Как вы относитесь к пазлам?

В математических задачах под пазлами понимают задачи на замощение плоскости некоторым набором фигур по определённым правилам. Например, многие знают задачу про замощение шахматной доски без двух противоположных угловых клеток доминошками. Есть варианты задач с разными фигурами, как здесь.

Сегодня предлагаем сложить пазл из уголков.

Пазл из уголков (#76)

Для тех, кто скучает по субботам – эпистемологический ребус.

Три мудреца в одном тазу
Пустились по морю в грозу.
Будь попрочнее старый таз,
Длиннее был бы мой рассказ.
С. Маршак

Мудрец +1 (#77)

Поразмышляем над задачей из замечательной книги Гуго Штейнгауза «Задачи и размышления».

Тренируем пространственное воображение. #геометрия

Нанизывание кубиков (#78)

Есть задачи, в которых требуется доказать столь понятное и интуитивно верное утверждение, что совершенно непонятно, как за них браться. Так и хочется сказать, что очевидно, и всё тут. А что значит очевидно? Очевидность – субъективный концепт. Попытка формализации данного понятия (на мой взгляд – гениальная) была дана очень запоминающимся преподавателем мехмата МГУ Е.А. Лапшиным: «Очевидно то, что можно доказать в одну строчку».

Из всех пришедших в нашу голову решений следующей задачи мы отобрали то, которое нам показалось наиболее математически строгим, но, к сожалению, не очевидным.

#шахматы

Король-сапёр (#79)

Скоро стартует новый набор в #ШАД, который традиционно состоит из трёх этапов: онлайн-тест, письменный экзамен, собеседование. По моим ощущениям, сложнее всего на втором этапе. Для калибровки ожиданий относительно сложности письменного экзамена, предлагаем решить задачку с прошлогоднего мероприятия.

Вообще, та часть нашей дорогой аудитории, которой довелось участвовать в олимпиадах и прочих математических соревнованиях, знает, что в любом варианте есть «проходная» задачка. То есть которую должен решить каждый присутствующий. Чтобы не обидно было. Думаю, это она.

Улей (#80)

Уроборос – свернувшийся в кольцо змей или дракон, кусающий себя за хвост. Он является одним из древнейших символов перерождения, известных человечеству.

Сегодняшняя задача про число, поедающее само себя, число-уроборос. #олимпиады

Уроборос (#81)

Шахматы понятно, но такой скорости на майнсвипере я не ждал.

В контексте задачи Король-сапёр (#79). Товарищ отрекомендовал интересное видео про то, как гроссмейстер Хикару Накамура (2746) стримит игру в старого-доброго сапёра (minesweeper). Success rate невелик: 1/9. Причём на 8 неудач: 4 неверные догадки и 4 ошибки.

Если повезёт, то игру возможно выиграть, точно вычисляя расположение мин (первых ход, как правило, защищён). Однако на больших полянах скорее всего вы рано или поздно столкнётесь с необходимостью действовать наугад (guessing spot), так как информации на поле может быть недостаточно для однозначного обнаружения мины.

Скорость Хикару действительно впечатляет, «экспертная» поляна 16x30 расшифрована за 299 сек. Но до мирового рекорда в 31 сек. даже ему далеко. Кстати, для тех, кто хочет поностальгировать, на сайте сообщества есть также дистрибутивы игрушки, так как по умолчанию её уже нет в операционках.

#шахматы

Некоторые задачи поражают широтой своего применения: от конкурса для младших школьников до собеседования в IT компании. С математикой по жизни – наш девиз!

Итак, все слышали про так называемую «загадку Эйнштейна», про 2% избранных, и прочее. Вся её сложность в том, что в голове приходится держать сразу 5 признаков и оперировать 15 взаимосвязями между ними. Но сейчас речь не про неё. Хотя к ней мы тоже когда-нибудь вернёмся. В сегодняшнем упражнении будет всего лишь 3 признака и 3 взаимосвязи.

Для решения задачи требуется только понимание формальных связей причина-следствие, именно поэтому её включили в конкурс Кенгуру для 3-4 классов и #интервью компании #Acronis (без иронии). Источники в условии.

Само собой, дополнительные очки начисляются за устное решение.

Лягушата (#82)

Сегодня рассмотрим одну задачку про спички. Вообще, их великое множество, есть даже целые ресурсы и мобильные приложения, посвящённые только задачам на спички. Самый известный ребус, наверное, про корову (читайте в следующих выпусках). Ну а пока, упрощённая версия задачи с #олимпиады 1998 года.

Перегородки из спичек (#83)

В коллекцию задач про часы – тизер с #интервью в #Acronis (российский разработчик). Из предыдущих выпусков на эту тему:
– классическая задачка на скорость с интервью в инвестбанках / IT-компаниях
– её логичное продолжение на Соросовской олимпиаде по математике в школе

В запасе как минимум ещё одна.

Перевести стрелки (#84)

Задачи о раскраске плоскости могут принимать серьёзный оборот, как в задаче о хроматическом числе. Сегодня вариант попроще – скоро же праздники!

Раскраска плоскости (#85)

Сегодня везде говорят про digital. Вот и мы поговорим о цифрах.

Итак, задачка с #интервью в #WorldQuant (investment management firm) про расстановку цифр. Алгоритмически решается элементарным перебором здесь. Математически мы решили частичным перебором (строго). Но решение получилось скучным, поэтому мы покажем вам интересное решение с Glassdor (хоть и нестрогое).

Задача обнаружена в книге L.A. Graham, 1959 год.

9 Digits (#86)

Неудобные вопросы

– Сколько раз вы пробовали dsl?
– Мне кажется, я вам не подойду.
(из книги Уолтера Айзексона «Стив Джобс», фрагмент изменён)

Основатель Apple умел задавать неудобные вопросы на интервью. Есть и шаблонные варианты:
– Расскажите про свой главный провал?
– Зачем вы нам нужны?
– Какая у вас зарплата? (это мы уже проходили 👆🏻)

Чтобы получить лучшие условия от работодателя, необходимо уметь правильно отвечать на такие вопросы. Все ситуации трудно предугадать. Можно отшутиться (если есть талант), но лучше использовать универсальный подход.

О полезных для карьеры вещах читайте на ресурсе @workademy. Ребята из топовых международных компаний расскажут про методы ответов на вопросы, отраслевой лексикон, карьерные возможности.

Кстати, данный пост сделан по методу STAR. Убедил?

Упорядочивание игрового поля

Есть тип задач на упорядочивание игрового поля: пятнашки, кубик Рубика, сегодняшняя задача про плюсы и минусы в таблице..

Возможно, кто-то помнит игру Флип Флоп (1995) на ранних Windows. Там нужно было открывать и закрывать окна, чтобы в итоге привести всё к одинаковому состоянию. В общем, теперь мы научились в неё играть.

Да, и с сегодняшнего дня – без подсказок. А то – ишь!

#олимпиады

Flip Flop (#87)

Моделирование любого распределения из равномерного

Генераторы случайных чисел есть во многих приложениях: языки программирования, Excel, продвинутый калькулятор. Как правило, они моделируют случайную величину, распределённую равномерно в отрезке [0, 1]. Что если для нашего эксперимента нужно другое распределение? Например, применительно к рынку ценных бумаг часто требуется моделирование нормальных и логнормальных случайных величин. Один из наиболее общих подходов отражён в решении сегодняшней задачи.

Это базовый вопрос, если на #интервью проверяется знание теории вероятностей. Примеры (со спойлерами):
- Вот здесь в составе сборника для квантов (Probability / N19)
- А здесь для дата-сайентистов (N6)

#тервер #datascience

Uniform to Normal (#88)

Инварианты vs полуинварианты

Инвариант = параметр, который не меняется при преобразвании
Полуинвариант = параметр, который меняется монотонно при преобразовании и лишь на конечное число возможных значений.

В задаче Перегородки из спичек (#83) в роли полуинварианта-счётчика выступает количество областей, на которые спички делят пол. Ни слова больше.

#олимпиады

Полоса клеток (#89)

Инварианты vs полуинварианты - комментарий

Мы перемудрили с решением предыдущей задачи. Всё намного проще, так как квадрат – это тоже прямоугольник (то есть можно перекрашивать одну клетку за операцию).

Но раз уж мы завели речь про полуинварианты, то попробуйте решить задачу при условии, что перекрашивать одну клетку нельзя. Удивительно, но количество операций не увеличится.

Решение переписано. Теперь оба варианта задачи доступны по ссылкам из предыдущего поста.

Спасибо нашему подписчику за указание на неточность в рассуждении!

Google отказался от брейнтизеров на интервью

Inc. пишет, что брейнтизеры = total waste of time. Расходимся.

Тезисно:
1. Некоторые исследователи выяснили, что основной мотив интервьюера, который задаёт подобные задачки, - это нарциссизм и садизм.
2. По мнению VP по кадрам #Google, время на собеседовании лучше потратить на поведенческие вопросы, так как они лучше помогают понять кандидата.

Брейнтизер с интервью Apple

Вы, кажется, спросили про какие-то деньги?
О. Бендер

Великолепная задачка на логику. Моя первая реакция после прочтения: «Наверное, где-то в условии ошибка...»

Задают на #интервью в #Apple, но на Малом мехмате практикуются с 6-го класса. Как тебе такое, Илон Маск?

Сто монет (#90)

Теория вероятностей на собеседованиях

В этот раз — задача на знание основ теории вероятностей. Достаточно первого семестра курса по предмету в нетехническом вузе. Например, что-то подобное мы решали с моими студентами из Финансового университета. Кстати, студенты и выпускники Финашки, отмечаемся внизу!

Спрашивают на #интервью в #WorldQuant на позиции квантов. Аналогичные задачки практикуются на собеседовании при поступлении в #ШАД.

#тервер

. в o (#91)

Раскраски для математиков. Всерос

Знаменитый поп-арт диптих Мэрилин Монро американского художника Энди Уорхола состоит из пятидесяти изображений. Половина из них чёрно-белые, а остальные – цветные. Говорят, что так художник попытался изобразить яркий сценический образ актрисы в контрасте с её трагической судьбой.

#олимпиады

Диптих Мэрилин (#92)