Отраслевая адаптация

Исходная версия задачи формулируется для верблюдов и бананов. Суть в том, что верблюд может в качестве источника энергии использовать полезный груз, которые ему надо перенести. Понятно, чем больше расстояние, тем меньше он сможет доставить. Единственная (!) современная промышленная аналогия данному феномену – перевозка сжиженного природного газа (СПГ). Я не знаю другого энергоносителя, который использовался бы подобным образом. Нет ведь бензовоза, который бы сливал горючее из цистерны в топливный бак. Есть перспектива у морских перевозок аммиака и водорода, но пока всё ограничивается единичными экспериментами.

Оригинал – достаточно распространённая задача на #интервью, поэтому даже не буду перечислять компании. А в авторских обвесах брейнтизер подойдёт для нефтегазовой сферы.

У меня ещё одна задача припасена про перевалку СПГ, так что скоро вы опять пострадаете от моей профдеформации.

• Перевозка СПГ
• Решение

С Новым годом 2024

Лучше всего, конечно, пять звёздочек!
Фильм «Карнавальная ночь»

Дорогие друзья! Внезапно оказалось, что это уже 7-й по счёту Новый год, который мы встречаем вместе с вами. Мы, два математика и два иллюстратора, делимся с вами красивыми задачами, всегда авторскими решениями и в классном оформлении. Вся эта кипучая деятельность держится в основном на одном – вашем интересе. Поэтому большое СПАСИБО за то, что вы с нами.

Пусть новый год принесёт вам очень много радости и счастья! А чтобы дополнить праздничный антураж – с нас задача!

• Разноцветное пространство
• Решение

Целое и дробное

Целой частью числа x называется максимальное целое число, не превосходящее x. Обычно целую часть числа обозначают квадратными скобками, например, [-√2] = -2. Дробной частью числа x называется число x - [x], то есть то, что остаётся от числа x после вычитания из него целой части. Обозначается фигурными скобками {x} = x - [x].

Если длина стороны квадрата равна x, то длина диагонали равна x√2. Если длина стороны куба равна x, то длина диагонали равна x√3. Если же длина стороны d-мерного куба равна x, то длина его диагонали равна x√d. Такова увертюра к сегодняшней задаче.

• Про дробную часть диагонали
• Решение

Родственные задачи

Пополняем коллекцию логистических задач. Вообще есть гипотеза, что сегодняшняя задача и задачи из наших предыдущих постов:

– Королева бензоколонки (про кольцевую автодорогу)
– 50 байкеров (про максимальное расстояние на фиксированном количестве топлива)
– Перевозка СПГ (про максимальное количество доставленного груза)

эквивалентны. А именно, что есть некая общая постановка, к которой можно подогнать все задачи этого цикла. Было бы интересно в этом разобраться.

• Кругосветка
• Решение

Игры на клетчатой бумаге

Клетка – неисчерпаемый источник задач, игр и головоломок. В дополнение к раз и два представляем ещё одну игру с симпатичным решением. Примечательно, что во всех упомянутых сейчас задачах применяются совершенно разные стратегии выигрыша.

#олимпиады #игра

• Игра в квадрат
• Решение

Иногда сложно придумать решение задачи. А насколько сложно придумать саму задачу? Мы в Матрёшке осилили этот вызов несколько раз. Зафиксировали своё достижение здесь и здесь.

На неделе через общего коллегу познакомился с Михаилом Евдокимовым – задачным композитором. Михаил сочиняет задачи для школьных математических олимпиад разного уровня: Московская Олимпиада Школьников, Турнир Городов, Матпраздник, Всерос.

Так как Михаил работал в различных компаниях, то у него собралась небольшая коллекция задач с собеседований, которые он начал публиковать на канале @kvantland. Далее следует репост.

Вы думаете, что на собеседованиях при приёме на работу в крупную компанию задают только вопросы, требующие специальных знаний? Это не всегда так). Вот задачка для младших классов, с которой справились далеко не все кандидаты:

Три охотника сварили кашу. Первый дал две кружки крупы, второй — одну, третий — ни одной, но он расплатился семью патронами. Как должны поделить патроны первые два охотника, если все ели поровну?

​​Шахматные задачи

Кроме математики мы также любим шахматы. Сегодня открывается турнир претендентов (и претенденток), который пройдёт в Торонто с 3 по 23 апреля. Победитель турнира сыграет матч за титул с действующим чемпионом мира по шахматам Дин Лижэнем. По этому поводу предлагаем вам решить авторскую задачу. Попутно также отметим, что шахматные задачи можно разделить на два типа:

– собственно шахматные, использующие полный набор правил и тренирующие навыки игры (например, как сегодняшняя)
– математические / логические, использующие некоторую шахматную механику, но решения которых лежат вне плоскости игры (например, как эта)

#шахматы #авторская

Условие (№140)

Какое максимальное количество ферзей можно получить на шахматной доске, играя по правилам? Какое максимальное количество фигур может присутствовать на доске в этот момент?

• Решение

Задача Бернулли-Эйлера о перепутанных письмах

Классическая задача Бернулли-Эйлера формулируется следующим образом.

Формулировка (№141)
Некто написал шесть писем шести различным людям и заготовил шесть конвертов с их адресами. Сколькими способами можно вложить письма в конверты, чтобы ни одно письмо не попало тому лицу, которому оно адресовано?

В качестве реверанса к предыдущему посту проинтерпретируем эту задачу в шахматных терминах: ладья на i-й вертикали и j-й горизонтали будет соответствовать i-му письму, упакованному в j-й конверт. С учётом этого получаем

Эквивалентную формулировку
Сколькими способами на доске 6х6 можно расставить 6 ладей так, чтобы они не били друг друга и не стояли на главной диагонали?

Альтернативная формулировка создаёт новый контекст с сопуствующим инструментарием. Поэтому возможно кому-то будет удобнее решать эту задачу в шахматных терминах.

#олимпиады #классическаязадача

• Решение

С новым учебным годом

В прошлом году я преподавал в RSM 5-му и 7-му классам олимпиадную математику. Или как у них говорят, competition mathematics. Очень был рад, что начало сезона у олимпиадников идёт со сдвигом в пару недель относительно стандартной программы. Ну а теперь уже привычка.

Итак, возвращаемся с летних каникул к любимой теме соавтора Матрёшки – клетке. Очевидная шахматная аналогия не всегда помогает в решении задач по примеру сегодняшней.

А если вам вдруг захотелось поупражняться в задачах на клетчатой бумаге, то вот наша коллекция:
– Клеточный отбор (#30)
– Столбец квадратов (#54)
– Баги (#56)
– Дно коробки (#62)
– Робот на шахматной доске (#71)

и другие…

• Прямоугольники на доске 10х10
• Решение

Лог(ист)ические задачи

Когда-то я работал в компании #Новатэк, где мы с Коллегой проводили #интервью кандидатов к нам в управление. Среди прочих вопросов на собеседовании был единственный брейнтизер авторства моего Коллеги, который я считаю замечательным по нескольким причинам:
– моделирует реальные рабочие задачи
– простой
– легко ошибиться, если поспешить с ответом

В итоге на данную позицию мы провели очные встречи с 7 претендентами, среди которых только один смог решить. Но я убеждён, что все смогли бы дать правильный ответ, если бы спокойно обдумали задачу.

• Перевалка
• Решение

Классические задачи по теории вероятностей

– Какова вероятность встретить на улице динозавра?
– 50 на 50, либо встретишь, либо нет.

Очень люблю задачи, в которых первоначальная интуиция оказывается ошибочной. Сегодня предлагаем поупражняться в теории вероятностей, решая классическую олимпиадную задачу (по ощущениям, начиная с 9-го класса). Авторство мне неизветсно, но самое раннее упоминание, которое удалось найти относится к 2001-му году на сайте родного мехмата. Поделитесь в комментариях, если вдруг владеете более ранним источником.

В этот раз мы к вам с ещё одним анонсом. В нашем канале перемешаны два ключевых направления «собеседовательное» и олимпиадное (фильтровать можно по хэштэгам #интервью и #олимпиады соответственно). Ответственный за олимпиадное направление делится своими ассоциациями и мыслями по задачам в разделе Дивертисмент.

#тервер #классическаязадача

• Сумасшедшая старушка
• Дивертисмент
• Решение

С наступающим 2025

Счастье для всех, даром, и пусть никто не уйдет обиженный!
Стругацкие

Дорогие! Пусть новый год будет для вас счастливым. Всем нам – ❤️ и 🕊

Традиционное, но ничуть не формальное, СПАСИБО за то, что вы с нами!

Мы знаем, что среди наших подписчиков есть люди, которые накануне праздников непременно захотят порешать задачки. Понимая нашу ответственность, публикуем.

Пара слов про саму задачу. Наверное, не будет большим спойлером сказать, что в задачах на поиск оптимума, как правило, есть две части:

1/ привести пример решения
2/ доказать, что оно оптимально

Первая часть обычно очень весёлая. Вторая же – наоборот. Поэтому часто её пропускают за «очевидностью». Несмотря на то, что сегодняшняя задачка достаточно известная, например, вот она на бразильской олимпиаде 2005 года, мы не нашли строгого доказательства оптимальности. Среди того, что получилось найти, одни переборы. Нам удалось эту лакуну закрыть весьма эстетично на языке теории графов.

#олимпиады

• Фонарик и 8 батареек
• Решение

Понравился мем:

Новый год снова не будет простым

Немного нумерологии вам в ленту:

2025 = (20 + 25)² =
(1 + 2 + … + 9)² =
1³ + 2³ + … + 9³

Последнее тождество приписывается Никомаху из г. Геразы, греческому математику, жившему во 2-м веке. Это имя я узнал на днях, а в 4-м веке «книга Никомаха была столь же классическою для арифметики, как Евклид для геометрии», как пишет А.В. Васильев в своём историческом очерке про целые числа.

Страна Оз возвращается

Итак, заключительная часть увлекательной франшизы сегодня на ваших экранах. Если вы пропустили, то рекомендую начать с 1-й серии, а именно с этого поста шестилетней давности. 2-я часть вышла почти два года спустя здесь. Бессменный режиссёрский и актёрский состав.

Хотелось бы здесь оставить некоторый крючок, cliffhanger, с тем чтобы вы непременно ждали продолжения. Возможно ли такое в математике?

#олимпиады #графы

• Солнечные и лунные города страны Оз (#146)
• Дивертисмент
• Решение

Тасовки

У него спрашивали: «который час», он отвечал: «без пяти минут семёрка».
Пушкин, «Пиковая дама»

Проверим, как хорошо американцы умеют тасовать карты.

Хорошее упражнение – в уме перетасовать по-американски (см. условие задачи) несколько раз колоду хотя бы из 8 карт.

• Американская тасовка (#147)
• Решение

Линейная алгебра в стереометрии

Продолжая контекст предыдущего поста, заходим с козырей, а именно, с самой сложной задачи Московской математической #олимпиады 1993 года для 10-11 классов.

Условие перекликается с задачей Жук и куб (#55), но тот бедняга не умеет летать. Как следствие, меняется размерность и подход к решению (и сложность!). Идею решения позаимствовали из другой нашей задачи, хотя можно решать и классическими школьными методами.

Витиеватые стереометрические нагромождения побудили меня наконец-то освоить геогебру для чертежей. А вольфрам альфу использую для проверки рутинных символьных действий (типа перемножения многочленов и последующее упрощение). Каков ещё инструментарий современного математика (без ИИ – решать пока хочется самому)?

#геометрия

• Муха в тетраэдре (#148)
• Дивертисмент
• Решение

​​Математические ребусы

Готовил другую задачу для поста, но внезапно мне загадали этот #ребус с пометкой «для 5-го класса». Чуть было не опозорился, но неимоверными потугами я его осилил. Возрастная маркировка по факту оказалась корректной.

Забавно то, что ребус упоминается в сборнике Козловой «Сказки и подсказки» от 2004 года. Как я умудрился про него не знать?

В процессе решения я придумал вариацию этого ребуса во «вселенной спичек».

Это неформатный пост, поэтому всевозможные спойлеры – в комментариях. Отдельно побуждаю маскировать решения и ответы.

Итак, сегодняшний 2-в-1 вам к чашке кофе.

#спички #149

Задача Пенни о подбрасывании пенни

Наверняка многие из вас решали споры при помощи обычной монеты. Один выбирает орла, второму достаётся решка, оба имеют равные шансы на выигрыш. Как изменится расклад, если разрешить выбирать не просто букву, а слово, то есть некоторую последовательность орлов-решек? На первый взгляд кажется, раз все слова одинаковой длины равновероятны, выбор не имеет значения.

Эта постановка известна как #игра Пенни – по имени Волтера Пенни, описавшего её в 1969 году. Позже о ней писал Мартин Гарднер в своей книге Time Travel and Other Mathematical Bewilderments (1988), а также журнал Квант в статье Лучшее пари для простаков (1987).

Мы предлагаем вам попробовать решить одну из подзадач этой игры. Такие задачи достоверно встречаются в виде брейнтизеров на #интервью в инвестбанки вроде #JPMorgan или фонды вроде #WorldQuant.

Метод, применяемый в решении, достаточно общий, поэтому его идеи полезны далеко за пределами самой задачи. В общем, горячо рекомендуем.

#тервер #классическаязадача #парадокс

• Задача Пенни (#150)
• Решение

Навигация по хэштегам

Архитектура ключевых слов неидеальна, но слегка структурирует коллекцию задач.

Секция задач с собеседований
#интервью #[company]
#консалтинг
#финансы
#datascience

Секция #олимпиады
#геометрия
#графы
#игра
#тервер

Прочие маркеры
#классическаязадача
#математикавискусстве
#парадокс
#ребус
#чгк – было и такое
#шахматы