Я всегда был и останусь инженером-«ботаником», неразлучным с карандашами и логарифмической линейкой, рожденным под вторым законом термодинамики, закаленным в справочниках, влюбленным в параллелограмм сил, преобразованным по Лапласу и живущим по законам нелинейной гидродинамики. (с) Н. Армстронг
❤10
ИНВАРИАНТЫ
Одна из самых интересных тем в олимпиадной математике!
Посмотрите на такую задачу: «На волшебном дереве растут апельсины и бананы, срываешь 2 разных фрукта — вырастает банан, срываешь 2 одинаковых — вырастает апельсин, какой фрукт будет в конце?»
Неужели тут нужно перебрать все-все частные случаи? Вовсе нет! Ведь здесь не меняется четность одного из фруктов. И простая идея о том, что нечто может не меняться, решает всю задачу.
🐧 Четность и делимость
Инвариант — это то, что не меняется в задаче. В самом простом виде инвариантом выступает четность. А еще бывает делимость. Например, задача: «Маша купила 27 пакетиков корма для собаки, 3 пачки конфет и 15 хот-догов. Могла ли она потратить 5 000 рублей?»
Не могла, потому что все ее покупки делятся на 3, а 5 000 рублей на 3 не делится. Нам при этом не нужно выяснять, сколько стоила каждая позиция и сошлась ли сумма чека.
🐧 Раскраски и последние цифры
Раскраска — еще один инвариант. Такая раскраска используется в задачах, где ходят кони по шахматной доске или кузнечики прыгают по клеткам. Здесь нам нужно смотреть, как ведут себя цвета клеток. Если одна раскраска не сработала, то пробуем другую.
Еще в качестве инвариантов выступают остатки или последняя цифра числа. Например, может ли число 35198437 быть квадратом натурального числа? Не может, потому что квадраты натуральных никогда не заканчиваются на 7.
🐧 Инварианты для взрослых
Но инварианты существуют не только в олимпиадной математике. Есть инварианты и в высшей математике, например, определитель, след, собственные вектора и собственные значения матрицы инвариантны относительно выбора базиса.
Всем советуем обязательно изучить эту тему! 🫶🏻
Одна из самых интересных тем в олимпиадной математике!
Посмотрите на такую задачу: «На волшебном дереве растут апельсины и бананы, срываешь 2 разных фрукта — вырастает банан, срываешь 2 одинаковых — вырастает апельсин, какой фрукт будет в конце?»
Неужели тут нужно перебрать все-все частные случаи? Вовсе нет! Ведь здесь не меняется четность одного из фруктов. И простая идея о том, что нечто может не меняться, решает всю задачу.
🐧 Четность и делимость
Инвариант — это то, что не меняется в задаче. В самом простом виде инвариантом выступает четность. А еще бывает делимость. Например, задача: «Маша купила 27 пакетиков корма для собаки, 3 пачки конфет и 15 хот-догов. Могла ли она потратить 5 000 рублей?»
Не могла, потому что все ее покупки делятся на 3, а 5 000 рублей на 3 не делится. Нам при этом не нужно выяснять, сколько стоила каждая позиция и сошлась ли сумма чека.
🐧 Раскраски и последние цифры
Раскраска — еще один инвариант. Такая раскраска используется в задачах, где ходят кони по шахматной доске или кузнечики прыгают по клеткам. Здесь нам нужно смотреть, как ведут себя цвета клеток. Если одна раскраска не сработала, то пробуем другую.
Еще в качестве инвариантов выступают остатки или последняя цифра числа. Например, может ли число 35198437 быть квадратом натурального числа? Не может, потому что квадраты натуральных никогда не заканчиваются на 7.
🐧 Инварианты для взрослых
Но инварианты существуют не только в олимпиадной математике. Есть инварианты и в высшей математике, например, определитель, след, собственные вектора и собственные значения матрицы инвариантны относительно выбора базиса.
Всем советуем обязательно изучить эту тему! 🫶🏻
dmc-2010.pdf
14.9 MB
Выкладываем полезный учебник по физике для поступающих 😊 и просто для всех интересующихся 🐧
Самые большие числа в мире
В детстве все наверняка задавали друг другу вопросы про самые большие числа. Кто-то говорил что-то вроде «миллиард миллиардов», но его сразу опережали с криками о триллионах квадриллионов. Кто-нибудь кричал «бесконечность!» и все радовались, ведь это похоже правду. Но радость была недолгой, ведь кто-нибудь обязательно догадывался до «бесконечность + 1».
🐧 Какое же число самое большое?
Это вечная проблема. Математики предположили существование чисел настолько огромных, что человек не может осмыслить их величину. Ну а бесконечностей оказывается несколько, и некоторые из них больше, чем другие. Нет числа, которое можно было бы назвать самым большим, так как натуральные числа так или иначе бесконечны.
Давайте выйдем за пределы чисел, которые используются в повседневной жизни, и назовем те, которые редко упоминаются. Начнем с квадриллионов, квинтиллионов, секстиллионов и так далее. Так, в квадриллионе 15 нулей, в квинтиллионе — 18, а в секстиллионе — 21. Но и они имеют приложение к реальной жизни!
🫀 В человеческом теле, например, около 30 триллионов клеток. А чтобы получить квадриллион клеток, вам потребуется 34 человека.
🫀 На Земле примерно 10 квинтиллионов насекомых.
🫀А башня из секстиллионов людей будет иметь высоту 180 тысяч световых лет — это больше, чем диаметр Млечного пути.
🐧 Гуголы и гуголплексы
Еще одним большим числом является гугол. Он содержит единицу и сто нулей.
Число стало названием Гугла, ведь основателям компании понравилось то, что оно выражает огромное количество информации, которое можно найти в сети.
А вот 10 в степени гугол называют гуголплексом. Математик Джоэл Дэвид Гемкинс из Университета Нотр-Дам в США объясняет, что гуголплекс — это единица, за которой следует гугол-множество нулей. Сколько времени понадобится, чтобы записать это? Вы не смогли бы это сделать за всю свою жизнь, даже если бы начали в детстве, когда впервые взяли в руки карандаш!
В детстве все наверняка задавали друг другу вопросы про самые большие числа. Кто-то говорил что-то вроде «миллиард миллиардов», но его сразу опережали с криками о триллионах квадриллионов. Кто-нибудь кричал «бесконечность!» и все радовались, ведь это похоже правду. Но радость была недолгой, ведь кто-нибудь обязательно догадывался до «бесконечность + 1».
🐧 Какое же число самое большое?
Это вечная проблема. Математики предположили существование чисел настолько огромных, что человек не может осмыслить их величину. Ну а бесконечностей оказывается несколько, и некоторые из них больше, чем другие. Нет числа, которое можно было бы назвать самым большим, так как натуральные числа так или иначе бесконечны.
Давайте выйдем за пределы чисел, которые используются в повседневной жизни, и назовем те, которые редко упоминаются. Начнем с квадриллионов, квинтиллионов, секстиллионов и так далее. Так, в квадриллионе 15 нулей, в квинтиллионе — 18, а в секстиллионе — 21. Но и они имеют приложение к реальной жизни!
🫀 В человеческом теле, например, около 30 триллионов клеток. А чтобы получить квадриллион клеток, вам потребуется 34 человека.
🫀 На Земле примерно 10 квинтиллионов насекомых.
🫀А башня из секстиллионов людей будет иметь высоту 180 тысяч световых лет — это больше, чем диаметр Млечного пути.
🐧 Гуголы и гуголплексы
Еще одним большим числом является гугол. Он содержит единицу и сто нулей.
Число стало названием Гугла, ведь основателям компании понравилось то, что оно выражает огромное количество информации, которое можно найти в сети.
А вот 10 в степени гугол называют гуголплексом. Математик Джоэл Дэвид Гемкинс из Университета Нотр-Дам в США объясняет, что гуголплекс — это единица, за которой следует гугол-множество нулей. Сколько времени понадобится, чтобы записать это? Вы не смогли бы это сделать за всю свою жизнь, даже если бы начали в детстве, когда впервые взяли в руки карандаш!
❤12
Как не убить интерес?
Иногда родители пытаются заставить ребенка полюбить математику, но, как известно, насильно мил не будешь. А вот помочь понять математику вполне возможно. Ведь не бывает детей, абсолютно не способных к математике!
И для начала стоит научиться не отбивать существующий у каждого интерес ко всему новому, ведь детям свойственно познавать мир.
Что для этого делать?
🐧 Разбавляйте рутину
Рутина отбивает интерес. Первый пример решать интересно, второй уже не так, а 15-й пример уже просто скучно. Но без рутины никуда не деться. Да, нужно отрабатывать математические навыки и уметь применять их, пока не получится результат. Без рутины нет прогресса, но ребенку нужно позволить заниматься в своем темпе и не перегружать его.
А иногда разбавлять занятия интересными логическими задачами, порой просто вопросами на отвлеченные темы, короткими творческими заданиями.
🐧 Не ругайте за помарки
Жесткие правила оформления убивают интерес. Да, уметь оформлять работу понятно и аккуратно — это важный и полезный навык, но не стоит ждать его, например, от младшеклассников, у которых еще не поставлена рука. Да и в целом - главное, чтобы задача была читаема и ход мыслей был понятен.
🐧 Играйте в математические игры
Игра — самый простой способ заинтересовать ребенка, который уверен, что ему не нравится математика. Существует огромное множество математических игр: от простых головоломок на бумаге или смартфоне до сложных математических квестов. А еще есть математические турниры и соревнования, кроссы и регаты, завоевания и многое другое.
🐧 Соревнуйтесь! Или нет!
Тут зависит от ребенка. Кто-то обожает олимпиады, кого-то они приводят в ужас. Кого-то мотивируют победы и призовые места, кому-то главное участие. Конечно, приятнее заниматься в свое удовольствие. Но если соревновательная часть игры увлекает ребенка, то не бойтесь ее добавлять. Главное, не ругайте за проигрыши, а наоборот - всегда поддерживайте и хвалите за участие!
Иногда родители пытаются заставить ребенка полюбить математику, но, как известно, насильно мил не будешь. А вот помочь понять математику вполне возможно. Ведь не бывает детей, абсолютно не способных к математике!
И для начала стоит научиться не отбивать существующий у каждого интерес ко всему новому, ведь детям свойственно познавать мир.
Что для этого делать?
🐧 Разбавляйте рутину
Рутина отбивает интерес. Первый пример решать интересно, второй уже не так, а 15-й пример уже просто скучно. Но без рутины никуда не деться. Да, нужно отрабатывать математические навыки и уметь применять их, пока не получится результат. Без рутины нет прогресса, но ребенку нужно позволить заниматься в своем темпе и не перегружать его.
А иногда разбавлять занятия интересными логическими задачами, порой просто вопросами на отвлеченные темы, короткими творческими заданиями.
🐧 Не ругайте за помарки
Жесткие правила оформления убивают интерес. Да, уметь оформлять работу понятно и аккуратно — это важный и полезный навык, но не стоит ждать его, например, от младшеклассников, у которых еще не поставлена рука. Да и в целом - главное, чтобы задача была читаема и ход мыслей был понятен.
🐧 Играйте в математические игры
Игра — самый простой способ заинтересовать ребенка, который уверен, что ему не нравится математика. Существует огромное множество математических игр: от простых головоломок на бумаге или смартфоне до сложных математических квестов. А еще есть математические турниры и соревнования, кроссы и регаты, завоевания и многое другое.
🐧 Соревнуйтесь! Или нет!
Тут зависит от ребенка. Кто-то обожает олимпиады, кого-то они приводят в ужас. Кого-то мотивируют победы и призовые места, кому-то главное участие. Конечно, приятнее заниматься в свое удовольствие. Но если соревновательная часть игры увлекает ребенка, то не бойтесь ее добавлять. Главное, не ругайте за проигрыши, а наоборот - всегда поддерживайте и хвалите за участие!
Целые числа.pdf
1.1 MB
Выкладываем небольшое методическое пособие по целым числам ☺️
Будет полезно как для финальной задачи ЕГЭ, так и просто для решающих олимпиадные задачки 🫶🏻
Будет полезно как для финальной задачи ЕГЭ, так и просто для решающих олимпиадные задачки 🫶🏻
Хобби и математика
🐧 Музыка
Музыка и математика имеют тесную связь. Изучение музыки развивает чувство ритма, структуры и шаблонов, которые важны и в математике. Игра на музыкальных инструментах помогает понять дроби и пропорции, так как музыкальные ноты делятся на части.
Изучение нотной грамоты и музыкальной теории требует логического мышления и понимания абстрактных концепций.
🐧 Шахматы
Шахматы — это игра, которая развивает логическое мышление, стратегическое планирование и способность предвидеть последствия своих действий. Они помогают улучшить навыки решения проблем, что важно в математике. Анализ позиций на шахматной доске требует понимания пространственных отношений и шаблонов, что также является основой геометрии.
🐧 Рисование и искусство
Рисование развивает пространственное воображение и способность видеть пропорции и симметрию. Это помогает в изучении геометрии и других разделов математики, где важно понимать формы и их свойства. А еще создание сложных рисунков требует планирования и вычислений, что также способствует развитию математических навыков.
🐧 Игры на смартфоне (да-да, именно они)
Некоторые видеоигры могут быть полезными для развития математических способностей. Игры-головоломки, такие как Тетрис, Судоку или 2048 помогают развивать логическое мышление и способность к решению проблем. Стратегии в играх часто требуют вычислений, анализа данных и планирования, что также является важными математическими навыками.
🐧 Кулинария
Кулинария может быть не только вкусной, но и полезной для изучения математики. Рецепты часто требуют точного измерения ингредиентов, что помогает понять дроби, пропорции, проценты и объем. Преобразование рецептов для разного количества порций развивает навыки вычислений и практическое применение математических знаний.
🐧 Робототехника
Увлечение робототехникой непосредственно связано с математикой. Создание алгоритмов, программирование движения роботов и решение технических задач требуют знаний в алгебре, геометрии и логике. Такие хобби помогают понять, как математические концепции применяются в реальной жизни.
Так что в следующий раз, когда вы будете заниматься любимым делом, подумайте, возможно оно помогает вам стать лучше в математике 🫶🏻☀️
🐧 Музыка
Музыка и математика имеют тесную связь. Изучение музыки развивает чувство ритма, структуры и шаблонов, которые важны и в математике. Игра на музыкальных инструментах помогает понять дроби и пропорции, так как музыкальные ноты делятся на части.
Изучение нотной грамоты и музыкальной теории требует логического мышления и понимания абстрактных концепций.
🐧 Шахматы
Шахматы — это игра, которая развивает логическое мышление, стратегическое планирование и способность предвидеть последствия своих действий. Они помогают улучшить навыки решения проблем, что важно в математике. Анализ позиций на шахматной доске требует понимания пространственных отношений и шаблонов, что также является основой геометрии.
🐧 Рисование и искусство
Рисование развивает пространственное воображение и способность видеть пропорции и симметрию. Это помогает в изучении геометрии и других разделов математики, где важно понимать формы и их свойства. А еще создание сложных рисунков требует планирования и вычислений, что также способствует развитию математических навыков.
🐧 Игры на смартфоне (да-да, именно они)
Некоторые видеоигры могут быть полезными для развития математических способностей. Игры-головоломки, такие как Тетрис, Судоку или 2048 помогают развивать логическое мышление и способность к решению проблем. Стратегии в играх часто требуют вычислений, анализа данных и планирования, что также является важными математическими навыками.
🐧 Кулинария
Кулинария может быть не только вкусной, но и полезной для изучения математики. Рецепты часто требуют точного измерения ингредиентов, что помогает понять дроби, пропорции, проценты и объем. Преобразование рецептов для разного количества порций развивает навыки вычислений и практическое применение математических знаний.
🐧 Робототехника
Увлечение робототехникой непосредственно связано с математикой. Создание алгоритмов, программирование движения роботов и решение технических задач требуют знаний в алгебре, геометрии и логике. Такие хобби помогают понять, как математические концепции применяются в реальной жизни.
Так что в следующий раз, когда вы будете заниматься любимым делом, подумайте, возможно оно помогает вам стать лучше в математике 🫶🏻☀️
Для желающих порешать на досуге 😃 Международная математическая олимпиада 2024 👏🏻