y)⋊H посредством изоморфизма, переводящего L^\infty(X) в L^\infty(Y)
Непрерывный случай:
1) (X, G) эквивалетно по орбитам (Y, H)
2) С_0(Х)⋊G алгебраически изоморфно С_0(Y)⋊H посредством изоморфизма, переводящего С_0(Х) в С_0(Y)
Как бы мог выглядеть типичный результат классификации динамических систем с помощью операторных алгебр? Например есть большой класс операторных алгебр, класс изоморфизма которых полностью определяется К-теорией и некоторыми дополнительными данными (Elliot invariant). Вычисление К-теории crossed product'ов - это юрисдикция Baum-Connes conjecture, в рамках литературы о которой есть множество рецептов того как считать К-теорию. Так что если crossed product динамической системы оказался классифицируемым с помощью инварианта Эллиота (что случается, например для действия Фуксовых групп на гиперболическом пространстве), то в каком-то смысле есть полный алгоритм для того что бы классифицировать вашу динамическую систему с точностью до эквивалентности по орбитам.
Если взять набор образующих и случайным образом выбрать соотношения, то гиперболические группы будут типичными! Всем привет!
Страшно рекомендую всем видеокурс Андрея Малютина из Чебышевки по Геометрической теории групп, он очень доступный (особенно если вы с гтг раньше никогда не встречались; если встречались - поначалу будет немного медленно и слишком разжеванно, но потом жарища!)
(А еще он с Вершиком работает!)
(А еще он с Вершиком работает!)
https://www.youtube.com/watch?v=kso3bYidDYM
Граф Кэли группы Гейзенберга, сделанный из винограда. Потому что.
Граф Кэли группы Гейзенберга, сделанный из винограда. Потому что.
YouTube
Heisenberg group Cayley graph made out of grapes
Любопытный факт: если взять связное компактное многообразие, то фундаментальная группа будет квазиизометрична универсальной накрывающей.
Про квазиизометрию удобно думать как про преобразование, которое хорошо сохраняет глобальную структуру, но игнорирует локальную: например, если отойти далеко-далеко от Z, то начнет казаться, что она R.
Про квазиизометрию удобно думать как про преобразование, которое хорошо сохраняет глобальную структуру, но игнорирует локальную: например, если отойти далеко-далеко от Z, то начнет казаться, что она R.
Forwarded from Жалкие низкочастотники
Тут на днях сети принесли colab с TPU где можно немножко позапускать полноценную GPT-J-6B (это такая народная open source версия GPT-3). Среда заваривается минут 15 в общей сложности, но потом обработка одного промпта происходит достаточно быстро, секунд за 10.
Попробовал заставить её генерировать анекдоты про математиков в баре, делюсь с вами результатами (почти без черри-пикинга):
A mathematician walks into a bar. A mathematician and a philosopher stand by the bar, in conversation, and a bartender is doing his rounds. The mathematician says to the philosopher, “You know that art and philosophy are branches of mathematics, don’t you?” The philosopher says, “Yes, I knew you’d eventually ask that question.”
A 0 of mathematicians walk into a bar, and they are immediately thrown out because "0 is used for zero" or some other way of saying "0 is a number".
An infinite number of mathematicians walk into a bar, and just one gets his research published. Who is that?
An negative number of mathematicians walk into a bar, and say "I'm actually going to be less than zero".
A transcendental number of mathematicians walk into a bar,
and hear one mathematician say, "Look, I've found the best beer in town."
This mathematician says, "And look, I've found the best steak in town."
A quaternion number of mathematicians walk into a bar,
A pair of discrete logarithms, A prime gap,
A clash of protocols, A geometrical proof,
A product of exiles, A cosmic lie,
A shape-changing goblet, A parallelogram of regular solids,
An obstruction course, A normal subgroup,
An impulse of bits, An irrational number of settings
...
Попробовал заставить её генерировать анекдоты про математиков в баре, делюсь с вами результатами (почти без черри-пикинга):
A mathematician walks into a bar. A mathematician and a philosopher stand by the bar, in conversation, and a bartender is doing his rounds. The mathematician says to the philosopher, “You know that art and philosophy are branches of mathematics, don’t you?” The philosopher says, “Yes, I knew you’d eventually ask that question.”
A 0 of mathematicians walk into a bar, and they are immediately thrown out because "0 is used for zero" or some other way of saying "0 is a number".
An infinite number of mathematicians walk into a bar, and just one gets his research published. Who is that?
An negative number of mathematicians walk into a bar, and say "I'm actually going to be less than zero".
A transcendental number of mathematicians walk into a bar,
and hear one mathematician say, "Look, I've found the best beer in town."
This mathematician says, "And look, I've found the best steak in town."
A quaternion number of mathematicians walk into a bar,
A pair of discrete logarithms, A prime gap,
A clash of protocols, A geometrical proof,
A product of exiles, A cosmic lie,
A shape-changing goblet, A parallelogram of regular solids,
An obstruction course, A normal subgroup,
An impulse of bits, An irrational number of settings
...
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://www.popmech.ru/design/239351-kak-vyglyadit-matematika-realnye-voploshcheniya-abstraktnykh-formul/
в качестве картинок по выходным
см. также http://www.segerman.org/
в качестве картинок по выходным
см. также http://www.segerman.org/
www.techinsider.ru
Высокое искусство математики в 3D: как Генри Сегерман придает числам физическую форму
Художник превратил абстрактные математические концепции в реальные завораживающие объекты.
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://elementy.ru/kartinka_dnya/1411/Rekordnyy_mnogougolnik_Kheesha
в качестве картинок на эти выходные
в качестве картинок на эти выходные
«Элементы»
Рекордный многоугольник Хееша • Картинка дня
Квадрат легко окружить его копиями в один, два, да и вообще в любое число слоев — до бесконечности. То же самое с правильным треугольником. А вот с правильным пятиугольником так не выйдет: его даже одним слоем из таких же пятиугольников окружить нельзя. Оказывается…